2023-2024学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图是理想、蔚来、小鹏、哪吒四款新能源汽车的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(

)A.B.C.D.2.已知a>b，则下列结论正确的是(

)A.a−3<b−3 B.−2a>−2b C.5a>5b D.a3.用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变形为(

)A.(x+1)2=6 B.(x+2)2=94.矩形ABCD在平面直角坐标系中如图所示，若矩形平移，使得点A(−4,3)到点A′(1,4)的位置，平移后矩形顶点C的对应点C′的坐标是(

)A.C′(−2,0) B.C′(3,0) C.C′(3,1) D.C′(4,1)5.计算：x+yxy−x−yA.2x B.−2x C.26.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是(

)A.AD=BC B.AB=CD C.AD//BC D.∠A=∠C7.如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，若△ABC的周长是10，则△AOE的周长为(

)A.3

B.5

C.6

D.78.若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是A.k<13 B.k≤13 C.k<19.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，OC=6，∠AOC=60°，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OC于点D、E；再分别以点D、点E圆心，大于12DE的长度为半径画弧，两弧相交于点F，过点O作射线OF，交BC于点P，则点P的坐标为(

)A.(4,23) B.(6,23)10.关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0有一个根是−1，若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，设t=a+2bA.−12≤t<1 B.−1<t≤14 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.分解因式：a2−4=

．12.我们把各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形．如图，边长相等的正五边形和正方形的一边重合，则∠1=______°.13.已知一元二次方程x2+kx−6=0有一个根是2，则另一个根是______．14.代数式3x+2与代数式2x−1的值相等，则x=______．15.如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则S△BHF=______．

16.如图，矩形ABCD中，E为CD上一点，F为AB上一点，分别沿AE，CF折叠，D，B两点刚好都落在矩形内一点P，且∠EPC=150°，则AB：AD=______．

三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

解不等式组5x−3≤2(x−3)①x418.(本小题6分)

先化简，再求值：(1−4m+1)÷m19.(本小题6分)

在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，连接DE、BF．

求证：DE=BF．20.(本小题8分)

解方程：

(1)x2−2x=0；

(2)221.(本小题8分)

如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．

(1)将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．

(2)画出△A1B1C1关于点22.(本小题8分)

如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=CD，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO=∠ACE，连接OE．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若AB=210，BD=4，求OE23.(本小题10分)

为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩.已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．

(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？

(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？24.(本小题10分)

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？

【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点.在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

解决方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则点P即为所求.此时，PA+PB的值最小，且PA+PB=A′P+PB=A′B．

【模型应用】

问题1.如图2，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是______．

问题2.如图3，在平面直角坐标系中，点A(−2,4)，点B(4,2)．

(1)请在x轴上确定一点P，使PA+PB的值最小，求出点P的坐标；

(2)请直接写出PA+PB的最小值．

【模型迁移】

问题3.如图4，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12，BD=16.点P和点E分别为BD，CD上的动点，求PE+PC的最小值．25.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+4(k≠0)与y轴交于点A.直线y=−2x+1与直线y=kx+4(k≠0)交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为−1．

(1)求点B的坐标及k的值；

(2)在直线AE上找一点D使S△ACD=2S△ABC，求点D的坐标；

(3)设F是坐标平面内一个动点，当以A、B、C、F26.(本小题12分)

旋转是几何图形中的一种重要变换，通常与全等三角形的数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行了如下探究：△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，点D为BC中点，将△DEF绕点D旋转，连接AE、CF．

