2024-2025学年高一数学(人教A版2019必修第一册)2.2基本不等式(第2课时)(分层作业)(原卷版+解析)

2.2基本不等式（第2课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2023·河北·大名县第一中学高一阶段练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高一）已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．(2023·河南南阳·高一阶段练习）已知，且，则的最大值为（

）A．2 B．5 C． D．4．（2023·全国·高一专题练习）若对任意的都有，则的取值范围是（

）A． B．C． D．5．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的为（

）A．B．函数的最小值为4C．若则最大值为1D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值86．(2023·全国·高一课时练习）已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（

）A． B． C． D．37．(2023·全国·高一课时练习）某汽车客运站购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x为二次函数关系，如图所示，则当每辆客车营运的年平均利润最大时，其营运年数为（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2023·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，则的最值为（

）A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值39．（2023·江苏·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（

）A．2 B．4C．6 D．810．(2023·全国·益阳平高学校高一期末）已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16二、多选题11．(2023·全国·高一）设正实数满足，则（

）A．的最小值为B．的最小值为2C．的最大值为1D．的最小值为212．(2023·全国·高一课时练习）（多选）已知，都为正数，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为三、填空题13．(2023·全国·高一课时练习）用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m．14．（2023·全国·高一课时练习）已知，则函数的最大值为___________.15．(2023·甘肃·张掖市第二中学高一阶段练习）函数的最小值是___________.16．（2023·吉林油田高级中学高一开学考试）若“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．17．（2023·江苏·高一专题练习）若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是________．18．(2023·江苏·高一）已知，，且，则的最小值为_________19．(2023·陕西·长安一中高一阶段练习）函数的最小值为___．20．(2023·江苏·高一）当时，函数的最小值为___________．四、解答题21．（2023·全国·高一课时练习）设，求函数的最大值.22．(2023·全国·高一专题练习）求函数的最值.【能力提升】一、单选题1．（2023·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高一课时练习）设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（

）A．（38－3m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3二、多选题3．(2023·全国·高一单元测试）已知，，且，则（

）A．的取值范围是B．的取值范围是C．的最小值是3D．的最小值是4．（2023·重庆市凤鸣山中学高一期中）下列结论中，正确的结论有．A．如果，那么取得最大值时的值为B．如果，，，那么的最小值为6C．函数的最小值为2D．如果，，且，那么的最小值为2三、填空题5．（2023·江苏·扬州大学附属中学高一期中）不等式的解集为，则的最大值为____________.6．(2023·陕西·长安一中高一期中）已知，且，那么下列不等式：①；②；③；④中，正确的序号是________．7．（2023·辽宁·高一期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值是______.8．（2023·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）已知，，且，则的最小值为__________.9．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，且，则的最大值为____．10．（2023·湖北孝感·高一期中）若正实数满足，则的最大值为________.11．（2023·江苏·南京市第十三中学高一期末）若实数满足，则的最大值为________.四、解答题12．（2023·全国·高一课时练习）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．13．（2023·全国·高一课时练习）（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的最小值．14．（2023·新疆喀什·高一期中）某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形ABCD种植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空间种植草坪，设花草坪长度为x（单位：m），宽度为y（单位：m），矩形ABCD的面积为s（单位：）(1)试用x，y表示s；(2)求s的最大值，并求出此时x，y的值．15．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知，，均为正实数，求证：．（2）已知，，是互不相等的正数，且，求证：．16．（2023·全国·高一专题练习）若对任意的，对任意的，不等式恒成立，求的最大值.2.2基本不等式（第2课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2023·河北·大名县第一中学高一阶段练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．答案：C分析：根据基本不等式即可求出．【详解】因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为．故选：C．2．(2023·全国·高一）已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：D分析：利用基本不等式进行求解.【详解】因为，，所以（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4.故选：D.3．(2023·河南南阳·高一阶段练习）已知，且，则的最大值为（

）A．2 B．5 C． D．答案：D分析：直接由基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.故选：D4．（2023·全国·高一专题练习）若对任意的都有，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】利用基本不等式，可求得的最小值，即可求得答案.【详解】因为，则，当且仅当，即x=1时等号成立，所以，故选：A5．(2023·全国·高一课时练习）下列说法正确的为（

）A．B．函数的最小值为4C．若则最大值为1D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8答案：C分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.【详解】对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；对于选项,，令，即在上单调递增，则最小值为,则不正确；对于选项,，则正确；对于选项,当时，，当且仅当时，即，等号成立，则不正确.故选：.6．(2023·全国·高一课时练习）已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（

