专题03 勾股定理（知识串讲+热考题型+真题训练）-苏科版八年级《数学》上册重难点专题提优训练学霸满分

第第页专题03勾股定理【考点1】勾股定理．【考点2】勾股定理的证明．【考点3】勾股定理的逆定理．【考点4】勾股数．【考点5】勾股定理的应用．【考点6】平面展开﹣最短路径问题．知识点1勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.理解勾股定理的一些变式：，，.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段知识点2勾股定理证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.知识点3：勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.知识点4：勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数知识点5：勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题类型二、应用勾股定理解决旗杆高度类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题类型六、应用勾股定理解决航海问题类型七、应用勾股定理解决河的宽度类型八、应用勾股定理解决汽车是否超速问题类型九、应用勾股定理解决是否受台风影响问题类型十、应用勾股定理解决选扯距离相离问题类型十一、应用勾股定理解决几何图形中折叠问题【考点1】勾股定理．1．（2023春•岳池县期末）一个直角三角形的两条直角边分别长3和4，则斜边的长为（）A． B．5 C．或5 D．5或7【答案】B【分析】根据勾股定理求解即可．【解答】解：∴直角三角形的两条直角边分别长3和4，∴斜边的长为：．故选：B．2．（2023春•青羊区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，则AD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】先根据等腰三角形的性质得BD＝CD＝3，再根据勾股定理可得答案．【解答】解：∵BC＝6，D是BC的中点，AB＝AC，∴BD＝CD＝3，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AD＝＝4，故选：A．3．（2023春•华容县期末）如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，∠ABD＝90°，则AD＝（）A．10 B．13 C．8 D．11【答案】B【分析】首先根据勾股定理求得AB的长，再根据勾股定理求得AD的长．【解答】解：在直角三角形BCD中，BC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得BD＝5．在直角三角形ABD中，BA＝12，BD＝5根据勾股定理，得AD＝13．故选：B．4．（2023春•楚雄州期末）如图所示的是由一个直角三角形和三个正方形组成的图形，若其中S正方形ABED＝16cm2，S正方形AHIC＝25cm2，则正方形BCFG的面积是（）A．3cm2 B．9cm2 C．16cm2 D．41cm2【答案】B【分析】根据已知两正方形的面积求出直角三角形两直角边的长，利用勾股定理求出斜边的长，即可求出正方形BCFG的面积．【解答】解：∵S正方形ABED＝16cm2，S正方形AHIC＝25cm2，∴AB2＝16cm2，AC2＝25cm2，∴BC2＝AC2﹣AB2＝9cm2，∴正方形BCFG的面积是9cm2，故选：B．5．（2022秋•鹤壁期末）如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据网格特征和勾股定理求出△ABC的边长和面积，利用三角形的面积公式进行解答即可．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，由网格特征和勾股定理可得，AB2＝12+12＝2，AC2＝22+22＝8，BC2＝12+32＝10，∴AB2+AC2＝2+8＝10＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AB•AC＝BC•AD，即×2＝AD，∴AD＝，故选：C．6．（2023春•江津区期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是（）A．15 B．61 C．69 D．72【答案】B【分析】根据勾股定理可知：直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方．两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积．【解答】解：由勾股定理可知：SA+SB＝SF，SC+SD＝SG，∴SF＝42+52＝41，SG＝22+42＝20，∴SE＝SF+SG＝41+20＝61．故选：B．【考点2】勾股定理的证明．7．（2023春•杜尔伯特县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；C、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D．8．（2023春•中江县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝60，大正方形的面积为169．则小正方形的边长为（）A．7 B．13 C．10 D．17【答案】A【分析】勾股定理得：a2+b2＝169，又（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝169﹣2×60＝49，由此即可求出a﹣b＝7（a＞b），因此小正方形的边长为7．【解答】解：由题意知小正方形的边长是a﹣b，由勾股定理得：a2+b2＝169，∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝169﹣2×60＝49，∴a﹣b＝7（a＞b），∴小正方形的边长为7．故选：A．9．（2023春•顺庆区校级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，（1）求BC的长；（2）求AD的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用勾股定理列式计算即可得解；（2）利用△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝＝＝10；故答案为：10．（2）S△ABC＝BC•AD＝AB•AC，∴×10•AD＝×8×6，解得AD＝4.8．10．（2023春•会昌县期中）如图，每个小正方形的边长都为1．求四边形ABCD的周长及面积．【答案】周5+5+3；面积17.5．【分析】利用勾股定理求出AB、BC、CD和DA的长，即可求出四边形ABCD的周长；利用分割法即可求出四边形的面积．【解答】解：根据勾股定理得AB＝＝5，AD＝＝5，CD＝＝，BC＝＝2，故四边形ABCD的周长为5+5++2＝5+5+3；面积为5×7﹣×1×7﹣×1×2﹣1﹣×3×4﹣×2×4﹣1×3＝17.5．【考点3】勾股定理的逆定理．11．