三角函数必考题型分类训练-冲刺2023年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（新高考专用）（解析版）-高考数学备考复习

专题04三角函数必考题型分类训练

O1二年高考真题练】

一.选择题（共15小题）

1.（2021•全国）已知tan_r=2,则2sinx+cosx=（）

2sinx-cosx

A.3B.3C.3D.A

353

【分析】由已知把要求值的式子化弦为切求解.

【解答】解：由lanx=2,得cosx#0,

...2sinx+cosx__2tanx+l_2义2+1__5

2sinx-cosx2tanx-l2X2-13

故选：B.

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题.

2.（2021•乙卷）把函数y=f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变,

2

再把所得曲线向右平移三个单位长度，得到函数)，=sin(x-2L)的图像，则八x)=()

34

A.sin(三-Z2L)B.sin(A+2L)

212212

C.sin(2x-J1ZL)D.sin(2x+_ZL.)

1212

【分析】由题意利用函数〉=京吊（3X+（p）的图像变换规律，得出结论.

【解答】解：..•把函数y=/（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的工倍，纵坐标不变,

2

再把所得曲线向右平移三个单位长度，得到函数〉=$山（x-2L）的图像，

34

把函数y=sin（x-2L）的图像，向左平移三个单位长度，

43

得到y=sin（x+2L-2L）-sin（x+2L）的图像；

3412

再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，

可得/（x）=sin（lx+2L）的图像.

212

故选：B.

【点评】本题主要考查函数y=Asin（3x+（p）的图像变换规律，属基础题.

3.（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长

度的“会圆术”.如图，AB是以。为圆心，0A为半径的圆弧，C是AB的中点，。在AB上，

CD^AB.“会圆术”给出源的弧长的近似值s的计算公式：S=4B+£L.当0A=2,Z

0A

AOB=60°时，s=（）

A1卜3«B口-4百c9-3«口9-4E

'22-2--T~

2

【分析】由已知求得AB与CD的值，代入$=48+型_得答案.

0A

【解答】解：,：0A=0B=2,NAOB=60°,：.AB=2,

；C是A3的中点，。在篇上，CDLAB,

延长DC可得。在DC上，CD=OD-0C=2-M，

.”=.+支_=2+（2-g）2=2+7-4«=止皿1.

0A222

故选：B.

【点评】本题考查扇形及其应用，考查运算求解能力，是基础题.

4.（2021•全国）函数y=cos2x+sinxcosx图像的对称轴是（）

A.x=Js2L+2L（髭z）B.x=^2L-2L（屹）

2828

TTTT

C.x=lai+—（依Z）D.X=kn-—（依Z）

44

【分析】利用倍角公式降塞，再由辅助角公式化积，然后结合正弦函数的性质求解.

【解答】解：y=cos2x+sinxcosx

=lj^.ps2xin2x="—■(sin2x+cos2x)

=零(2y-sin2x-^y-cos2x)

由2x+----------4.L-TTfk£Z,x-....+------,ZwZ.

4282

，函数y=cos2x+sinxcosx图像的对称轴是(AeZ).

28

故选：A.

【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=Asin(3x+(p)型函数的图象与性质,

是基础题.

5.(2021•新高考I)若tan9=-2,则1l+sin2")=()

sin8+cos0

A.-AB.-2c.2D.A

5555

【分析】由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值.

【解答】解：由题意可得：

sin8(l+sin28)sinB(sin28+COS28+2sinBcos8)

sin9+cos6sin9+cos6

=sin8.sin'B+cos28+2sin8•cos8

sin6+cos9sin2e+cos26

_tan8tanB2+2tan8+1

tanB+l，tan2e+1

=2

5"

故选：C.

【点评】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，si/A+cos2A=1

是解题的关键，属于中等题.

6.(2021♦新高考I)下列区间中，函数/(X)=7sin(x-也)单调递增的区间是()

6

A.(0,2L)B.(-L,ir)C.(n,D.(J^L,2ir)

2222

【分析】本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解.

【解答】解：令兀4X-*~+2k兀，〃ez.

NbZ

则4+2k兀＜x＜等+2k冗，依Z.

oo

当％=0时，xe[工，22L],

33

(0,―)=[工，22L],

233

故选：A.

【点评】本题考查正弦函数单调性，是简单题.

