高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版必修第二册)第七章复数单元测试卷(原卷版+解析)

第七章复数单元测试卷一、单选题1．（辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高三上学期期末数学试题）已知为虚数单位，则复数的虚部是（）A． B．1 C．2 D．2i2．（山东省德州市2023-2024学年高三上学期期末数学试题）已知复数z满足，其中为虛数单位，则复数z在复平面内所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（山东省淄博市2023-2024学年高三上学期期末数学试题）已知复数z是纯虚数，是实数，则（）A．－ B． C．－2 D．24．(2023·广东茂名·一模）已知为实数，且(为虚数单位)，则（）A． B．C． D．5．(2023·江苏无锡·高三期末）已知（为虚数单位，）为纯虚数，则（）A． B． C． D．6．(2023·内蒙古包头·高二期末（文））对于非零实数a，b，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a，b，下列式子仍然恒成立的是（）A． B． C． D．7．(2023·湖北·武钢三中高三阶段练习）已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．(2023·全国·高一）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（）个.A．9 B．10 C．11 D．无数二、多选题9．(2023·广东东莞·高三期末）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知复数满足（其中为虚数单位），则下列选项正确的是（）A．B．复数的共轭复数为C．复数在复平面表示的点位于第一象限D．复数的虚部为211．（2023·福建福州·高三期中）复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（）A． B．C． D．12．（2023·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A．复数对应的点位于第二象限 B．为纯虚数C．复数的模长等于 D．的共轭复数为三、填空题13．（2023·天津市第四中学高三阶段练习）已知方程有两个虚根，，若，则m的值是___________.14．（2023·上海长宁·一模）在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）15．（2023·浙江·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy中向量的旋转和复数有关，对于任意向量=(a，b)，对应复数z=a+ib，向量x逆时针旋转一个角度，得到复数，于是对应向量.这就是向量的旋转公式.根据此公式，已知正三角形ABC的两个顶点坐标是A(1，2)，B(3，4)，则C的坐标是___________.(任写一个即可)16．（2023·福建·厦门市湖滨中学高三期中）若复数满足，则的最小值为__________．四、解答题17．（2023·贵州遵义·高三阶段练习）已知复数，是实数.（1）求复数z；（2）若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.18．（2023·全国·高一课时练习）求复数，，，的辐角主值．19．（2023·西藏·拉萨那曲高级中学高二期中（理））已知复数，.（1）求；（2）若满足为纯虚数，求.20．（2023·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：（1）；（2）；（3）.21．（2023·湖北·高一期末）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．（1）求的值；（2）记复数，求复数的模．22．（2023·全国·高一课时练习）已知复数．（1）求及；（2）当复数z满足，求的最大值．第七章复数单元测试卷一、单选题1．（辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高三上学期期末数学试题）已知为虚数单位，则复数的虚部是（）A． B．1 C．2 D．2i答案：B分析：化简复数即得解.【详解】解：由题得，所以复数的虚部为.故选：B2．（山东省德州市2023-2024学年高三上学期期末数学试题）已知复数z满足，其中为虛数单位，则复数z在复平面内所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：A分析：根据复数的模长公式以及四则运算得出，最后确定复数z在复平面内所对应的点的象限.【详解】，则复数z在复平面内所对应的点坐标为，在第一象限.故选：A3．（山东省淄博市2023-2024学年高三上学期期末数学试题）已知复数z是纯虚数，是实数，则（）A．－ B． C．－2 D．2答案：B分析：由题意设，代入中化简，使其虚部为零，可求出的值，从而可求出复数，进而可求得其共轭复数【详解】由题意设，则，因为是实数，所以，得，所以，所以，故选：B4．(2023·广东茂名·一模）已知为实数，且(为虚数单位)，则（）A． B．C． D．