观察猜想：

(1)如图1，在△DEF旋转过程中，AE与CF的数量关系为______；位置关系为______；

探究发现：

(2)如图2，当点E、F在△ABC内且C、E、F三点共线时，试探究线段CE、AE与DE之间的数量关系，并说明理由；

解决问题：

(3)若△ABC中，AB=5，在△DEF旋转过程中，当AE=2且C、E、F三点共线时，直接写出DE的长．答案解析1.C

【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：C．

2.C

【详解】解：已知a>b，两边同时减去3得a−3>b−3，则A不符合题意；

已知a>b，两边同时乘−2得−2a<−2b，则B不符合题意；

已知a>b，两边同时乘5得5a>5b，则C符合题意；

已知a>b，两边同时除以2得a2>b2，则D不符合题意；

3.C

【详解】解：由原方程移项，得

x2−2x=5，

方程的两边同时加上一次项系数−2的一半的平方1，得

x2−2x+1=6

∴(x−1)24.C

【详解】解：∵点A(−4,3)，点A′(1,4)，

∴点A的横坐标向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到点A′，

∴平移后矩形顶点C(−2,0)的对应点C′的坐标是(3,1)，

故选：C．

5.A

【详解】解：原式=(x+y)−(x−y)xy

=x+y−x+yxy

=2yxy

=6.A

【详解】解：D、当AB/​/CD，AD=BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；

B、AB/​/CD，AB=DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；

C、AB/​/CD，AD//BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；

D、∵AB/​/CD，

∴∠A+∠D=180°，

∵∠A=∠C，

∴∠C+∠D=180°，

∴AD//BC，

∴四边形ABCD为平行四边形；

故选：A．

7.B

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，AD=BC，

∵点E是AD的中点，

∴AD=2AE，AB=2OE，

∵△ABC的周长是10，

∴△AOE的周长=AE+OA+OE=12(AD+AB+AC)=12×10=58.D

【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0，

∴k≠0，

∵方程有两个实数根，

∴Δ=(−2)2−4k×3≥0，

解得k≤13，

∴k的取值范围是k≤9.D

【详解】解：如图，延长BC交y轴于G，则BG⊥y轴，

，

∴∠OGC=90°，

∵∠AOC=60°，

∴∠GOC=30°，

∴CG=12OC=3，OG=3CG=33，

由题意得：OP平分∠AOC，

∴∠AOP=∠COP，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴OA/​/BC，

∴∠AOP=∠CPO，

∴∠COP=∠CPO，

∴PC=OP=6，

∴PG=PC+CG=6+3=9，

∴点P的坐标为10.C

【详解】解：由题知，

将x=−1代入关于x的方程得，

a−b+12=0．

因为一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，

所以a<0，b>0．

因为t=a+2b，且a=b−12，

所以t=b−12+2b=3b−12，

因为b>0，

所以3b−12>−12，

即11.(a+2)(a−2)

【详解】解：a212.18

【详解】解：∵正五边形的每个内角度数为(5−2)×180°÷5=108°，正方形的每个内角等于90°，

∴∠1=108°−90°=18°，

故答案为：18．

13.−3

【详解】解：设方程的另一个根为t，

根据根与系数的关系得2t=−6，

解得t=−3，

即方程的另一个根为−3．

故答案为：−3．

14.7

【详解】解：由题意得3x+2=2x−1，

去分母得，3(x−1)=2(x+2)，

去括号得，3x−3=2x+4，

移项得，3x−2x=4+3，

解得x=7，

经检验x=7是原方程的解，

所以原方程的解为x=7，15.6

【详解】解：连接BD，

∵四边形ABCD是正方形，四边形BGFE是正方形，

∴∠DBC=45°，∠FBG=45°，

∴∠DBF=90°，

∵AB=AD=3，BE=EF=4，

∴BD=32，BF=42，

∴S△DBF=12BD⋅BF=12，

∵H是16.2：1【详解】解：如图，设AD=BC=x.过点P作PH⊥AC于H．

由翻折的性质可知，PA=PC=BC=AD=x，

∵∠EPC=150°，∠APE=∠D=90°，

∴∠APC=120°，

∵PH⊥AC，

∴AH=CH，∠APH=∠CPH=60°，

∴∠PAH=∠CPH=30°，PH=12AP，

∴AC=2AH=2⋅PA2−12PA2=3x，

∵四边形ABCD17.解：解不等式①得x≤−1，

解不等式②得x>−4，

故原不等式组的解集为−4<x≤−1．

则它的所有整数解为−3，−2，−1．

【详解】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再写出它的所有整数解．

18.解：原式=(m+1m+1−4m+1)÷(m+3)(m−3)m+3

=m+1−4m+1÷(m−3)

=【详解】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．

19.证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD//BC，

∴∠DAE=∠BCF，

又∵AE=CF，

∴△ADE≌△CBF(SAS)，

∴DE=BF．

【详解】证得△ADE≌△CBF后，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论．

20.解：x2−2x=0，

x(x−2)=0，

则x=0或x−2=0，

所以x1=0，x2=2．

(2)2x2−7x+6=0，

(x−2)(2x−3)=0，

则【详解】用因式分解法对所给方程进行求解即可．

21.(−2,0)

