2023-2024学年山东省济南市平阴县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省济南市平阴县八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列数学经典图形中，是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.已知a<b，则下列不等式一定成立的是(

)A.a2<b2 B.−2a<−2b C.3.若分式x+12x−1的值为0，则x的值是(

)A.x=1 B.x=−1 C.x=12 4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是x=1，则a+b+c的值是A.0 B.−1 C.1 D.不能确定5.如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2A.160B.180

C.320D.4806.下列判断错误的是(

)A.邻边相等的四边形是菱形

B.有一角为直角的平行四边形是矩形

C.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

D.矩形的对角线互相平分且相等7.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为(

)A.2cmB.2cmC.(28.如图，直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(−4,0)，点B(2,0)，则x+b>0kx+4>0解集为(

)A.−4<x<2 B.x<−4 C.x>2 D.x<−4或x>29.如图，正方形ABCD中，AB=1，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，连接AE、EF、AF，下列结论：①BE+DF=EF；②AE平分∠BEF；③△CEF的周长为2；④S△CEF=S△ABEA.1B.2

C.3D.410.定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角.例如：如图①，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°且DC=BC，那么四边形ABCD就是邻等四边形．

问题解决：如图②，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形(点D在格点上)，则所有符合条件的点D共有(    )个．A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.分解因式：xy−y2=12.如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=______．

13.若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

．14.若关于x的分式方程1−xx−2=m2−x−2有增根，则15.如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作EF⊥BD，交AD于点E、交BC于F，连接BE、DF.若AB=3，AD=4.则四边形BFDE的面积______．16.如图，已知线段AB=12，点C是线段AB上一动点，将点A绕点C顺时针旋转60°得到点D，连接AD、CD；以CD为边在CD的右侧做矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接BM，则线段BM的最小值是______．三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

解不等式组：2(x−1)≤x+3①x+13<x−1②18.(本小题6分)

先化简，再求值：(1+3a−2)÷a+1a2−4，再从−2，−1，019.(本小题8分)

解下列方程：

(1)x2+12x+27=0；

20.(本小题6分)

已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：DE=BF．21.(本小题8分)

仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式为(x+n)，则x2−4x+m=(x+3)(x+n)，

即x2−4x+m=x2+(n+3)x+3n，

∴n+3=−43n=m，

解得n=−7m=−21．

故另一个因式为(x−7)，m的值为−21．

仿照上面的方法解答下面问题：

(1)已知二次三项式x2+3x−c有一个因式是(x−5)，则22.(本小题8分)

如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．

(1)求证：BD=EC；

(2)若∠E=50°，求∠BAO的大小．23.(本小题10分)

△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．

(1)平移△ABC，点A的对应点A1的坐标为(1,−5)，画出平移后对应的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；

(2)△ABC绕点C逆时针方向旋转90°得到△A2B224.(本小题10分)

端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克.根据以上信息，解答下列问题：

(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？

(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？25.(本小题12分)

阅读材料：

材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1，x2和系数a、b、c，有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．

材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．

解：∵m，n是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根．

∴m+n=1，mn=−1．

则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．

(1)应用：一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为x1，x2，则x126.(本小题12分)

综合与实践．

【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如图1的方式摆放，∠ACB=∠ECD=90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，连接AE，BD，延长BD交AE于点F，交AC于点G，连接CF.该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

(1)如图2，当ED/​/BC时：

①则α=______°；

②判断BD与AE的位置关系，并说明理由．

【深入探究】

(2)如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：______；

【拓展延伸】

(3)如图4，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上(不与A重合)，以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度.如图5，M为EF的中点，N为BE的中点.请说明△MND为等腰三角形．

答案解析1.A

【详解】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；

B、图形不是中心对称图形，不符合题意；

C、图形不是中心对称图形，不符合题意；

D、图形不是中心对称图形，不符合题意．

故选：A．

2.A

【详解】解：A、在不等式a<b的两边同时乘12，不等号方向不变，即a2<b2，故本选项符合题意；

B、在不等式a<b的两边同时乘−2，不等号方向改变，即−2a>−2b，故本选项不符合题意；

C、在不等式a<b的两边同时减去2，不等号方向不变，即a−2<b−2，故本选项不符合题意；

D、在不等式a<b的两边同时加上2，不等号方向不变，即a+2<b+23.B

【详解】解：∵分式x+12x−1的值为0，

∴x+1=0且2x−1≠0，

∴x=−1．

故选：B．4.A

【详解】解：把x=1代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)5.A

【详解】解：由题意得：

2(a+b)=20，ab=16，

∴a+b=10，

∴a2b+ab2=ab(a+b)

