2023-2024学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(

)A.B.C.D.2.已知a>b，则下列结论正确的是(

)A.a−3<b−3 B.−2a>−2b C.5a>5b D.a3.用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变形为(

)A.(x+1)2=6 B.(x+2)2=94.矩形ABCD在平面直角坐标系中如图所示，若矩形平移，使得点A(−4,3)到点A′(1,4)的位置，平移后矩形顶点C的对应点C′的坐标是(

)A.C′(−2,0) B.C′(3,0) C.C′(3,1) D.C′(4,1)5.计算：x+yxy−x−yA.2x B.−2x C.26.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是(

)A.AD=BC B.AB=CD C.AD//BC D.∠A=∠C7.如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，若△ABC的周长是10，则△AOE的周长为(

)A.3

B.5

C.6

D.78.若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是A.k<13 B.k≤13 C.k<19.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，OC=6，∠AOC=60°，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OC于点D、E；再分别以点D、点E圆心，大于12DE的长度为半径画弧，两弧相交于点F，过点O作射线OF，交BC于点P，则点P的坐标为(

)A.(4,23) B.(6,23)10.关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0有一个根是−1，若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，设t=a+2bA.−12≤t<1 B.−1<t≤14 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.分解因式：a2−4=

．12.我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形．如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则∠1=______°.13.已知一元二次方程x2+kx−6=0有一个根是2，则另一个根是______．14.代数式3x+2与代数式2x−1的值相等，则x=______．15.如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则S△BHF=______．

16.如图，矩形ABCD中，E为CD上一点，F为AB上一点，分别沿AE，CF折叠，D，B两点刚好都落在矩形内一点P，且∠EPC=150°，则AB：AD=______．

三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

解不等式组5x−3≤2(x−3)①x418.(本小题6分)

先化简，再求值：(1−4m+1)÷m219.(本小题6分)

在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，连接DE、BF．

求证：DE=BF．20.(本小题8分)

解方程：

(1)x2−2x=0；

21.(本小题8分)

如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．

(1)将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．

(2)画出△A1B1C1关于点22.(本小题8分)

如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=CD，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO=∠ACE，连接OE．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若AB=210，BD=4，求OE23.(本小题10分)

为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩.已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．

(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？

(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？24.(本小题10分)

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？

【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

解决方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则点P即为所求.此时，PA+PB的值最小，且PA+PB=A′P+PB=A′B．

【模型应用】

问题1.如图2，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是______．

问题2.如图3，在平面直角坐标系中，点A(−2,4)，点B(4,2)．

(1)请在x轴上确定一点P，使PA+PB的值最小，求出点P的坐标；

(2)请直接写出PA+PB的最小值．

【模型迁移】

问题3.如图4，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12，BD=16.点P和点E分别为BD，CD上的动点，求PE+PC的最小值．25.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+4(k≠0)与y轴交于点A.直线y=−2x+1与直线y=kx+4(k≠0)交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为−1．

(1)求点B的坐标及k的值；

(2)在直线AE上找一点D使S△ACD=2S△ABC，求点D的坐标；

(3)设F是坐标平面内一个动点，当以A、B、C、F26.(本小题12分)

旋转是几何图形中的一种重要变换，通常与全等三角形的数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行了如下探究：△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，点D为BC中点，将△DEF绕点D旋转，连接AE、CF．

观察猜想：

(1)如图1，在△DEF旋转过程中，AE与CF的数量关系为______；位置关系为______；

探究发现：

(2)如图2，当点E、F在△ABC内且C、E、F三点共线时，试探究线段CE、AE与DE之间的数量关系，并说明理由；

解决问题：

(3)若△ABC中，AB=5，在△DEF旋转过程中，当AE=2且C、E、F三点共线时，直接写出DE的长．参考答案1.C

2.C

3.C

4.C

5.A

6.A

7.B

8.D

9.D

10.C

11.(a+2)(a−2)

12.18

13.−3

14.7

15.6

16.2：117.解：解不等式①得x≤−1，

解不等式②得x>−4，

故原不等式组的解集为−4<x≤−1．

则它的所有整数解为−3，−2，−1．

18.解：原式=(m+1m+1−4m+1)÷(m+3)(m−3)m+3

=m+1−4m+1÷(m−3)