（2023春•增城区期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，7，5 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，2【答案】B【分析】根据三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．【解答】解：A、∵42+52≠72，∴以4，7，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵32+42＝52，∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；C、∵22+32≠42，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵12+22≠22，∴以1，2，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．12．（2023•雁塔区校级开学）下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝7：3：11 B．∠A+∠B＝∠C C．a：b：c＝7：24：25 D．a2＝9，b2＝1，c＝【答案】A【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误．【解答】解：A、设∠A＝7x°，∠B＝3x°，∠C＝11x°，7x+3x+11x＝180，解得：x＝，则11x°＝≠90°，∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；C、∵设a＝7x，b＝24x，c＝25x，∵（7x）2+（24x）2＝（25x）2，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵c2＝＝10＝9+1，∴c2＝a2+b2，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：A．13．（2023春•黄岩区期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由勾股定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案．【解答】解：A、三角形的三边为，2，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；B、三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；C、三角形的三边为，，2，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；D、三角形的三边为，，2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；故选：C．【考点4】勾股数．14．（2022秋•江都区期末）下面各组数中，勾股数是（）A．0.3，0.4，0.5 B．1，1， C．5，12，13 D．1，，2【答案】C【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【解答】解：A、都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；B、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；C、52+122＝132，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；D、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意．故选：C．15．（2023春•嘉鱼县期中）下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．1，1， C．1，2， D．5，12，13【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理和勾股数的定义对各项进行检验即可．【解答】解：A．∵12+22＝5≠32，∴不是勾股数；B．∵，但不是正整数，∴不是勾股数；C．∵，∴不是勾股数；D．∵52+122＝132，∴是勾股数，故选：D．【考点5】勾股定理的应用．16．（2023春•清原县期末）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．6米 B．8米 C．10米 D．12米【答案】C【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（m），在Rt△AEC中，AC＝＝10（m），答：小鸟至少飞行10米．故选：C．17．（2023春•长垣市期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杆的高度为（）米．A．5 B．12 C．13 D．17【答案】B【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【解答】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．故选：B．18．（2022秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】C【分析】先求出AC的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝4米，故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，故选：C．19．（2023春•浉河区校级期末）如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（）​A．北偏东40° B．北偏东50° C．东偏北60° D．东偏北70°【答案】B【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，求出∠AOB＝90°，然后再求出40°的余角即可解答．【解答】解：∵OA＝6，OB＝8，AB＝10，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，由题意得：90°﹣40°＝50°，∴点B在点O的北偏东50°方向，故选：B．20．（2023春•青秀区校级期末）如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（）A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺【答案】C【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．21．（2023春•江陵县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米【答案】C【分析】设OA＝OB＝x米，用x表示出OC的长，在直角三角形OCB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设OA＝OB＝x米，∵BC＝DE＝3米，DC＝1.5米，∴CA＝DC﹣AD＝1.5﹣0.5＝1（米），OC＝OA﹣AC＝（x﹣1）米，在Rt△OCB中，OC＝（x﹣1）米，OB＝x米，BC＝3米，根据勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+32，解得：x＝5，则秋千的长度是5米．