=16×10

=1606.A

【详解】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，错误，符合题意；

B、有一角为直角的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；

C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，不符合题意；

D、矩形的对角线互相平分且相等，正确，不符合题意；

故选：A．

7.D

【详解】解：∵四边形ABCD为边长为2cm的正方形，

∴BD=22+22=22(cm)，

由平移的性质可知，8.A

【详解】解：∵直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(−4,0)，点B(2,0)，

∴当x>−4时，y=x+b>0，当x<2时，y=kx+4>0，

∴x+b>0kx+4>0解集为−4<x<2，

故选：A9.C

【详解】解：①延长CB到G，使BG=DF，连接AG，如下图所示：

则EG=BE+BG=BE+DF，

∵四边形ABC为正方形，AB=1，

∴∠ABC=∠C=∠D=∠DAB=90°，AB=BC=CD=AD=1，

∴∠ABG=∠D=90°，

在△ABG和△ADF中，

AB=AD∠ABG=∠D=90°BG=DF，

∴△ABG≌△ADF(SAS)，

∴∠2=∠1，AG=AF，

∵∠DAB=90°，∠EAF=45°，

∴∠1+∠3=∠DAB−∠EAF=90°−45°=45°，

∴∠2+∠2=45°，

∴∠EAG=∠EAF=45°，

在△AEG和△AEF中，

AG=AF∠EAG=∠EAFAE=AE，

∴△AEG≌△AEF(SAS)，

∴EG=EF=BE+DF，

故结论①正确；

②∵△AEG≌△AEF，

∴∠GEA=∠FEA，

即AE平分∠BEF，

故结论②正确；

③∵BE+DF=EF，

∴CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=BC+CD=2，

即△CEF的周长为2，

故结论③正确；

④设DF=a，BE=b，则CF=1−a，CE=1−b，EF=BE+DF=a+b，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF2=CE2+CF2，

即(a+b)2=(1−a)2+(1−b)2，

整理得：ab=1−a−b，

∵S△ABE=12BE⋅AB=12b，S10.B

【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格点的意义可知，

所有符合条件的点D共有3个，即图形中的D1，D2，D3，

故选：B11.y(x−y)

