2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省遂宁市射洪中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=12+i在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下：73，71，91，80，82，85，106，93，则这组数据的中位数与70%分位数分别为(

)A.81，95.5 B.81，85 C.83.5，92 D.83.5，913.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.π6 B.π3 C.2π34.如图，在△ABC中，BC=4，AB=AC=25，若△ABC的水平放置直观图为△A′B′C′，则△A′B′C′的面积为(

)

A.2 B.22 C.35.已知α∈(−π2,π2)，且A.13 B.−79 C.−6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b−c)cosA=acosC，则cosA=A.33 B.24 C.7.若圆锥的母线长为23，侧面展开图的面积为6π，则该圆锥的体积是(

)A.3π B.3π C.38.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子(近似为球)包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为(

)A.5126729π B.162二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中假命题是(

)A.若m⊥α，m⊥n，则n/​/α

B.若m/​/α，α⊥β，则m//β

C.若m/​/α，n/​/β，α⊥β，则m⊥n

D.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n10.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2A.函数f(x)最小正周期为T=π B.φ=π6

C.f(x)在区间[−5π12,−π6]上单调递减 11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E，F，G，H，IA.HI//平面EFG

B.三棱锥A1−EFG的体积为12

C.过E，F，G三点的平面截正方体所得截面的面积为33

D.若AP=2，则点P的轨迹长度为3π

三、填空题：本题共312.已知a=(1,2)，b=(1,3)，则a⋅b13.某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人.已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人.14.设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的圆上，则PC⋅PD的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(1,2),b=(2,−2),c=(λ+3,1)，向量a与向量b的夹角为θ．

(1)求cosθ的值．

(2)若16.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=2．

(1)求A；

(2)若a=2，217.(本小题15分)

2024年中国全名健身走(跑)大赛(四川射洪站)城市联动接力赛在射洪市举行，志愿者的服务工作是城市联动接力赛成功举办的重要保障，射洪市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

(1)求a，b的值；

(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；

(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=sinxcosx−3cos2x+32．

(1)求函数f(x)的单调递减区间；

(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π19.(本小题17分)