7.(2021•甲卷)若a€(0,,tan2a=°,则tana=()

22-sina

A.2ZlLB.匹C.返D.2/lL

15533

【分析】把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解Sina,进一步求得cosa,再由商的

关系可得tana的值.

［解答］解：由tan2a,得期三,

2-sinCLcos2a2-sinCL

即2sinacosa_cosa,

l-2sin2d_2-sinCl；

VaG(0,-2L.),r.cosaHO,

2

则2sina(2-sina)=1-2sin2a,解得sina=2，

4

则cosa=hsin2a

.sina%A/15

..tana=-----=«•

cosaVz1515

4

故选：A.

【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题.

8.(2021•乙卷)COS2-2L-cos2-^—=()

1212

A.AB.返C.-

区D.近

2322

【分析】法一、直接利用二倍角的余弦化简求值即可

法二、由诱导公式即二倍角的余弦化简求值.

【解答】解：法——、cos2-^--COS2-^2L

1212

,兀，5兀

l+coscl+cosc

=66

22

=1171115冗

27,百万万C。，-

”义亘,x(巫)巫.

222'2'2

法二、COS2-2L-COS2-^.

1212

=_cos2-兀--s.in2-几-

1212

故选：D.

【点评】本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题.

9.(2022•全国)已知函数f(x)=sin(2x+<p).若f(2L)=/(-2L)=1,贝ij(p=

332

()

A.2kn+—(&€Z)B.2kn+—(kEZ)

23

JT、jr

C.2kn--(垢Z)D.2kn--(依Z)

32

【分析】由题意，可得函数/(x)的一条对称轴为x=0,即(p=2内(ZEZ).或(p=

2

2Hr--ZL(依Z).再检验选项，可得结论.

2

【解答】解：•・,函数/(%)=sin(2x+(p),f(-ZL)=f(--IL)=A,

332

，函数/(x)的一条对称轴为x=0,即sin(p=1或sin(p=-1,故(p=2内r+2_(kEZ).或

2

jr

(p=2kn--(jtGZ).

2

sin(22L+(p)=sin(-22L+(p)=上>不妨％=0时，

332

(p=2~时，①不成立；当(p=-?L时，①成立，

22

故(P=2AIT-?L(kWZ),

2

故选：D.

【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题.

10.(2022•新高考I)记函数/(x)=sin(sr+三)+b(a)>0)的最小正周期为T.若空

43

<T<n,且y=/(x)的图像关于点(之，2)中心对称，则/(三)=()

22

A.1B.旦C・旦D.3

22

【分析】由周期范围求得3的范围，由对称中心求解3与b值，可得函数解析式，则/(三)

2

可求.

【解答】解：函数/(x)=sin(ou+q)+b(a)>0)的最小正周期为7,

则T=22L,由得22LVZ2L<TT,.".2<a)<3,

3333

；y=f(x)的图像关于点(之，2)中心对称，.•力=2,

2

且sin(22LO+2L)=0,则茎上3+三=%t，依Z.

2424

32(k1A髭Z,取k=4,可得39.

342

：.f(x)=sin(昼+2L)+2,则f(2L)=sin(2x2L+2L)+2=-1+2=1.

242224

故选：A.

【点评】本题考查丫=Asin(3x+(p)型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能

力，是中档题.

11.(2022•甲卷)将函数/'(X)=sin(wx+2L)(3>0)的图像向左平移三个单位长度

32

后得到曲线C,若C关于y轴对称，则3的最小值是()

A.AB.Ac.AD.A

6432

【分析】由题意，利用函数丫=4$皿(3X+3)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求

得3的最小值.

【解答】解：将函数/(x)=sin((OX+A)(3>0)的图像向左平移5个单位长度后得

到曲线C,

则C对应函数为y=sin(3*+„+工),

23

的图象关于y轴对称，，上把+工=配+三，kez,

-232

即3=2左+2，依Z,

3

则令k=0,可得3的最小值是工，

3

故选：C.

【点评】本题主要考查函数y=Asin(3X+<P)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属

于中档题.

12.(2022•新高考H)若sin(a+0)+cos(a邛)=2^2cos(a+-^-)sin0,则()

4

A.tan(a-P)=1B.tan(a+0)=1

C.tan(a-p)=-1D.tan(a+p)=-1

【分析】解法一：由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求0,进

而可求.

解法二：根据已知条件，结合三角函数的两角和公式，即可求解.