故选：C．22．（2022秋•桥西区期末）为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.2米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明CD正对门缓慢走到高门1.2米处时（即BC＝1.2米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离AD等于（）A．0.5米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.7米【答案】C【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.2米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝1.2米，∴AE＝AB﹣BE＝2.2﹣1.7＝0.5（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.3（米），故选：C．23．（2023春•罗定市期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A．10m B．15m C．18m D．20m【答案】C【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出直角三角形的斜边的长度，进而可得出结论．【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，∴原来树的高度为：＝13（m），∴这棵树原来的高度＝5+13＝18（m）．即：这棵大树在折断前的高度为18m．故选：C．24．（2023春•罗庄区期中）如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（）A．5≤a≤12 B．12≤a≤3 C．12≤a≤4 D．12≤a≤13【答案】D【分析】最短距离就是牛奶盒的高度，当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最大，用勾股定理即可解答．【解答】解：最短距离就是牛奶盒的高度，即最短为12，由题意知：牛奶盒底面对角长为＝5，当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，则吸管长度为＝13，即吸管在盒内部分a的长度范围是12≤a≤13，故选：D．25．（2023春•武都区期末）如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB＝40米，BC＝30米，则走这条近路AC可以少走（）米路．A．20 B．30 C．40 D．50【答案】A【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝40米，BC＝30米，∴AC＝＝50（米），30+40﹣50＝20（米），∴走这条近路AC可以少走20米的路．故选：A．26．（2022秋•南阳期末）如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上．（1）请判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．（2）求△ABC的面积．【答案】（1）△ABC不是直角三角形，理由见解答；（2）9．【分析】（1）根据勾股定理求出△ABC的三条边长，再根据勾股定理的逆定理判定即可；（2）根据长方形和三角形面积公式计算即可求解．【解答】解：（1）△ABC不是直角三角形，理由如下：根据勾股定理，得BC2＝32+42＝25，AC2＝22+62＝40，AB2＝22+32＝13，∵AC2≠BC2+AB2，∴△ABC不是直角三角形；（2）．故△ABC的面积是9．27．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求图中着色部分的面积．【答案】96米2．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形，再根据S阴影＝AC×BC﹣AD×CD即可得出结论．【解答】解：在Rt△ADC中，∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10米（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（米2）．答：图中阴影部分的面积为96米2．28．（2023•滕州市校级开学）如图，一架梯子AB长10米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙6米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了2米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有8米高；（2）梯子的底端水平后移了2米．【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑2米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为2米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．【解答】解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO＝＝＝8（米）；答：这个梯子的顶端距地面有8米高；（2）梯子下滑了2米即梯子距离地面的高度为OA′＝8﹣2＝6（米），根据勾股定理：OB′＝＝＝8（米），∴BB′＝OB′﹣OB＝8﹣6＝2（米），答：当梯子的顶端下滑2米时，梯子的底端水平后移了2米．29．（2023春•公安县期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，∠OPN＝30°，点A处有一所学校．AP＝240m．假设汽车在公路MN上行驶时，周围150m以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．（已知汽车的速度为18m/秒．）【答案】学校会受到噪声影响；理由见解析；学校受影响的时间为10秒．【分析】过点A作AB⊥PN于点B，则可得AB＝120m，从而可判断学校会受到影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则易得AE＝AF，从而BE＝BF，由勾股定理可求得BE的长，从而得EF的长，由路程、速度与时间的关系即可求得学校受影响的时间．【解答】解：如图，过点A作AB⊥PN于点B，∵∠QPN＝30°，AP＝240m，∴，∵120m＜150m，∴学校会受到噪音的影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则AE＝AF＝150m，又∵AB⊥MN，∴BE＝BF，由勾股定理得：，∴EF＝2BE＝180m，∵汽车的速度为18m/s，∴受影响的时间为：180÷18＝10（s）．30．（2023春•涧西区期中）学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离CD为2米，到旗杆的距离CE为10米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】米．