2023-2024学年广西壮族自治区南宁、来宾市等地区高一下学期7月期末质量监测数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年南宁、来宾市等地区高一下学期7月期末质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z满足z=i(2+i)(i是虚数单位)，则在复平面内z对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.现有以下两项调查： ①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测; ②在某校800名学生中，O型、A型、B型和AB型血的学生依次有300，200，180，120人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是(

)A. ① ②都采用简单随机抽样

B. ① ②都采用分层随机抽样

C. ①采用简单随机抽样， ②采用分层随机抽样

D. ①采用分层随机抽样， ②采用简单随机抽样3.某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示．射击次数501002004001000射中8环以上的次数4478158320800根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为(

)A.0.78 B.0.79 C.0.80 D.0.824.如图，一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30∘处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75∘处，且与它相距82n mile.此船的航速是(    )n mile/ℎA.16 B.32 C.64 D.1285.已知α，β是两个不同平面，m，n是两不同直线，下列命题中不正确的是(

)A.若m/​/n，m⊥α，则n⊥α B.若m⊥α，m⊥β，则a/​/β

C.若m/​/α，α∩β=n，则m/​/n D.若m⊥α，m⊂β，则α⊥β6.如图，在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A>π2，过点A作与AC垂直的单位向量j，将j与向量表达式AC+CB=AB两边进行数量积的运算，即jA.asinA=csin C B.b7.掷一枚质地均匀的骰子，记事件A=“出现的点数不超过3”，事件B=“出现的点数是3或5”，事件C=“出现的点数是偶数”，则事件A、B与C的关系为(

)A.事件A与B互斥 B.事件B与C对立 C.事件A与B独立 D.事件C与B独立8.已知三棱锥P−ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=5，AC=3，BC=4，PB为球O的直径，PB=10，则这个三棱锥的体积为(

)A.303 B.103 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于非零向量a，b，下列命题中，正确的是(

)A.若|a|=|b|，则a=b B.若a=−b，则a/​/b

C.若a10.设z是z的共轭复数，下列说法正确的是(

)A.|z⋅z|=|z|2 B.若z=1z，则|z|=1

C.若11.如图，四棱锥S−ABCD的底面为菱形，AB=SD=3，∠DAB=60∘，SD⊥底面ABCD，P是SC上任意一点(不含端点)，O为BD的中点，则下列结论中正确的是(

)

A.若SA/​/平面PBD，则SA//PO

B.B到平面SAC的距离为355

C.当P为SC中点时，过P，A，B的截面图形为直角梯形

D.当P为SC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.三条不同的直线a，b，c，若a/​/b，c与a，b都相交，则a，b，c三条直线能确定的平面的个数是

个.13.乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球，则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为

．14.等边△ABC的边长为6，设其内心为M，若平面内的点N满足|MN|=1，则NA⋅NB的最小值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知|a|=1，(1)若a/​/b(2)若<a，b>=(3)若a−b与a垂直，求当k16.(本小题15分)已知▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(b−c)2(1)求角A的大小；(2)若a=2，sinC=2sinB，求17.(本小题15分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D(1)求直线BD与AC1(2)若AA1=AB，求直线BC18.(本小题17分)

某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．

(1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．(ⅰ)若有甲(年龄38)，乙(年龄40)两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；(ⅱ)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．19.(本小题17分)

如图，某公司出产了一款美观实用的筷子笼，是由与圆柱底面成一定角度的截面截圆柱所得.如果从截面的最底端到最高端部分还原圆柱，如下图所示，AB，A′B′分别为圆柱OO′底面直径，AA′，BB′为圆柱的母线，AB=AA′=2，过AB′的平面α截圆柱且与底面所在平面交于直线l，且AB⊥l．

(1)证明：l⊥AB′;(2)若底面有一动点M从A点出发在圆O上运动一周，过动点M的母线与截面α交于点N，设AM=x，MN=y，求y与x的函数关系．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：z=i(2+i)=−1+2i

∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(−1,2)，位于第二象限．

故选：B．2.【答案】C

【解析】

解：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测采用简单随机抽样即可；

②，总体容量较多，且样本差异比较明显，应采用分层随机抽样法．

故选C．3.【答案】C

【解析】解：填写表格如下：射击次数501002004001000射中8环以上的次数4478158320800射中8环以上的频率0.880.780.790.80.8∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.80附近，

∴这名运动员射击一次时“射中8环以上”的概率是0.80．

故选C．4.【答案】B

【解析】解：因为在

△ABS中，已知

∠BAS=30∘，

∠ASB=75°−∠A=45∘，且边

BS=82，

利用正弦定理可得：

ABsin45∘=BSsin30∘5.【答案】C

【解析】解：

对于A，若m/​/n，m⊥α,则n⊥α，所以A正确;对于B，因为垂直于同一直线的两平面平行，

所以若m⊥α,m⊥β,则α/​/β，所以B正确;对于C，若m/​/α，α∩β=n,则m与n可能异面，所以C错误；对于D，若m⊥α,m⊂β,由面面垂直的判定得α⊥β，所以D正确．

故选C．6.【答案】A

【解析】解：由j⋅(AC+CB)=j⋅AB，可得j⋅AC+j⋅7.【答案】C

【解析】解：由题意可知：A={1,2,3}，B={3,5}，C={2,4,6}，

因为A∩B={3}，

所以事件A与B不可能是互斥，

又B∪C={2,3,4,5,6}，故B、C不对立，

因为P(A)=12，P(B)=13，P(AB)=16，所以有P(AB)=P(A)P(B)，因此事件A与B独立，故C正确；

又P(BC)=0，P(B)⋅P(C)=16，所以P(CB)≠P(B)⋅P(C)，所以8.【答案】B

【解析】解：如图所示，

由条件△ABC为直角三角形，则斜边AB的中点O1为△ABC的外接圆的圆心，

连接OO1得OO1⊥平面ABC，OO1=BO2−BO12=529.【答案】BC

【解析】解：对于A：向量的长度相等，方向不一定相同，故由a=b，不一定有

a=b，故A错误；

对于B：若a=−b，则a/​/b，故B正确；

对于C：因为a，b为非零向量，满足a//b，b//c

，一定有a//10.【答案】ABD

【解析】解：设

z=a+bi,a,b∈R，则

z=a−bi，

对于A，

z·z=a+bia−bi=a2−bi2=a2+b2，

z=a+bi=a2+b2,∴z2=a2+b2，

所以

z·z=z2，故A正确；

对于B，若11.【答案】ABC

【解析】解：∵SA//平面PBD，SA⊂平面SAC，平面PBD∩平面SAC=PO，

∴SA//PO，故A正确；

设B到平面SAC的距离为ℎ，则有SA=SC=32，AC=33，

∵VB−SAC=VS−ABC，∴13ℎ×12×33×352=13×3×12×3×3×32，解得ℎ=355，故B正确；

当P为SC中点时，如图，取SD的中点M，连接PM，AM，MB，

则PM//CD，PM=12CD，

∵AB/​/CD，则PM/​/AB，

∴过P、A、B的截面为ABPM，则PB=3，BM=35212.【答案】1

【解析】解：由直线a/​/b，可得直线a，b可以唯一确定一个平面，设该平面为α，

设a∩c=A，b∩c=B，可得A∈α，B∈α，因为A∈c，B∈c，

所以c⊂α，所以a、b、c三条直线能确定的平面的个数是1个．13.【答案】2875【解析】解：比分为1比2的情况有三种：

(1)甲第一次发球得分，甲第二次发球失分，乙第一次发球得分；

(2)甲第一次发球失分，甲第二次发球得分，乙第一次发球得分；

(3)甲第一次发球失分，甲第二次发球失分，乙第一次发球失分．

所以所求概率为35×25×14.【答案】−2【解析】解：因为内切圆半径r=2S3a=2×933×6=3>1，外接圆半径MA=MB=a2sin60∘=23，

由等边△ABC的内心为M，则M也为△ABC的重心，且|MN|=1，

故N在以M为圆心，1为半径的圆上，所以N轨迹在三角形内部，

如下图示，∠AMB=120∘，

所以NA⋅NB=(NM+MA)⋅(NM+MB)