【解答】解：解法一：因为sin(a+0)+cos(a+0)=2j^cos(a+-2L)sinP，

4

所以&sin(a+B4^-?)=2A/2cos(a+-^-)sinp,

44

即sin(a+B+-：•)=2cos(a+-^-)sinp,

TT7T

所以sin(a4——)cosp+sinpcos(Q=2cos(a+--)sinp,

4

所以sin(Qcosp-sinpcos(a=0,

所以sin(aB)=0,

所以a1—8=E:,kEZ,

所以a-0=&兀^-----

4

所以tan(a-p)=-1.

解法二：由题意可得，sinacosp+cosasinp+cosacosp-sinasinp=2(cosa-sina)sinp,

即sinacosp-cosasinp+cosacosa+sinasinp=0,

所以sin(a-p)+cos(a-P)=0,

故tan(a-p)=-1.

故选：C.

【点评】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是

公式的灵活应用，属于中档题.

13.（2022•甲卷）设函数f（x）=sin（a）x+2L）在区间（0,n）恰有三个极值点、两个零

3

点，则3的取值范围是（）

A.[$,也）B.[A,11）C.（卫，旦]D.（至，-li]

36366366

【分析】由题意，利用正弦函数的极值点和零点，求得3的取值范围.

【解答】解：当3<0时，不能满足在区间（0,n）极值点比零点多，所以3>0；

函数/（x）=sin（WX+2L）在区间（0,n）恰有三个极值点、两个零点，

3

3X+I——兀GL（/兀,0）71，+——兀、）,

333

•.•-5-兀--C/DT,T+.兀3lT,

23

求得」

63

故选：c.

【点评】本题主要考查正弦函数的极值点和零点，属于中档题.

14.(2021•乙卷)函数/(x)=sin三+cos三的最小正周期和最大值分别是()

33

A.3n和&B.3n和2C.6皿和圾D.6n和2

【分析】化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可.

【解答】解：：/'(x)=sin三+cos^=&sin(A+2L),

3334

3

当sin(A+2L)=1B寸，函数f(x)取得最大值点；

34

•••函数/(x)的周期为6TT,最大值我.

故选：C.

【点评】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

15.(2022•甲卷)已知。b=cosLc=4sin』，则()

3244

A.c>b>aB.h>a>cC.a>b>cD.a>c>b

2

【分析】构造函数/'(x)-cosx+lx_i,(0<x<l),可得cos工〉21,即利用

2X432

.1

sirry1

三角函数线可得taar>x,g|Jtanl>l,即——±>=，可得

44co%14

【解答】解：设f(x)=cosjf+-i-x2_p(0<x<l),则，(x)—X-sinx,

设g(x)—x-sinx(0<A：<1),g'(x)=l-cosx>0,

故g(x)在(0,1)单调递增，即g(x)>g(0)=0,

即/(x)>0,故/(x)在(0,1)上单调递增，

所以/(、)>/(0)=0,可得cos、>_|/,故

利用三角函数线可得工€(0,冬)时，tam>x,

.1

sirry[

tan—即----—,/.4sinACOSA,故c>6.

441444

co%

综上：c>b>a,

故选：A.

【点评】本题考查了三角函数不等式的证明与应用，考查了运算能力，属难题.

多选题（共1小题）

（多选）16.（2022•新高考H）已知函数/（x）=sin（2x+<p）（0<<p<TT）的图像关于点

（22L,o）中心对称，则（）

3

A./■（x）在区间（0,1ZL）单调递减

12

B.f（x）在区间（-三，H2L）有两个极值点

1212

C.直线是曲线y=f（x）的对称轴

6

D.直线是曲线y=f（x）的切线

2

【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断A、8、

C、。的真假.

【解答】解：因为/（x）=sin（2r+<p）（0<<p<ir）的图象关于点（”，0）对称,

3

所以2乂三二+⑴二匕1，kez,

所以<p—kn-AT,

3

因为0<（p<TT,

所以心等'

故/(x)=sin(2X+2T),

峙3等〈号,解得一

故f（x）在（0,且L）单调递减，A正确；

12

x&（-1171）,1X+22L&（2L,A2L）,

1212322

根据函数的单调性，故函数/a）在区间（-三，H2L）只有一个极值点，故B错误;

1212

42x+22L=im+—f依z,得太=©£-匹，蛇z,。显然错误；

32212

f（x）=sin（2x+?；-）,

求导可得，/（x）=2cos（2X+2；1>

令/（x）=7,即CQS（2x"*^，-）=［，解得x=配或x=~^-+k兀（%WZ）,

故函数y=/（x）在点（0,叵）处的切线斜率为左=/|=n=2cos-=-1'

2x=。3

故切线方程为广与=_（x-0），即）=_乂售，故。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生

的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

三.填空题（共4小题）

17.（2022•全国）若tan9=3,则tan29=&.

