新高考高中数学核心知识点全透视专题4.1指数与指数函数(精讲精析篇)(原卷版+解析)

专题4.1指数与指数函数（精讲精析篇）一、核心素养1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化，凸显数学运算的核心素养．2．与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用，凸显直观想象的核心素养．3．与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．二、考试要求(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.三、主干知识梳理1．根式(1)根式的概念若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)a的n次方根的表示xn＝a⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))【特别说明】：(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)(eq\r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．eq\r(n,a)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n为偶数，a为非负实数,n为奇数，a为任意实数，且\r(n,a)符号与a的符号一致))2．有理数指数幂幂的有关概念正分数指数幂：a＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂：a＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义有理数指数幂的性质aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)3．指数函数的图象和性质y＝axa>10<a<1图象性质函数的定义域为eq\a\vs4\al(R)；值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即当x＝eq\a\vs4\al(0)时，y＝eq\a\vs4\al(1)当x>0时，恒有y>1；当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有0<y<1当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数4．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．二、真题展示1.（2023·山东高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（）A． B．C． D．2.（2023·湖南高考真题）已知函数（1）画出函数的图象；（2）若，求的取值范围.考点01根式的化简与求值

【典例1】（2023·全国高一课时练习）下列说法正确的个数是（）（1）49的平方根为7；（2）＝a(a≥0)；（3）；（4）．A．1 B．2C．3 D．4【典例2】化简下列各式：(1)eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)(－3<x<3)；(2)(eq\r(a－1))2＋eq\r(1－2a＋a2)＋eq\r(3,1－a3).【规律方法】1.根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．对eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的进一步认识(1)对(eq\r(n,a))n的理解：当n为大于1的奇数时，(eq\r(n,a))n对任意a∈R都有意义，且(eq\r(n,a))n＝a，当n为大于1的偶数时，(eq\r(n,a))n只有当a≥0时才有意义，且(eq\r(n,a))n＝a(a≥0)．(2)对eq\r(n,an)的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0,－aa＜0)).(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．3.有限制条件的根式化简的步骤考点02指数幂的化简与求值

【典例3】（2023·北京海淀·清华附中高一月考）（1）___________.（2）___________.【典例4】已知则的值为__________．【典例5】（2023·上海高三专题练习）若，，且，则_________.【特别提醒】1.指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．2.根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．考点03指数函数的图象及应用【典例6】（2023·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是()A． B．C． D．【典例7】（2023·全国）函数的图像一定不经过第___________象限；若函数的图像不经过第一象限，则实数b的取值范围是___________．【总结提升】1.常考题型及技法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．2.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：=1\*GB3①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；=2\*GB3②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；=3\*GB3③从周期性，判断图象的循环往复；=4\*GB3④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．=5\*GB3⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：=1\*GB3①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；=2\*GB3②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．3.过定点的图象(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；(2)与的图象关于y轴对称；(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．考点04指数函数的性质及应用【典例8】(2023新课标全国III）已知，，，则（）A.B.C.D.【典例9】(2023·北京高考真题（理））已知函数，则A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数【典例10】．（2023·眉山市彭山区第一中学高三月考（理））已知函数是减函数，则实数的取值范围是_________．【典例11】（2023·四川省乐山第一中学校高三月考（文））已知是定义在上的奇函数，且对于任意的均有．当时，，则______．【典例12】（2023·上海高三专题练习）已知函数，求其单调区间及值域．【总结提升】1在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．1.（2023·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数的图象可能是（）．A． B．C． D．2.（2023·上海高一课时练习）已知实数a，b满足，则下列各式中正确的是()A． B． C． D．3．（2023·全国高一专题练习）函数的定义域为_____________．4.(2023·江苏高考真题）不等式的解集为________.5．（2023·广州市第四中学高一月考）若，则________．6.（2023·湖北省高一期末）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：）7．（2023·全国高一课时练习）计算：___________．8．（2023·全国高一课时练习）___________．9．（2023·全国）指数函数在上是减函数，则实数a的取值范围是___________．10.(2023·湖南高考真题（理））已知函数若存在实数a，使函数g(x)=f(x)-a有两个零点，则实数m的取值范围是________．专题4.1指数与指数函数（精讲精析篇）一、核心素养1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化，凸显数学运算的核心素养．2．与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用，凸显直观想象的核心素养．3．与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．二、考试要求(1)了解指数函数模型的实际背景.(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.三、主干知识梳理1．根式(1)根式的概念若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)a的n次方根的表示xn＝a⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))【特别说明】：(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)(eq\r(n,a))n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．eq\r(n,a)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n为偶数，a为非负实数,n为奇数，a为任意实数，且\r(n,a)符号与a的符号一致))2．有理数指数幂幂的有关概念正分数指数幂：a＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂：a＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义有理数指数幂的性质aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)3．指数函数的图象和性质y＝axa>10<a<1图象性质函数的定义域为eq\a\vs4\al(R)；值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即当x＝eq\a\vs4\al(0)时，y＝eq\a\vs4\al(1)当x>0时，恒有y>1；当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有0<y<1当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数4．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．二、真题展示1.（2023·山东高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（）A． B．C． D．答案：B分析：根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.【详解】当时，，所以在上递减，是偶函数，所以在上递增.注意到，所以B选项符合.故选：B2.（2023·湖南高考真题）已知函数（1）画出函数的图象；（2）若，求的取值范围.答案：（1）答案见解析；（2）分析：（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可；（2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解.【详解】（1）函数的图象如图所示：（2），当时，，可得：，当，，可得：，所以的解集为：，所以的取值范围为.考点01根式的化简与求值