15.【答案】解：(1)由a/​/b可知，a，b两向量的夹角为0∘或180∘，

当夹角为0∘时，a⋅b=|a||b|cos0∘=1×2=2;

当夹角为180∘时，a⋅b=|a||b|cos180∘=1×2×(−1)=−2；

所以，a⋅b=±2;

(2)由题意可知，若a,b=60∘，则a⋅b=|a【解析】本题考查平面向量平行及利用向量数量积求模长，判断垂直关系等，属于中档题．

(1)根据a/​/b，可得两向量夹角，根据数量积公式即可求解；

(2)根据模长公式即可求解；

(3)先由a−b与a垂直，可得16.【答案】解：(1)因为(b−c)2=a2−bc可得：b2+c2−a2=bc，

由余弦定理可得，cosA=b2+c2−a22bc=12

，

又A∈(0,π)，所以A=π3

;【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

(1)由已知等式可得b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得cosA=12，结合范围A∈(0,π)，即可求得A的值;

(2)由sinC=2sinB及正弦定理可得17.【答案】解：(1)证明：在正三棱柱ABC−A1B1C1中，

因为AA1所以AA因为▵ABC为等边三角形，D为AC的中点，所以AC⊥BD．又因为AA1∩AC=A，A所以BD⊥平面AA1C1C，

又因为AC1⊂平面AA1C1C，

所以BD⊥AC1，

所以直线BD与AC1所成角的大小为90∘；

法2：取CC1的中点E，连结DE，BE，

又D为AC的中点，

所以DE为△ACC1的中位线，DE//AC1，

故∠BDE为直线BD与AC1的所成角(或其补角)，

设AC=2a，CC1=2b，因为△ABC为正三角形，

所以BD=(2)由(1)知，BD⊥平面AA所以∠BC1D

即为直线B设等边▵ABC的边长为2，则CC所以在Rt△BC1D中，BD=所以sin∠BC1D=BDBC1=【解析】本题考查线面垂直的判定及性质，异面直线成角，直线与平面所成角，属于中档题．

(1)法一：由条件可得AA1⊥BD，AC⊥BD，根据线面垂直的判定、性质即可求得；法二：取CC1的中点E，∠BDE为直线BD与AC1的所成角(或其补角)，在三角形中求解；

(2)由BD⊥平面AA18.【答案】解：(1)设这m人的平均年龄为x，

则x=22.5×0.05+27.5×0.35+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.1=32.25(岁)．

因为0.05+0.35+0.3=0.7<0.8，0.05+0.35+0.3+0.2=0.9>0.8，

所以第80百分位数在第四组，设第80百分位数为a，

则0.05+0.35+0.3+(a−35)×0.04=0.8，解得a=37.5．

(2)由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，

第五组抽取2人，记为D，乙，

对应的样本空间为：

Ω={(A,B)，(A,C)，(A，甲)，(A，乙)，(A,D)，(B,C)，(B，甲)，(B，乙)，(B,D)，(C，甲)，(C，乙)，(C,D)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共15个样本点，

设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，

则M={(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(甲，乙)，(甲，D)，(乙，D)}，共有9个样本点，

所以P(M)=n(M)n(Ω)=35．

(ⅱ)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x4，x5，方差分别为s42，s52，

则x4则z=4x因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10．据此，可估计这m人中年龄在35～45岁的所有人的年龄方差约为10．【解析】本题考查利用频率分布直方图估计平均数，百分位数，方差，分层抽样，古典概型概率的计算，属于中档题．

(1)利用频率分布直方