【详解】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)如图，△A2B2C2即为所求；

(3)旋转中心Q的坐标为(−2,0)，

故答案为：(−2,0)．

(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；

(2)利用中心对称变换的性质分别作出A122.(1)证明：∵CE⊥AB，

∴∠CEA=90°，

∴∠CAE+∠ACE=90°，

∵∠ABO=∠ACE，

∴∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠AOB=90°，

∴AO⊥OB，

∵AB/​/CD，AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形；

(2)解：∵四边形ABCD是菱形，BD=4，

∴OA=OC，BD⊥AC，OB=OD=2，

∴∠AOB=90°，

∴OA=AB2−OB2=40−4=6【详解】(1)先证AO⊥OB，再证四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；

(2)由菱形的性质和勾股定理得OA=3，则AC=2OA=6，由直角三角形的性质可得出答案．

23.解：(1)设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是(x+0.2)元，

由题意得：16x+0.2=12x，

解得：x=0.6，

经检验，x=0.6是原方程的解，且符合题意，

∴x+0.2=0.6+0.2=0.8，

答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元；

(2)解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(15−m)个，

由题意得：15−m≤2m，

解得：m≥5，

设所需费用为w元，

由题意得：w=0.8m+0.6×(15−m)=0.2m+9，

∵0.2>0，

∴w随m的增大而增大，

∴当m=5时，w取得最小值=0.2×5+9=10，

【详解】(1)设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是(x+0.2)元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．列出分式方程，解方程即可；

(2)设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(15−m)个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得m≥5，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论．

24.3【详解】问题1：解：如图，连接BP，BE，

∵正方形ABCD的边长为9，DE=2CE，

∴BC=CD=9，DE=6，CE=3，∠ACB=∠ACD=45°，

∴BE=BC2+CE2=81+9=310，

∵CP=CP，∠ACB=∠ACD=45°，BC=DC，

∴△BCP≌△DCP(SAS)，

∴BP=PD，

∴PE+PD=PB+PE，

∴当点P，点B，点E三点共线时，PE+PD有最小值为BE的长，

∴PE+PD的最小值为310，

故答案为：310；

问题2：(1)作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，

∵点B(4,2)，

∴B′(4,−2)，

设直线AB′的解析式为y=kx+b，

∵点A(−2,4)，点B′(4,−2)．

∴4=−2k+b−2=4k+b，解得：k=−1b=2，

∴直线AB′的解析式为y=−x+2，

当y=0时，−x+2=0，解得：x=2，

∴点P的坐标(2,0)；

(2)∵点B关于x轴的对称点B′，

∴PB=PB′，

∴PA+PB=PA+PB′，

∴当点A，点P，点B′三点共线时，PA+PB的最小值为AB′的长，

∵B′(4,−2)，点A(−2,4)，

∴AB′=(4+2)2+(−2−4)2=62，

∴PA+PB的最小值为62；

问题3：如图5，过A作AE⊥CD，交BD于P，连接CP，

此时线段PE+PC最小，且PE+PC=AE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OD=12BD=8，OC=12AC=6，

∴DC=OD2+OC2=64+36=10，

∵S菱形ABCD=12×AC⋅BD=CD⋅AE，

即：12×12×16=10×AE，

∴AE=9.6

∴PE+PC的最小值是9.6．

问题125.解：(1)在y=−2x+1中，令x=−1得y=2+1=3，

∴B(−1,3)，

把B(−1,3)代入y=kx+4得：

3=−k+4，

解得k=1，

∴y=x+4，

∴B的坐标是(−1,3)，k的值为1；

(2)∵S△ACD=2S△ABC，

∴12×AC×|xD|=2×12×AC×|xB|，

∴|xD|=2|xB|=2，

∴点D的横坐标为2或−2，

∴点D的坐标为(−2,2)或(2,6)；

(3)∵以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形，

设点F(m,n)，

当平行四边形为▱ABCF时，

根据题意，

m=0−(−1)=1，n−1=4−3，

∴m=1，n=2，

∴F(1,2)；

当平行四边形为▱ACBF时，

根据题意，

0−0=m−(−1)，4−1=n−3，

∴m=−1，n=6，

∴F(−1,6)；

当平行四边形为▱ABFC时，【详解】(1)代入求出点B的坐标，再将点B的坐标代入即可求出k，进而作答即可；

(2)根据三角形的面积公式作答即可；

(3)以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形，设点F(m,n)，分情况讨论：当平行四边形为▱ABCF时，当平行四边形为▱ACBF时，当平行四边形为▱ABFC时，根据平行四边形坐标特征，进而作答即可．

26.AE=CF

AE⊥CF

【详解】解：(1)AE=CF；AE⊥CF；理由如下，

如图所示，连接AD，CF交AE于点M，

∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