）A． B． C． D．3答案：C分析：利用基本不等式取等号的条件进行求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，即取得最小值．故选：C7．(2023·全国·高一课时练习）某汽车客运站购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x为二次函数关系，如图所示，则当每辆客车营运的年平均利润最大时，其营运年数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C分析：先由题意，根据待定系数法求出函数解析式，再由基本不等式即可求解.【详解】由题意可设，且当时，，即，解得，所以，所以，当且仅当，即时取等号．故选:C．8．（2023·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，则的最值为（

）A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3答案：C分析：配凑目标式，利用基本不等式，即可求得目标式的最值.【详解】因为，故，当且仅当时取得最小值3；令，对函数，其在单调递减，在单调递增，无最大值.故时，无最大值.故选：C.9．（2023·江苏·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（

）A．2 B．4C．6 D．8答案：B分析：根据已知及基本不等式可得，可求出实数k的最大值．【详解】解：根据

，当且仅当时，取等号，化简可得，因为，所以，，所以运用，可得，当且仅当，即时，取等号，又因为恒成立，所以，即k的最大值是4．故选：B．10．(2023·全国·益阳平高学校高一期末）已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16答案：A分析：利用基本不等式可求解.【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.故选：A二、多选题11．(2023·全国·高一）设正实数满足，则（

）A．的最小值为B．的最小值为2C．的最大值为1D．的最小值为2答案：CD分析：由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误.【详解】对于选项，，当且仅当且时，即，时取等号，则错误；对于选项，,当且仅当时等号成立，则，即的最大值为2，则错误；对于选项，，即，当且仅当时，等号成立，则正确；对于选项，，当且仅当时，等号成立，则正确,故选:.12．(2023·全国·高一课时练习）（多选）已知，都为正数，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为答案：ABD分析：利用基本不等式结合已知条件逐个分析判断.【详解】对于A，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即，时取等号，所以的最大值为，所以A正确，对于B，因为，所以，由选项A可知，所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为，所以B正确，对于C，因为，所以，当且仅当，即，时取等号，但，都为正数，故等号取不到，所以C错误，对于D，因为，都为正数，且，所以，当且仅当即即，时取等号，所以的最小值为，所以D正确，故选：ABD三、填空题13．(2023·全国·高一课时练习）用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m．答案：分析：首先设框架的宽为x，再表示框架的面积，利用基本不等式求最值，即可求框架的宽.【详解】设框架的宽为x，则其高为，要使这个窗户通过的阳光最充足，只要窗户的面积S最大，，当且仅当，即时等号成立，故框架的宽为m．故答案为：14．（2023·全国·高一课时练习）已知，则函数的最大值为___________.答案：分析：由于，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为，所以，,当且仅当，即时，等号成立.故当时，取最大值，即.故答案为：3.15．(2023·甘肃·张掖市第二中学高一阶段练习）函数的最小值是___________.答案：分析：利用基本不等式求函数最小值，注意等号成立的条件即可.【详解】由题设知，则，当且仅当时等号成立，故函数最小值为.故答案为：.16．（2023·吉林油田高级中学高一开学考试）若“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．答案：分析：根据基本不等式求出，，根据不等式“，不等式恒成立”可得答案.【详解】由基本不等式可知，（当且仅当x＝1时取“＝”），因为“，不等式恒成立”，故,故答案为：17．（2023·江苏·高一专题练习）若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是________．答案：分析：当时，成立；当时，恒成立等价于恒成立，有基本不等式得出a的取值范围.【详解】当时，，不等式成立；当时，根据恒成立，则等价于恒成立，，当且仅当时等号成立；只需即可．故答案为：18．(2023·江苏·高一）已知，，且，则的最小值为_________答案：分析：利用基本不等式“1”的妙用进行求解【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：19．(2023·陕西·长安一中高一阶段练习）函数的最小值为___．答案：分析：令，则，化简得到，集合基本不等式，即可求解.【详解】因为，令，则，又因为，可得，因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，所以，即的最小值为.故答案为：.20．(2023·江苏·高一）当时，函数的最小值为___________．答案：分析：将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为，则，则，当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为.故答案为：.四、解答题21．（2023·全国·高一课时练习）设，求函数的最大值.答案：4分析：根据题意,设,结合二次函数的性质分析可得当时,有最大值16,进而分析可得的最大值,即可得答案.【详解】解:根据题意,设则,分析可得当时,有最大值16,则此时有最大值;故函数的最大值为4.【点睛】本题考查函数最值的计算,关键是转化思路,利用二次函数的性质求出函数的最大值.22．(2023·全国·高一专题练习）求函数的最值.答案：最小值为，无最大值分析：利用分式变形结合换元法构造对勾函数，利用对勾函数最值求解即可【详解】解：，令，则，因为对勾函数在上单调递增，当时，取得最小值.故的最小值为，无最大值.【能力提升】一、单选题1．（2023·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B分析：由，得出，进一步得到的最小值，再根据不等式恒成立，得出求出c的取值范围．【详解】解：，，当且仅当时“”成立，又不等式恒成立，，的取值范围是．故选：B．2．（2023·全国·高一课时练习）设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（