如图，在四面体ABCD中，AB=BD=CD=3，AB⊥平面BCD，CD⊥BD，点M为AD上一点，且AM=2MD，连接BM，CM．

(1)证明：BM⊥CD；

(2)求点D到平面BMC的距离；

(3)求二面角M−BC−D的余弦值．

答案解析1.D

【解析】解：因为z=12+i=2−i(2+i)(2−i)=2−i5=22.D

【解析】解：将题目中的8个数从小到大排列为：71，73，80，82，85，91，93，106，

中位数为第四、五两个数的平均数，等于82+852=83.5，

又∵8×70%=5.6，∴这组数据的70%分位数为第六个数，等于91．

∴这组数据的中位数与70%分位数分别为83.5，91．

故选：D3.B

【解析】解：根据正方体的性质可知BA1//CD1，

所以∠AD1C是直线A1B与AD1所成角，

由于三角形ACD1是等边三角形，所以∠AD4.B

【解析】解：在△ABC中，BC=4，AB=AC=25，

所以底边BC上的高为AO=(25)2−22=4，

所以△ABC的面积为S△ABC=5.B

【解析】解：α∈(−π2,π2)，且12sin2α−5cosα=9，

可得12−12cos2α−5cosα=96.A

【解析】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c且有(3b−c)cosA=acosC，

∴由正弦定理可得：

(3sinB−sinC)cosA=sinAcosC，

整理得：3sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，

即：3sinBcosA=sin(A+C)，

又∵A+B+C=π7.B

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，因为母线长为23，

所以侧面展开图的面积为πr×23=6π，

解得r=3，

所以圆锥的高为ℎ=(28.A

【解析】解：由题意可得每个三角形面积为S=12×4×23=43，

由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为16−(433)2=463，

故四面体的体积为13×43×463=169.ABC

【解析】解：若m⊥α，m⊥n，则n/​/α或n⊂α，故A错误；

若m/​/α，α⊥β，则m⊂β或m//β或m与β相交，故B错误；

若m/​/α，n/​/β，α⊥β，则m/​/n或m与n相交或m与n异面，故C错误；

若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n，故D正确．

故选：ABC．

10.ACD

【解析】解：对于A，由图象知：f(x)的最小正周期T=2×(5π6−π3)=π，A正确；

对于B，由A知：ω=2πT=2，∴f(π3)=sin(2π3+φ)=1，

∴2π3+φ=π2+2kπ(k∈Z)，解得：φ=−π6+2kπ(k∈Z)，

又|φ|<π2，∴φ=−π6，B错误；

对于C，由AB可知：f(x)=sin(2x−π6)，

当x∈[−5π12,−π6]时，2x−π6∈[−π,−π2]，

∴f(x)11.BCD

【解析】解：选项A，如图，设点K是棱DD1中点，由E，F，G，H，I均为所在棱的中点，

根据中位线易得HI//EF//KG，进而可得HI与点EFG共面，所以HI⊂平面EFG，故A错误；

选项B，如图，因为面A1FG在正方体前侧面上，所以点E到面A1FG的距离等于EA的长，

正方形A1B中S△A1FG=SABB1A1−S△AFA1−S△BFG−S△A1B1G=32，

则三棱锥A1−EFG的体积为V=13S△A1FG⋅EA=12，故B正确；

选项12.7

【解析】解：因为a=(1,2)，b=(1,3)，

所以a⋅b=1×1+2×3=7．13.1800

【解析】解：由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人，

所以抽取的比例为120720=16

设该校共有n名学生，可得300n=16，

解得n=180014.[0,32]

【解析】解：如图，取DC的中点E，连接PE，

设AB为直径的圆的圆心为O，半径为r，

则由向量的极化恒等式可得：

PC⋅PD=PE2−EC2=PE2−4，

又PE∈[EO−r,EO+r]，又EO=4，r=2，

即PE∈[2,6]15.解：(1)因为a=(1,2),b=(2,−2)，

所以|a|=12+22=5,|b|=22+(−2)2=22，a⋅b=1×2+2×(−2)=−2，

因为向量a与向量b【解析】(1)由平面向量夹角的坐标表示计算即可求得；

(2)由向量垂直的坐标表示建立方程，求解即可．

16.解：(1)因为sinA+3cosA=2，

所以2sin(A+π3)=2，即sin(A+π3)=1，

由A为三角形内角得A+π3=π2，

即A=π6；

(2)因为2bsinc=csin2B，

2bsinC=2csinBcosB，由正弦定理可得：2bc=2bccosB，

可得cosB=22，

又因为B∈(0,π)，所以B=π4【解析】(1)由辅助角公式及角A的范围，可得角A的大小；

(2)由正弦定理可得cosB的值，再由角B的范围，可得角B的大小，进而可得角C的大小，再由正弦定理可得b，c的值，进而求出△ABC的周长．

17.解：(1)由题意可知：10a+10b=0.310(0.045+0.020+a)=1−0.3，

解得a=0.005b=0.025；

(2)由(1)可知，每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，

所以平均数为x−=50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5，

因为0.05+0.25=0.30>0.25，设第25百分位数为x，则x∈[55,65)，

则0.05+(x−55)×0.025=0.25，解得x=63，

故第25百分位数为63；

(3)设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为x−1,x−2,s12,s22，

且两组频率之比为0.25【解析】(1)根据频率分布直方图分别表示出各组的频率，由第一、二组的频率之和为0.3及总的频率之和为1列方程组解出a，b的值；

(2)分别写出每一组的频率，由平均数计算公式得到平均数，根据频率和得到第25百分位数所在的组，由概率和为0.25解出第25百分位数的值；

(3)由第二组、第四组的频率之比得到分层抽样后两组人数所占比例，再结合两组各自的平均数和方差，由公式x−=5918.解：(1)函数f(x)=sinxcosx−3cos2x+32=12sin2x−32(1+cos2x)+32=sin(2x−π3)．

令π2+2kπ≤2x−π3≤2kπ+3π2，(k∈Z)，

整理得：5π12+kπ≤x≤kπ+11π12，(k∈Z)，【解析】(1)直接利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单独叫递减区间；

(2)利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．

19.(1)证明：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，

所以AB⊥CD，

因为CD⊥BD，AB∩BD=B，AB，BD⊂平面ABD，

所以CD⊥平面ABD，

因为BM⊂平面ABD，

所以BM⊥CD；

(2)解：因为AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以AB⊥BD，

因为AB=BD=3，所以AD=32，∠ADB=45°，

因为点M为AD上一点，且AM=2MD，

所以AM=22,DM=2，点M到平面BCD的距离为ℎ=13AB=1，

因为CD⊥BD，BD=CD=3，所以BC=32，S△BCD=12×3×3=92，

由(1)知CD⊥平面ABD，因为AD⊂平面ABD，所以CD⊥AD，

所以CM=CD2+DM2=9+2=11，

在△BDM中，由余弦定理得BM=BD2+DM2−2BD⋅DMcos∠BDM

=9+2−2×3×2×22=5，

在△BCM中，由余弦定理得cos∠BMC=5+11−182×5×11=−155，

所以sin∠BMC=1−155=5455，

所以S△BCM=12BM⋅CMsin∠BMC=12×5×11×5455=362，

设点D到平面BMC的距离为d，

因为VD−BMC=VM−BCD，所以13S