=19.证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD//BC，

∴∠DAE=∠BCF，

又∵AE=CF，

∴△ADE≌△CBF(SAS)，

∴DE=BF．

20.解：x2−2x=0，

x(x−2)=0，

则x=0或x−2=0，

所以x1=0，x2=2．

(2)2x2−7x+6=0，

(x−2)(2x−3)=0，

则21.(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)如图，△22.(1)证明：∵CE⊥AB，

∴∠CEA=90°，

∴∠CAE+∠ACE=90°，

∵∠ABO=∠ACE，

∴∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠AOB=90°，

∴AO⊥OB，

∵AB/​/CD，AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形；

(2)解：∵四边形ABCD是菱形，BD=4，

∴OA=OC，BD⊥AC，OB=OD=2，

∴∠AOB=90°，

∴OA=AB2−OB2=40−4=623.解：(1)设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是(x+0.2)元，

由题意得：16x+0.2=12x，

解得：x=0.6，

经检验，x=0.6是原方程的解，且符合题意，

∴x+0.2=0.6+0.2=0.8，

答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元；

(2)解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(15−m)个，

由题意得：15−m≤2m，

解得：m≥5，

设所需费用为w元，

由题意得：w=0.8m+0.6×(15−m)=0.2m+9，

∵0.2>0，

∴w随m的增大而增大，

∴当m=5时，w取得最小值=0.2×5+9=10，

24.问题1：310；

问题2：(1)作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，

∵点B(4,2)，

∴B′(4,−2)，

设直线AB′的解析式为y=kx+b，

∵点A(−2,4)，点B′(4,−2)．

∴4=−2k+b−2=4k+b，解得：k=−1b=2，

∴直线AB′的解析式为y=−x+2，

当y=0时，−x+2=0，解得：x=2，

∴点P的坐标(2,0)；

(2)∵点B关于x轴的对称点B′，

∴PB=PB′，

∴PA+PB=PA+PB′，

∴当点A，点P，点B′三点共线时，PA+PB的最小值为AB′的长，

∵B′(4,−2)，点A(−2,4)，

∴AB′=(4+2)2+(−2−4)2=62，

∴PA+PB的最小值为62；

问题3：如图5，过A作AE⊥CD，交BD于P，连接CP，

此时线段PE+PC最小，且PE+PC=AE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OD=12BD=8，OC=125.解：(1)在y=−2x+1中，令x=−1得y=2+1=3，

∴B(−1,3)，

把B(−1,3)代入y=kx+4得：

3=−k+4，

解得k=1，

∴y=x+4，

∴B的坐标是(−1,3)，k的值为1；

(2)∵S△ACD=2S△ABC，

∴12×AC×|xD|=2×12×AC×|xB|，

∴|xD|=2|xB|=2，

∴点D的横坐标为2或−2，

∴点D的坐标为(−2,2)或(2,6)；

(3)∵以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形，

设点F(m,n)，

当平行四边形为▱ABCF时，

根据题意，

m=0−(−1)=1，n−1=4−3，

∴m=1，n=2，

∴F(1,2)；

当平行四边形为▱ACBF时，

根据题意，

0−0=m−(−1)，4−1=n−3，

∴m=−1，n=6，

∴F(−1,6)；

当平行四边形为▱ABFC时，26.（1）AE=CF；AE⊥CF；

(2)CE−AE=2DE；

证明：如图2所示，连接AD，

由(1)可知，△AED≌△CFD(SAS)，

∴∠EAD=∠FCD，AE=CF，

∴CE=CF+EF=AE+EF，

∴CE−AE=CE−CF=EF，

∵△DEF是等腰直角三角形，即DE=DF，

∴EF2=DE2+DF2=2DE2，

∴EF=2DE=2DF，

∴CE−AE=2DE；

(3)DE的长为6−22或2+62.理由如下：

AB=5，AE=2，C、E、N三点共线，

①由(2)可知，CE−AE=2DE，如图3