【分析】设AB＝x，在Rt△ACE中根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设AB＝x米，则AC＝x+2，AE＝x﹣2，∵∠AEC＝90°，∴AC2＝AE2+CE2，即：（x+2）2＝（x﹣2）2+102，∴x2+4x+4＝x2﹣4x+4+100，∴x＝，∴AB＝．答：旗杆AB的高度为米．31．（2023春•庆云县期中）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里，求客船航行的方向．【答案】客船航行的方向为北偏东10°．【分析】先根据客船与货船的速度关系求出两条船的速度，进而求出AC，BC，再利用勾股定理的逆定理求出∠BAC＝90°，进而求出∠CAF＝10°即可得到答案．【解答】解：客船的速度为4x海里/小时，则货船的速度为3x海里/小时，由题意得4x﹣3x＝5，解得x＝5，∴客船的速度为20海里/小时，则货船的速度为15海里/小时，∵货船沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，∴AC＝20×2＝40海里，AB＝15×2＝30海里，∠BAE＝80°，又∵BC＝50海里，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝180°﹣90°﹣80°＝10°，∴客船航行的方向为北偏东10°．32．（2023春•凤庆县期末）如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？【答案】E站应建在离A站10km处．【分析】根据土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE．∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）．∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km．答：E站应建在离A站10km处．33．（2023春•荆门期末）如图所示，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄C，江边原有两个观景台A，B，其中AB＝AC，现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台H（点A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米．（1）CH是不是从村庄C到江边的最短路线？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．【答案】（1）是，理由见解答；（2）5千米．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．【解答】解：（1）是，理由是：在△CHB中，BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米，∴CH2+BH2＝4.82+3.62＝36，BC2＝36，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最短路线；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x千米，AH＝（x﹣3.6）千米，CH＝4.8千米，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣3.6）2+4.82，解这个方程，得x＝5，答：原来的路线AC的长为5千米．34．（2023春•余干县期中）如图是某小区为迎接十四运，方便群众活动健身设计的秋千示意图，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，当秋千到AB′的位置时，下端B′距静止位置的水平距离DB′等于1.2m，距地面1m，求秋千AB的长．【答案】秋千AB的长为2m．【分析】利用已知表示出AD的长，再利用勾股定理得出即可．【解答】解：设AB＝xm，则AB′＝xm，由题意可得出：DB＝1﹣0.6＝0.4（m），则AD＝AB﹣DB＝（x﹣0.4）m，在Rt△AB′D中，AD2+B′D2＝AB′2，则（x﹣0.4）2+1.22＝x2，解得：x＝2．答：秋千AB的长为2m．35．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变．（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移动的距离．（结果保留根号）（2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？【答案】（1）（25﹣）米；（2）该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）根据题意列式计算即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米，∴（米），∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米），∴（米），∴CE＝AC﹣BC＝（25﹣）米，答：此人需向右移动的距离为（）米．（2）∵需收绳绳长AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），且此人以0.5米每秒的速度收绳，∴收绳时间，答：该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．36．（2023•中山市三模）某高铁站入口的双翼闸机如图所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm．双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．一名旅客携带一件长方体行李箱进站，行帮箱规格为60×80×100（长×宽×高，单位：cm）．当双翼收回进闸机箱内时，该旅客的行书箱是否可以通过闸机？请说明理由．【答案】可以通过，见解析．【分析】过点A作AE垂直PC于点E，过点B作BF垂直QD于点F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【解答】解：如图1，过点A作AE垂直PC于点E，过点B作BF垂直QD于点F．∵∠ACE＝30°，∠BDF＝30°，∴，．当双翼收回进闸机箱内时，闸机入口宽度PQ＝AE+AB+BF＝27+10+27＝64（cm）．∵长方体行李箱长为60cm，且60cm＜64cm，∴当双翼收回进闸机箱内时，该旅客的行李箱可以通过闸机．【考点6】平面展开﹣最短路径问题．37．（2023•中原区校级开学）如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20cm，宽都是50cm，长都是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（）A．100cm B．120cm C．130cm D．150cm【答案】C【分析】展开成平面图形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：把这个台阶示意图展开为平面图形得图①：在RT△ACB中，∵AC＝50，BC＝120，∴AB＝＝＝130，∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路AB的长度＝130cm．