~4—

【分析】由已知直接利用二倍角的正切求解.

【解答】解：由tan0=3,得tan20=2tan82£1二旦.

1-tan291-324

故答案为：

4

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题.

18.（2021•甲卷）已知函数/（x）=2cos（3x+（p）的部分图像如图所示，则f（2L）=-

V3-.

【分析】根据图象可得/（X）的最小正周期，从而求得3,然后利用五点作图法可求得⑴,

得到/（x）的解析式，再计算/（子）的值.

【解答】解：由图可知，/（X）的最小正周期r=匡（132L-2L）=n,

3123

所以3=空=2,因为f（工）=0,

T3

所以由五点作图法可得2><工+叩=工，解得<p=-H

326

所以7(2L)=2cos(2XA-JL)=-2cos—=-A/3.

2266

故答案为：-Vs-

【点评】本题主要考查由)'=ACOS(3X+(P)的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想

与运算求解能力，属于基础题.

19.(2022•乙卷)记函数f(x)=cos(u)x+(p)(u)>0,0<(p<n)的最小正周期为T.若

=1，x=2L为/Xx)的零点，则3的最小值为3.

29

【分析】由题意，结合余弦函数的周期和零点，建立相关的方程求解即可.

【解答】解：函数/(x)=cos(u)x+(p)(o)>0,0<(p<n)的最小正周期为T=W2I_,

若f(T)=cos(3X.乙"L+(p)=cos(p=^!~,0<(p<n,则

TT

所以/(x)=COS(0)^+—-).

因为X=匹为/(x)的零点，所以cos(1"+三)=0,

996

故R2L+匹=k兀1L,kEZ,所以3=9k+3,kez,

962

因为3>0,则3的最小值为3.

故答案为：3.

【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，考查了方程思想，属于基础题.

20.(2021•甲卷)已知函数f(x)=2cos(u)x+(p)的部分图像如图所示，则满足条件(/

(x)-/(--))(/(x)-/•("))>0的最小正整数x为2.

43

斗

/On\/13n\x

【分析】观察图像，3T42L工，即周期为n,将需要求解的式子进行周期变换，变换

4123

到工附近，观察图像可知》>三，即最小正整数为2.

【解答】解：由图像可得3丁」3兀工，即周期为TT,

4123

v(f(x)-f))((f(x)-f))>0，T=e

3O

jrjr

(f(x)-f)(f(x)-f(丁))>»

T：O

观察图像可知当x>?L，

X3

f(x)<f(丁>f(x)<f(亏>

So

"26(?,罕)，且f(罕)R,

3o6

，x=2时最小，且满足题意，

故答案为：2.

【点评】该题考查了三角函数的周期性，以及如何通过图像判断函数值的大小，题型灵活，

属于中等题.

四.解答题(共1小题)

21.(2021•浙江)设函数f(x)=sinx+cosx(xGR).

(I)求函数y=[/(x+5)F的最小正周期；

(II)求函数y=/(x)fCx--)在[0,工]上的最大值.

42

【分析】(I)由y=[/(x+?L)?，可得y=l-Sin2x,然后利用周期公式求出周期；

2

(II)y=fG)f(x--)=sin(2x--)+退_,由为(0,—],得至I12x上的取值范

44224

围，再利用整体法求出y=f(x)/(x-2L)的最大值.

4

【解答】解：函数/(x)=sin_r+cosx=&sin(x十全)，

(I)函数P=丁(]+工)]2=[&sin(x』4)f=2cos2(x+A)

=l+cos[2(x+-2L)]=1+cos(2X+-2^_)=1-sin2x,

42

则最小正周期为丁=22二二九；

2

(H)函数y=/(x)/(X-2)=5/2sin(X-+^-)PV2sin

(sinx+cosx)siar=^2(sin2x+sinxcosx)

=&(IYOSZX』sin2x)=sin⑵-匹)+亚，

、八2242

因为xE[0,]，所以2x-2-£[——,北-],

所以当Zr-JLJL,即》="时，加心=1+返■.