【详解】解：xy−y2=y(x−y)．

12.45°

【详解】解：∵正八边形的外角和为360°，

∴每一个外角为360°÷8=45°．

故答案为：45°．

13.k<1

【详解】解：由题意，得(−2)2−4×1×k>0，

解得k<1．

所以k14.1

【详解】解：∵1−xx−2=m2−x−2，

去分母，得：1−x=−m−2(x−2)；

∵分式方程有增根，

∴x=2，

把x=2代入1−x=−m−2(x−2)，

则1−2=−m−2(2−2)，

解得：m=115.758【详解】解；四边形ABCD是矩形，

∴AD/​/BC，AD=BC，

∴∠EDO=∠OBF，

∵O是BD中点，

∴BO=DO，

∵∠EOD=∠BOF，

在△DEO和△BFO中，

∠EDO=∠OBFDO=BO∠EOD=∠BOF,

∴△DEO≌△BFO(ASA)，

∴ED=BF，

∴四边形EBFD是平行四边形，

又∵EF⊥BD，

∴四边形EBFD是菱形；

∴ED=EB，

设AE=x，则ED=EB=4−x，

在Rt△ABE中，BE2−AB2=AE2，

即(4−x)2=x2+32，

解得x=16.6

【详解】解：连接CM，EM，过点A，M作射线AM，过点B作BN⊥射线AM于N，如下图所示：

∵四边形CDEF为矩形，点M为对角线DF的中点，

∴点C，M，E在同一条直线上，

∴DM=CM=FM=EM，

由旋转的性质得：CA=CD，∠ACD=60°，

∴△ACD为等边三角形，

∴AD=AC，∠DAC=60°，

在△ADM和△ACM中，

AD=AC，AM=AM，DM=CM，

∴△ADM≌△ACM(SSS)，

∴∠DAM=∠CAM=12∠DAC=30°，

即射线为∠DAC的平分线，

∴当点C在线段AB上运动时，点M始终在∠DAC的平分线上运动，

根据“垂线段最短”得：当BM⊥AM时，BM为最小，最小值为线段BM的长，

在Rt△ABN中，∠CAM=30°，AB=12，

∴BN=12AB=6，

∴BM的最小值为6．17.解：2(x−1)≤x+3①x+13<x−1②，

解不等式①，得x≤5，

解不等式②，得x>2，

所以不等式组的解集是2<x≤5，

所以不等式组的整数解是3，4，【详解】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．

18.解：(1+3a−2)÷a+1a2−4

=a+1a−2×(a+2)(a−2)a+1【详解】先进行通分，再把除法转化成乘法，然后进行约分，再选一个适当的值代入即可．

19.解：(1)(x+3)(x+9)=0，

x+3=0或x+9=0，

所以x1=−3，x2=−9；

(2)两边乘(x+1)(x−1)得，

x+1=1，

∴x=0，

【详解】(1)利用因式分解法把方程转化为x+3=0或x+9=0，然后解一次方程即可；

(2)先移项得到3x(x−1)+2(x−1)=0，再利用因式分解法把方程转化为x−1=0或3x+2=0，然后解一次方程即可．

20.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD//BC，

∴∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，

∵点O为对角线AC的中点，

∴AO=CO，

在△AOE和△COF中，

∠EAO=∠FCO∠OEA=∠OFCAO=CO，

∴△AOE≌△COF(AAS)，

∴AE=CF，

∴AD−AE=BC−CF【详解】根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD//BC，进而推出∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，结合AO=CO，利用AAS证明△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．

21.40

【详解】解：(1)设另一个因式为(x+n)，则x2+3x−c=(x−5)(x+n)=x2+(n−5)x−5n，

∴n−5=3−c=−5n，解得n=8c=40，

∴c=40，

故答案为：40．

(2)设另一个因式为(2x+n)，则：2x2−6x−k=(x−5)(2x+n)，

即：2x2−6x−k=2x2+(n−10)x−5n，

∴n−10=−6−5n=−k，

解得n=4k=2022.(1)证明：∵菱形ABCD，

∴AB=CD，AB/​/CD，

又∵BE=AB，

∴BE=CD，BE/​/CD，

∴四边形BECD是平行四边形，

∴BD=EC；

(2)解：∵平行四边形BECD，

∴BD/​/CE，

∴∠ABO=∠E=50°，

又∵菱形ABCD，

∴AC丄BD，

∴∠BAO=90°−∠ABO=40°．

【详解】(1)根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB/​/CD，然后证明得到BE=CD，BE/​/CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；

(2)根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．

23.解：(1)如图所示，△A1B1为(2,−2)；

(2)如图所示，△AA2B2C即为所求．

(3)如图所示，点P即为所求，【详解】(1)利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；

(2)利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；

(3)利用旋转图形的性质，得到对应点，对应点连线的交点即为旋转中心．

24.解：(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，

根据题意，得240x−4=240x+2，

解得x1=10，x2=−12(舍去)，

经检验，x1=10，x2=−12都是原分式方程的根，但x2=−12不合题意舍去，

答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；

(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，

根据题意，得(10+2)m+10(400−m)≤4600，

解得m≤300，

w=(20−12)m+(16−10)(400−m)=2m+2400，

∵2>0，

∴w随着m增大而增大，

当m=300时，w【详解】(1)设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列分式方程，求解即可；

(2)设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，根据该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定如何进货才能获得最大利润，并求出最大利润即可．25.(1)−32，−12；

(2)∵一元二次方程2x2+3x−1=0的两根分别为m，n，

∴m+n=−32，mn=−12，

∴m2+n2=(m+n)2−2mn=94+1=134；

(3)①∵实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0，且s≠t，

∴s，t是一