故选：C．38．（2023春•容县期末）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（）cm（杯壁厚度不计）．A．14 B．18 C．20 D．25【答案】C【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′F，此时点A’、F、B在同一条直线上，则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，∵A′B＝＝＝20（cm）．∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm，故选：C．39．（2023•禄劝县校级开学）如图是一个长为6cm、宽为3cm、高为4cm的长方体木块．一只蚂蚁要沿着长方体的表面从左下角的点A处爬行至右上角的点B处，那么这只蚂蚁所走的最短路线的长为cm．【答案】．【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（6+3）2+42＝97；（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+62＝85；（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（6+4）2+32＝109．∵85＜97＜109，∴最短路径的长为AB＝（cm）．故答案为：一．选择题（共11小题）1．下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B． C．4，5，6 D．8，12，13【答案】B【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，由此即可判断．【解答】解：A、22+32＝13，42＝16，22+32≠42，不能构成直角三角形，故A不符合题意；B、（）2+＝5＝，能构成直角三角形，故B符合题意；C、42+52＝41，62＝36，42+52≠62，不能构成直角三角形，故C不符合题意；D、82+122＝208，132＝169，82+122≠132，不能构成直角三角形，故D不符合题意．故选：B．2．如图是一个矩形空地ABCD，如果AB＝40，AD＝30，那么要从A走到C，至少要走（）A．70 B．50 C．140 D．40【答案】B【分析】从A走到C，应走线段AC，而AC是直角边AB＝40，AD＝30的直角三角形的斜边长，利用勾股定理求解即可．【解答】解：四边形ABCD是矩形可得∠D＝90°，CD＝AB＝40，∴AC＝＝＝50．∴要从A走到C，至少走50．故选：B．3．下列4组数中，是勾股数的为（）A．，，2 B．4，5，6 C．0.4，0.3，0.5 D．7，24，25【答案】D【分析】欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、因为勾股数应为三个正整数，、都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项错误；B、因为62≠42+52，所以它们不是勾股数，故本选项错误；C、因为0.3、0.4、0.5都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项错误．D、因为252＝72+242，所以它们是勾股数，故本选项正确；故选：D．4．如图所示，在2×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．△ABC的顶点都在小正方形的格点上，则点A到BC的距离为（）​A． B． C． D．【答案】C【分析】先用割补法求出三角形的面积、BC边的长，再利用三角形面积公式列方程求解．【解答】解：设点A到边BC的距离等于h，△ABC的面积＝2×3﹣×1×1﹣×1×3﹣×2×2＝2，BC＝，∵BC•h＝△ABC的面积，∴h＝＝．故选：C．5．如图，当正方形B的面积为64，正方形C的面积为100时，正方形A的面积为（）A．36 B．25 C．16 D．6【答案】A【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．【解答】解：由图可知，△DEF是直角三角形，∴DE2+DF2＝EF2，∵正方形B的面积＝DF2，正方形C的面积＝EF2，正方形A的面积＝DF2，正方形B的面积为64，正方形C的面积为100，∴正方形A的面积＝100﹣64＝36．故选：A．6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是a、b（b＞a），则（a+b）2的值为（）A．16 B．9 C．4 D．3【答案】B【分析】由勾股定理得a2+b2＝5，由小正方形面积是1，得出2ab＝4，即可得出结果．【解答】解：由题意可知：大正方形的面积＝a2+b2＝5，4个直角三角形的面积之和＝，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝5+4＝9．故选：B．7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；C、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D．8．如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，图中的字母是它们的面积，其中S2＝6π，S3＝10π，则S1为（）A．4π B．8π C．12π D．16π【答案】A【分析】根据勾股定理和半圆的面积公式得出S3＝S1+S2，则可得出答案．【解答】解：∵S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2，又BC2+AC2＝AB2，∴S1＝S2﹣S3＝10π﹣6π＝4π．故选：A．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝3，AB＝5，则CE的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．方法二：根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用勾股定理得出FG的长，即可得出答案．【解答】方法一：解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，∴△BFG∽△BAC，∴＝，∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°，∴BC＝4，∴＝，∵FC＝FG，∴＝，解得：FC＝，即CE的长为．故选：A．方法二：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°，∴BC＝4，在Rt△AFC和Rt△AFG中，，∴Rt△AFC≌Rt△AFG（HL），∴AC＝AG＝3，∴设FG＝x，则BF＝4﹣x，BG＝AB﹣AG＝5﹣3＝2，∴FG2+BG2＝BF2，则x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝，即CE的长为．故选：A．10．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（）A．120 B．