【典例1】（2023·全国高一课时练习）下列说法正确的个数是（）（1）49的平方根为7；（2）＝a(a≥0)；（3）；（4）．A．1 B．2C．3 D．4答案：A分析：（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为；（4）符号错误【详解】49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；，（3）错；，(4)错，正确个数为1个，故选：A【典例2】化简下列各式：(1)eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)(－3<x<3)；(2)(eq\r(a－1))2＋eq\r(1－2a＋a2)＋eq\r(3,1－a3).答案：见解析.【解析】(1)原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|.∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.∴原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x<1，,－4，1≤x<3.))(2)由eq\r(a－1)知a－1≥0，∴原式＝a－1＋eq\r(a－12)＋1－a＝a－1.【规律方法】1.根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．对eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n的进一步认识(1)对(eq\r(n,a))n的理解：当n为大于1的奇数时，(eq\r(n,a))n对任意a∈R都有意义，且(eq\r(n,a))n＝a，当n为大于1的偶数时，(eq\r(n,a))n只有当a≥0时才有意义，且(eq\r(n,a))n＝a(a≥0)．(2)对eq\r(n,an)的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0,－aa＜0)).(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．3.有限制条件的根式化简的步骤考点02指数幂的化简与求值

【典例3】（2023·北京海淀·清华附中高一月考）（1）___________.（2）___________.答案：9分析：（1）利用指数幂的运算性质计算即可求解；（2）利用指数幂的运算性质计算即可求解.【详解】（1）原式；（2）原式.故答案为：；.【典例4】已知则的值为__________．答案：【解析】题意，∴，∴，故答案为．【典例5】（2023·上海高三专题练习）若，，且，则_________.答案：【解析】，则，故，，，，故，故.故答案为：.【特别提醒】1.指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．2.根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．考点03指数函数的图象及应用【典例6】（2023·上海高一课时练习）函数和（其中且）的大致图象只可能是()A． B．C． D．答案：C【解析】由于过点，故D选项错误.当时，过且单调递增；过点且单调递增，过且.所以A选项错误.当时，过且单调递减，过点且单调递增，过且.所以B选项错误.综上所述，正确的选项为C.故选：C【典例7】（2023·全国）函数的图像一定不经过第___________象限；若函数的图像不经过第一象限，则实数b的取值范围是___________．答案：二、四分析：分别就，和进行分类讨论，分析知其图像在第三象限和第一象限，以及原点，则可得结果；图像不过第一象限可转化为时，，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】当，，，在第三象限，当，，，在第一象限，且时，，故的图像一定不经过第二、四象限；若函数的图像不经过第一象限，当时，又，且，是的减函数，解得.故答案为：二、四；.【总结提升】1.常考题型及技法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．2.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：=1\*GB3①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；=2\*GB3②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；=3\*GB3③从周期性，判断图象的循环往复；=4\*GB3④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．=5\*GB3⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：=1\*GB3①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；=2\*GB3②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．3.过定点的图象(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)，.特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；(2)与的图象关于y轴对称；(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．考点04指数函数的性质及应用【典例8】(2023新课标全国III）已知，，，则（）A.B.C.D.答案：A【解析】因为，，所以，故选A．【典例9】(2023·北京高考真题（理））已知函数，则A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数答案：A【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.详解：函数的定义域为，且即函数是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数在R上是增函数.故选A.【典例10】．（2023·眉山市彭山区第一中学高三月考（理））已知函数是减函数，则实数的取值范围是_________．答案：分析：根据减函数定义可直接构造方程组求得结果.【详解】是定义域上的减函数，，即，解得：，实数的取值范围为.故答案为：.【典例11】（2023·四川省乐山第一中学校高三月考（文））已知是定义在上的奇函数，且对于任意的均有．当时，，则______．答案：分析：根据已知条件求出的周期，再根据已知条件求出，，，的值，进而可得的值，再根据周期性计算即可求解.【详解】因为，所以，因为是定义在上的奇函数，所以所以，所以的周期为，当时，，所以，，，在中，令可得，所以，，，所以，因为，所以，故答案为：.【典例12】（2023·上海高三专题练习）已知函数，求其单调区间及值域．答案：在上是增函数，在上是减函数，值域为【解析】根据复合函数单调性“同增异减”的法则，将问题转化为求二次函数的单调递减区间问题.解：令,，则是关于的减函数，而是上的减函数，上的增函数，∴在上是增函数，而在上是减函数，又∵,∴的值域为．【总结提升】1在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．1.（2023·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数的图象可能是（）．A． B．C． D．答案：D【解析】∵，∴，∴函数需向下平移个单位