4282

【点评】本题考查了三角函数的图像性质，涉及求解函数的周期以及最值问题，考查了运算

能力，属于基础题.

W【二年自主招生练】

一.选择题（共4小题）

1.（2022•山西自主招生）已知A=@|），=sin（3"+（p）,〃eZ},若存在＜p使得集合A中恰

有3个元素，则3的取值不可能是（）

A.22LB.22Lc.—D.22L

7523

【分析】利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，结合诱导公式判断是否存在＜p使得集合A

中恰有3个元素，再确定3的取值.

【解答】解：对A,当但上^时，y=sinW[n+Q），

9712兀

函数的周期「=：、=7,

u＞27冗r

~T~

在一个周期内对〃赋值，

当〃=0时，，y=sin(p,

2兀小、

当n=\时，y=sin(■7+@>

当n=2时,4几小、

y=sin(■7+。＞

当n=3时，6几小、

y=sin(■7+Q);

8几冷、.76兀小、

当”=4时，y=sin(■7+。）=sin（17+。）,

ion...,4兀人、

当n=5时，y=sin(•7+。)=sin(17，+Q)

12兀小、.,2兀小、

当72=6时，y=sin(■7+。）=sin（~7，+。）

令。^"时，sinQ兀

=sinrz-=l,

所以,,2兀兀、.，2兀兀、2兀

“「以sin-^_)=sin(--^_)=cos^-

.,4KH.47Tn4兀

sink—-^-)=sin(--t-y)=cos-^—'

./6兀n.6717T6兀

sin~■^-)=ZQS—^~,

所以存在＜p使得"=1时的y值等于”=6时的y值，〃=2时的y值等于"=5时的)，值，n

=3时的y值等于n=4时的y值，

但当〃=0,1,2,3时，不存在＜p使得这个y值中的任何两个相等，

所以当30L时，集合A中至少有4个元素，故A错误;

7

对3,当3=2兀一时,y=sin(哈n+年)，

5D

函数的周期7=今2兀；「二5，

在一个周期内对n赋值，

当n=0时，y=sinq）,

当n=\时,y=sin亭）

0

当〃=2时,y=sin（誓+Q）

D

当k=3时,y=sin（哈+0）=sin（-等+0）,

DD

当〃=4时,y=sin（等+0）=sin(-受+。).

D0

A_八•八一1

令（p=---,sin...-1,

22

,2兀兀、_•/2兀兀、一2兀

52525

z4兀兀、/4兀兀、_4兀

52525

所以时，符合题意，故B正确;

5

对于G当。一^时，y=sin(~^-n+。＞

函数的周期T=—7?—-=4»

3兀

V

在一个周期内对〃赋值，

当〃=0时，y=sin（p,

当n=1时，y=sin（£+0）=cos（p,

当〃=2时，y=sin(ir+(p)=-sincp,

当〃=3时，y=sinG^-+。)=-cosg

令(p=O,则sinO=-sinO=O,

cosO~1,-cosO———1,

所以当3工时，符合题意，故C正确；

2

对于。，当3时,y二sin（2；n+®），

Oo

函数的周期为T=2?=3,

32兀

~3~

在一个周期内对.〃赋值，

当〃=0时,y=sin（p,

当”=1时，丫=sin（2；+。），

当〃=2时，y=sin（-誓+0），

令（p=0,sin0=0,

,2兀V3

si。3=2,

,4几_F

sw3-2，

所以当3卫L时，符合题意，故。正确；

3

故选：A.

【点评】本题一共有三个变量：3,n,（p属于多变量题目，对于该题，要先确定一个变量,

再对第二个变量赋值，然后再对第三个变量赋值，以此分类讨论即可，属于难题.

2.（2022•上海自主招生）f（x）=cos（3（3＞。），f（x）＜f（^~）对Vx€R

o4

恒成立，则3的最小值为（）

A.3B.1C.AD.2

233

【分析】由余弦函数的最值和相应自变量的取值，令人=0,可得所求最小值.

【解答】解：f（x）=cos（3x-：）（3＞0），f（x）《f对Vx€R恒成立，

64

可得/（x）的最大值为f（三），且为1,

则2L^_-2L=2E,Q,

46

解得3=8k+2,k€Z,

3

由3>0,可得左=0时，3的最小值为2.

3

故选：D.

【点评】本题考查三角函数的最值和不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力，属

于基础题.

