高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.6空间向量及其运算和空间位置关系(知识点讲解)(原卷版+解析)

专题8.6空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】1．平行(共线)向量与共面向量平行(共线)向量共面向量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：__互相平行或重合__平行于同一个__平面__的向量特征方向__相同或相反__特例零向量与__任意向量__共线充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__a＝λb__向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在__惟一__的有序实数对(x，y)使__p＝xa＋yb__推论对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式__eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta__，向量a为直线l的__方向向量__或在直线l上取向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))__点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝__xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))__或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))__2．数量积的性质设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；θ＝__π__时，a与b反向．②a⊥b⇔θ＝__eq\f(π,2)__⇔a·b＝0．③θ为锐角时，a·b__>__0，但a·b>0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a·b__<__0，但a·b<0时，θ可能为__π__．④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝__0__时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝__π__时，a·b＝－|a|·|b|．⑤对于实数a、b、c，若ab＝ac，a≠0，则b＝c；对于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，却推不出b＝c，只能得出__a⊥(b－c)__．⑥a·b＝0eq\o(⇒,/)a＝0或b＝0，a＝0时，一定有a·b＝__0__．⑦不为零的三个实数a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对于三个向量a、b、c，(a·b)c__≠__a(b·c)，因为a·b是一个实数，(a·b)c是与c共线的向量，而a(b·c)是与a共线的向量，a与c却不一定共线．3．空间向量基本定理(1)如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝__xa＋yb＋zc__．(2)如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量a、b、c生成的，我们把{__a，b，c__}叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__．4．空间向量的正交分解及其坐标表示设e1、e2、e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以e1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以__e1，e2，e3__的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz．对于空间任意一个向量p一定可以把它平移，使它的__起点__与原点O重合，得到向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3．我们把x、y、z称作向量p在单位正交基底e1、e2、e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．5.用向量描述空间平行关系设空间两条直线l、m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，两个平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则有如下结论：位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l∥m__a∥b____a＝kb，k∈R__a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3l∥α__a⊥u____a·u＝0____a1u1＋a2u2＋a3u3＝0__u∥vα∥β__u∥v__u＝kv，k∈Ru1＝kv1，u2＝kv2，u3＝kv36.用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.7.共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．【常考题型剖析】题型一：空间向量的运算例1.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（

）A． B．C． D．例2.(2023·全国·高三专题练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（

）A． B．=C．= D．=例3.（安徽·高考真题（理））在正四面体O－ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用表示)．【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．题型二：共线(共面)向量定理的应用例4.（2023·全国·高三专题练习）以下四组向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、例5.(2023·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中①+与1+1是一对相反向量；②-1与-1是一对相反向量；③1+1+1+1与+++是一对相反向量；④-与1-1是一对相反向量．正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例6.（2023·全国·高三专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：（1）、、、四点共面，、、、四点共面；（2）．【总结提升】证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))且同过点Peq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))题型三：空间向量数量积及其应用例7.（广东·高考真题（理））已知向量，则下列向量中与成的是（）A． B． C． D．例8.(2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.（1）试用，，表示向量；（2）求BM的长.例9.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：①；②；③与垂直.（1）求的模；（2）求向量的坐标.【总结提升】空间向量数量积的应用题型四：利用空间向量证明平行例10.（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.（1）求证：E，F，G，H四点共面；（2）求证：平面EFGH；（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有.例11.（2023·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：（1）PB//平面EFG；（2）平面EFG//平面PBC.【规律方法】利用空间向量证明平行的方法1.线线平行:证明两直线的方向向量共线2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题题型五：利用空间向量证明垂直例12.(2023·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，，是圆柱底面的圆心，，，均为圆柱的母线，是底面直径，E为的中点．已知，．(1)证明：；(2)若，求该圆柱的体积．例13．(2023·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．例14．（2023·全国·高三专题练习）直四棱柱中，，，E、F分别为棱AB、上的点，，.求证：（1）平面；（2）线段AC上是否存在一点G，使面面.若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由.【规律方法】利用空间向量证明垂直的方法1.线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示专题8.6空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】1．平行(共线)向量与共面向量平行(共线)向量共面向量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：__互相平行或重合__平行于同一个__平面__的向量特征方向__相同或相反__特例零向量与__任意向量__共线充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__a＝λb__向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在__惟一__的有序实数对(x，y)使__p＝xa＋yb__推论对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式__eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta__，向量a为直线l的__方向向量__或在直线l上取向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))__点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝__xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))__或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))__2．数量积的性质设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；θ＝__π__时，a与b反向．②a⊥b⇔θ＝__eq\f(π,2)__⇔a·b＝0．③θ为锐角时，a·b__>__0，但a·b>0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a·b__<__0，但a·b<0时，θ可能为__π__．④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝__0__时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝__π__时，a·b＝－|a|·|b|．⑤对于实数a、b、c，若ab＝ac，a≠0，则b＝c；对于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，却推不出b＝c，只能得出__a⊥(b－c)__．⑥a·b＝0eq\o(⇒,/)a＝0或b＝0，a＝0时，一定有a·b＝__0__．⑦不为零的三个实数a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对于三个向量a、b、c，(a·b)c__≠__a(b·c)，因为a·b是一个实数，(a·b)c是与c共线的向量，而a(b·c)是与a共线的向量，a与c却不一定共线．3．空间向量基本定理(1)如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝__xa＋yb＋zc__．(2)如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量a、b、c生成的，我们把{__a，b，c__}叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__．4．空间向量的正交分解及其坐标表示设e1、e2、e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以e1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以__e1，e2，e3__的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz．对于空间任意一个向量p一定可以把它平移，使它的__起点__与原点O重合，得到向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3．我们把x、y、z称作向量p在单位正交基底e1、e2、e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．5.用向量描述空间平行关系设空间两条直线l、m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，两个平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则有如下结论：位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l∥m__a∥b____a＝kb，k∈R__a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3l∥α__a⊥u____a·u＝0____a1u1＋a2u2＋a3u3＝0__u∥vα∥β__u∥v__u＝kv，k∈Ru1＝kv1，u2＝kv2，u3＝kv36.用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.7.共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．【常考题型剖析】题型一：空间向量的运算例1.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可.【详解】由题意得，.故选：D例2.(2023·全国·高三专题练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（