）A．（38－3m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3答案：B【详解】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即，∴，即，解得，∴．∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立．∴车厢容积的最大值为．选B．二、多选题3．(2023·全国·高一单元测试）已知，，且，则（

）A．的取值范围是B．的取值范围是C．的最小值是3D．的最小值是答案：BD分析：根据基本不等式可求得，判断A;将变形为结合基本不等式，求得，判断B；由整理得到结合基本不等式可判断C,D.【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时取等号，即，解得，即，A错误；对于B,由，,，当且仅当时取等号，得，所以,B正确；对于C,由，，，得，则，当且仅当，即时等号成立,但，所以．（等号取不到）,故C错误；对于D，由C的分析知：，,,，当且仅当，即时等号成立，D正确，故选：BD4．（2023·重庆市凤鸣山中学高一期中）下列结论中，正确的结论有．A．如果，那么取得最大值时的值为B．如果，，，那么的最小值为6C．函数的最小值为2D．如果，，且，那么的最小值为2答案：AB【解析】A.将其配成顶点坐标式即可得出答案；B.将其配成代入即可得其最小值；C.函数，当且仅当此时无解D.根据题意构造，将“1”替换为，代入用基本不等式.【详解】解：对于A.如果，那么，当时取得最大值，故正确；对于B.如果，，则整理得，所以或（舍去），当且仅当时取得最小值，故正确；对于C.函数，当且仅当此时无解，不能取得最小值2，故错误；对于D.如果，，且，那么当且仅当即时取得最小值，故错误.故选：AB【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题5．（2023·江苏·扬州大学附属中学高一期中）不等式的解集为，则的最大值为____________.答案：分析：分、两种情况讨论，根据题意可得出、所满足的不等关系式，结合基本不等式可求得的最大值.【详解】当时，即不等式的解集为，则，，要使得有意义，此时，则；当时，若不等式的解集为，则，即，所以，，因为，则，当时，则，此时；当时，则，令，则，当且仅当时，等号成立.综上所述，的最大值为.故答案为：.6．(2023·陕西·长安一中高一期中）已知，且，那么下列不等式：①；②；③；④中，正确的序号是________．答案：①②④分析：利用基本不等式及对勾函数的性质一一判断即可；【详解】解：对于①:，，，（当且仅当时取得等号），所以①正确；对于②：由①有，设，则在上单调递减．所以，所以②正确；对于③：（当且仅当时取得等号），．所以③错误．对于④：（当且仅当，即时等号成立），所以④正确．故答案为：①②④．7．（2023·辽宁·高一期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值是______.答案：分析：问题转化为恒成立，由基本不等式求的最小值可得．【详解】，，不等式恒成立，恒成立，又当且仅当即时取等号，的最小值为，所以，即的最大值为，故答案为：．8．（2023·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）已知，，且，则的最小值为__________.答案：分析：由基本不等式分析，换元结合对勾函数性质可求最小值.【详解】由题意，，因为，令，，由对勾函数性质可知，当时，有最小值，当且仅当时取到，故的最小值为.故答案为：9．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，且，则的最大值为____．答案：【解析】由，，利用均值不等式得，解得的取值范围，进而求得的最大值.【详解】由，，得，即又，当且仅当，即时，取等，故，解得或（舍）故，即的最大值为，故答案为：.10．（2023·湖北孝感·高一期中）若正实数满足，则的最大值为________.答案：4分析：将用的表达式表示，结合，利用均值不等式求出，从而确定的范围.【详解】因为，所以，又且，所以，解得，=结合知，有最大值4.故答案为：4.11．（2023·江苏·南京市第十三中学高一期末）若实数满足，则的最大值为________.答案：【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.【详解】由，得，设，其中.则，从而，记，则，不妨设，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查二元二次等式条件下二元分式的最大值，注意根据已知条件可因式分解从而采用换元法来改造目标代数式，再根据目标代数式的特征再次换元，从而得到能使用基本不等式的结构形式，本题属于难题.四、解答题12．（2023·全国·高一课时练习）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．答案：分析：令，当时，，利用基本不等式和不等式的性质求出的范围，再代入，最终可求出的值域，再根据即可得实数k的取值范围．【详解】令当时，当时，，当且仅当时等号成立或即或或或综合得因为不等式恒成立，则.13．（2023·全国·高一课时练习）（