3.(2022•上海自主招生)tanl5°+272sin15°=()

A.V3B.A/2C.2D.1

【分析】由两角差的正弦公式、正切公式，结合特殊角的三角函数值，计算可得所求值.

【解答】解：tanl5°+2&sinl5°=tan(45°-30°)+2&sin(45°-30°)

=112V2x企好=2-V3+V3-1=1.

3

故选：D.

【点评】本题考查三角函数的求值，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

4.(2022•山西自主招生)已知函数/(x)(sin2r+4cosjc)+2sinx.则7(x)的最大

值为()

A.4百B.HC.6D.5M+2

2

【分析】先将/(x)化为/(x)—2(ycosx+1)(siiu+2)-4,然后利用基本不等式和辅

助角公式、正弦函数的最值，可得所求f(x)的最大值.

【解答】解：f(x)=5/3(sin2x+4cosx)+2sirtr=2A/3sin^cosx+4-\/3cosx+2sinx=2^3cosx

(sinx+2)+2sinx

—2(A/3COSJC+1)(sinx+2)-4,

显然sinx+2>0,由于要求的最大值，

所以只需考虑JEcosx+l>0的情况即可，

当V^cosx+l>0时，2(,\/3cosx+l)(sinx+2)-4W2(V^cosx+l+sinx+2)2_=

2sin+3-

2|----------------]2-4W2XQ2f-4=A1L7,

242

V3cosx+l=sinx+2

当且仅当，JT，x—2kn+—(^eZ)时等号成立，

sin(x-^~)=16

因此当(&ez)时，f(x)取得最大值卫.

62

故选：B.

【点评】本题考查三角函数的最值和基本不等式的应用，考查转化能力和运算求解能力，属

于中档题.

二.填空题(共2小题)

5.(2022•北京自主招生)若tana=3tanB(0<p<a<—),则a-0的最大值为_三_.

2-6—

【分析】由题意利用两角差的正切公式求得tan(a-p)的表达式，再利用基本不等式求得

它的最大值，可得a-0的最大值.

【解答]解：设x=a-p,贝！J0<x<-2L,tanx=tan(a-p)=.扭以(工-1朝_2tanB

21+tanCUanBl+3tan2P

=242

cotP+3tanP2^33

当且仅当colB=3tan0,即0=三时，taiu取最大值，此时a=?L,于是x的最大值是？L,

636

故答案为：2L.

6

【点评】本题主要考查两角差的正切公式、基本不等式的应用，属于中档题.

6.(2022•山西自主招生)已知直线y=m与函数/(X)=sin(3x+匹)+3(w>0)的图

42

象相交，若自左至右的三个相邻交点A,B,C满足21ABi=|BC|,则实数1或2.

【分析】根据题意将条件转化为直线>=，〃一旦与函数了二瓯!！(a)x+2L)的图象相交，由三

24

角函数的周期性结合已知得出|A8|的长并用A和8的横坐标之差表示，再结合A和B的中

点函数值取最值即可求解.

【解答】解：由题知，直线y=，〃与函数/(x)=sin(3X+?L)+旦(3>0)的图象相交，

42

等价于直线一2与函数y=sin(3x+?L)的图象相交，

24

设月(xi.m--),B(X2»m--),C(X3,m-—),

222

所以14cl="_,

3

又由2HBi=|BC|得，\AB\=1]AC\=^2L,

33CO

即…啜

化简得3X2-3苫1=三三，①

3

由题知点A和点B的中点坐标为（、1+、2,机-3）,

22

当直线y=/n-■与产sin（3乂4^~）的交点在x轴上方时,

X.+x9jr

sin（3-------=1>

即3三1：乂242+2k兀,k£Z，

242

化简得3X1+3x2='+4k兀，kwZ,②

由①②联立得3x,+兀=兀+2k冗,k€Z>

146

TTTT1

所以sin（3X[7"）=sin（-^+2k兀）

即m-3=工，

22

解得%=2；

当直线y=〃z-旦与y=sin（（0x-k-^-）的交点在x轴下方时，

24

sin=7，

即3―1722k兀，卜£Z，

242

化简得3x<+3x57+4kJl，髭Z,③

1z2

由①③联立得3x,工2k兀，k£Z，

146

所以sin（3x]-t-^-）=sin（7j+2k兀）=蒋，

即m/-，，

班22

解得m=l9

所以m=1或2,

故答案为：1或2.