）A． B．=C．= D．=答案：B【解析】分析：利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON，由G是的重心，可得，则则故选：B例3.（安徽·高考真题（理））在正四面体O－ABC中，，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用表示)．答案：【解析】【详解】因为在四面体中，为的中点，为的中点，，故答案为.【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．题型二：共线(共面)向量定理的应用例4.（2023·全国·高三专题练习）以下四组向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、答案：B【解析】分析：利用共面向量的基本定理逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，设，所以，，无解；对于B选项，因为，故B选项中的三个向量共面；对于C选项，设，所以，，无解；对于D选项，设，所以，，矛盾.故选：B.例5.(2023·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中①+与1+1是一对相反向量；②-1与-1是一对相反向量；③1+1+1+1与+++是一对相反向量；④-与1-1是一对相反向量．正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：A【解析】分析：由向量的加减运算对各个选项进行检验即可.【详解】设E,F分别为AD和A1D1的中点，①+与+不是一对相反向量，错误；②-与-不是一对相反向量，错误；③1+1+1+是一对相反向量,正确；④-与1-不是一对相反向量,是相等向量，错误．即正确结论的个数为1个故选：A例6.（2023·全国·高三专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：（1）、、、四点共面，、、、四点共面；（2）．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】分析：（1）证明出、、为共面向量，结合、、有公共点可证得、、、四点共面，同理可证得、、、四点共面；（2）证得，再由和无公共点可证得．【详解】（1）因为，所以，、、为共面向量，因为、、有公共点，故、、、四点共面，因为，则、、为共面向量，因为、、有公共点，故、、、四点共面；（2），，，，，因为、无公共点，故.【总结提升】证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))且同过点Peq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))题型三：空间向量数量积及其应用例7.（广东·高考真题（理））已知向量，则下列向量中与成的是（）A． B． C． D．答案：B【解析】【详解】试题分析：对于A选项中的向量，，则；对于B选项中的向量，，则；对于C选项中的向量，，则；对于D选项中的向量，此时，两向量的夹角为.故选B.例8.(2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.（1）试用，，表示向量；（2）求BM的长.答案：（1）；（2）.【解析】分析：（1）将，代入中化简即可得到答案；（2）利用，结合向量数量积运算律计算即可.【详解】（1）是PC的中点，.，，，结合，，，得.（2），，

，.，，，.由（1）知，，，即BM的长等于.例9.（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：①；②；③与垂直.（1）求的模；（2）求向量的坐标.答案：（1）1；（2）或.【解析】分析：（1）求出的坐标，即可求出的模；（2）设，则由题可知，解出即可得出．【详解】解：（1）∵，，∴，所以；（2）设，则由题可知

解得或

所以或.【总结提升】空间向量数量积的应用题型四：利用空间向量证明平行例10.（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.（1）求证：E，F，G，H四点共面；（2）求证：平面EFGH；（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】分析：（1）根据题意得出可证；（2）通过证明可得；（3）可得四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，即可证明.【详解】（1）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，，，，又E，F，G，H四点不共线，故E，F，G，H四点共面；（2）E，H分别是AB，AD的中点，，，，平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；（3）由（1）知四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，E，G分别是AB，CD的中点，.例11.（2023·全国·高三专题练习（理））如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：（1）PB//平面EFG；（2）平面EFG//平面PBC.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，构建空间直角坐标系A-xyz，并确定A，B，C，D，P，E，F，G的坐标，法一：求得，即可确定平面EFG的一个法向量，又有，则PB//平面EFG得证；法二：由，，，可知，根据向量共面定理即有，与共面，进而可证PB//平面EFG；（2）由（1）有即，可得BC//EF，根据线面平行的判定有EF//平面PBC，GF//平面PBC，结合面面平行的判定即可证平面EFG//平面PBC.【详解】（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0).法一：设平面EFG的法向量为，则,即,令z＝1，则为平面EFG的一个法向量，∵，∴，所以，∵PB⊄平面EFG，∴PB//平面EFG.法二：，，.设，即(2,0,－2)＝s(0,－1,0)＋t(1,1,－1)，所以解得s＝t＝2.∴，又与不共线，所以，与共面.∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.（2）由（1）知：，∴，所以BC//EF.又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF//平面PBC，同理可证GF//PC，从而得出GF//平面PBC.又EF∩GF＝F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG，∴平面EFG//平面PBC.【规律方法】利用空间向量证明平行的方法1.线线平行:证明两直线的方向向量共线2.线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行3.面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题题型五：利用空间向量证明垂直例12.(2023·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））如图，，是圆柱底面的圆心，，，均为圆柱的母线，是底面直径，E为的中点．已知，．(1)证明：；