110 C．100 D．90【答案】B【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：则四边形OAPL是矩形．∵∠CBF＝90°，∴∠ABC+∠OBF＝90°，又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠OBF＝∠ACB，在△OBF和△ACB中，，∴△OBF≌△ACB（AAS），∴AC＝OB，同理：△ACB≌△PGC，∴PC＝AB，∴OA＝AP，∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7，∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，∴长方形KLMJ的面积为10×11＝110．故选：B．11．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．51 B．49 C．76 D．无法确定【答案】C【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．故选：C．二．填空题（共8小题）12．如图，∠C＝∠ABD＝90°，AC＝4，BC＝3，BD＝12，则AD的长等于13．【答案】见试题解答内容【分析】首先根据勾股定理求得AB的长，再根据勾股定理求得AD的长．【解答】解：在直角三角形ABC中，AC＝4，BC＝3，根据勾股定理，得AB＝5．在直角三角形ABD中，BD＝12，根据勾股定理，得AD＝13．13．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是101寸．【答案】101．【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故答案为：101．14．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．则阴影部分的面积＝24．【答案】见试题解答内容【分析】先利用勾股定理求出AB，然后利用勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．【解答】解：在RT△ABC中，AB＝＝5，∵AD＝13，BD＝12，∴AB2+BD2＝AD2，即可判断△ABD为直角三角形，阴影部分的面积＝AB×BD﹣BC×AC＝30﹣6＝24．答：阴影部分的面积＝24．故答案为：24．15．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要680元．【答案】680．【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．【解答】解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m），则地毯总长为12+5＝17（m），则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．故答案为：680．16．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝6时，则阴影部分的面积为12．【答案】12．【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，由勾股定理得：AB＝＝＝2，所以阴影部分的面积S＝×π×22+×32+﹣×π×（）2＝12，故答案为：12．17．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是12尺．【答案】12．【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EC′的长为10尺，则C′B＝5尺，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，则水深AB＝（x﹣1）尺，∵C′E＝10尺，∴C′B＝5尺，在Rt△AC′B中，52+（x﹣1）2＝x2，解得x＝13，即芦苇长13尺，水深为12尺，故答案为：12．18．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了4步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．【答案】见试题解答内容【分析】根据勾股定理求出路长，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得路长＝＝5，少走（3+4﹣5）×2＝4步，故答案为：4．19．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝136．【答案】136．【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2，进一步得BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，再根据AD2＝AO2+DO2，BC2＝OC2+OB2，最后求得AD2+CB2＝136．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；故答案为：136．三．解答题（共6小题）20．如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．【答案】见试题解答内容【分析】连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACD中根据勾股定理求出AC的长，由等腰三角形的性质得出AE＝BE＝AB，在Rt△CAE中根据勾股定理求出CE的长，再由S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC即可得出结论．【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．∵AD⊥CD，∴∠D＝90°．在Rt△ACD中，AD＝5，CD＝12，AC＝＝＝13．∵BC＝13，∴AC＝BC．∵CE⊥AB，AB＝10，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5．在Rt△CAE中，CE＝＝＝12．∴S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC＝×5×12+×10×12＝30+60＝90．21．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求AC的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由BC＝13，CD＝12，BD＝5，知道BC2＝BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形，（2）由（1）可求出AC的长．【解答】证明：（1）∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，∴BC2＝BD2+CD2，∴△BDC为直角三角形；（2）设AB＝x，∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC＝x，∵AC2＝AD2+CD2，即x2＝（x﹣5）2+122，解得：x＝16.9，∴AC＝16.9．22．如图，在△ABC中，∠B＝9