答案：A分析：利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得，进而得解.【详解】由题意知，解得，所以故选：A5．(2023·江苏无锡·高三期末）已知（为虚数单位，）为纯虚数，则（）A． B． C． D．答案：C分析：先利用复数除法法则进行化简，结合纯虚数条件列出方程，求出的值.【详解】为纯虚数，，，故选：C.6．(2023·内蒙古包头·高二期末（文））对于非零实数a，b，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a，b，下列式子仍然恒成立的是（）A． B． C． D．答案：A分析：对于选项A：结合复数的乘法和模长公式即可判断；选项B：计算，然后根据复数运算结果举出反例即可；选项CD：复数的平方可能为虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数与实数既不能比较大小也不相等.【详解】不妨令，，选项A：，从而，故A正确；选项B：，当，时，，故B错误；因为复数的平方可能还是虚部不为0的复数，而虚部不为0的复数不能与实数比较大小且不等于实数，故CD错误.故选：A7．(2023·湖北·武钢三中高三阶段练习）已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：B分析：先利用复数的除法和乘方化简复数z，再利用复数的几何意义求解.【详解】，且的乘方运算是以4为周期的运算所以，所以复数所对应的点，在第二象限.故选：B8．(2023·全国·高一）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（）个.A．9 B．10 C．11 D．无数答案：C分析：先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数.【详解】，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个.故选：C二、多选题9．(2023·广东东莞·高三期末）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则答案：ABC分析：若，则，，利用复数代数运算，可以判断AB；利用复数的三角运算，可以判断C；利用数形结合，可以判断D.【详解】对于A：若，则，故，所以A正确；对于B：若，则，所以B正确；对于C：设，则，故，所以C正确；对于D：如下图所示，若，，则，，故，所以D错误.故选：ABC10．(2023·江西·高三阶段练习（理））已知复数满足（其中为虚数单位），则下列选项正确的是（）A．B．复数的共轭复数为C．复数在复平面表示的点位于第一象限D．复数的虚部为2答案：CD分析：利用复数代数形式的乘除运算求出复数，然后逐一核对四个选项即可得出答案.【详解】解：因为，所以，所以，故A错误；复数的共轭复数为，故B错误；复数在复平面表示的点的坐标为，位于第一象限，故C正确；复数的虚部为2，故D正确.故选：CD.11．（2023·福建福州·高三期中）复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（）A． B．C． D．答案：ABC分析：根据共轭复数的概念，复数的运算法则，逐一求解验证即可．【详解】解：因为，所以，对于A：，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：，，所以，即选项C正确；对于D：，，，，所以，故D错误．故选：ABC．12．（2023·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A．复数对应的点位于第二象限 B．为纯虚数C．复数的模长等于 D．的共轭复数为答案：ABC分析：利用欧拉公式把选项A，B，D化成复数的代数形式即可计算判断；利用欧拉公式把选项C的分子化成复数的代数形式，再进行除法运算判断即得.【详解】对于A，，因，即，复数对应的点位于第二象限，A正确；对于B，，为纯虚数，B正确；对于C，，于是得，C正确；对于D，，其共轭复数为，D不正确.故选：ABC三、填空题13．（2023·天津市第四中学高三阶段练习）已知方程有两个虚根，，若，则m的值是___________.答案：分析：由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数，设出的代数形式，代入计算作答.【详解】因，是方程有两个虚根，设，则，由得：，解得，又，即，因，于是得：，解得，，所以m的值是.故答案为：14．（2023·上海长宁·一模）在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）答案：（2）（3）分析：结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案.【详解】，所以（1）错误.，，所以（4）错误.设，.，所以（2）正确.，所以（3）正确.故答案为：（2）（3）15．（2023·浙江·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy中向量的旋转和复数有关，对于任意向量=(a，b)，对应复数z=a+ib，向量x逆时针旋转一个角度，得到复数，于是对应向量.这就是向量的旋转公式.根据此公式，已知正三角形ABC的两个顶点坐标是A(1，2)，B(3，4)，则C的坐标是___________.(任写一个即可)答案：(答案不唯一)分析：首先设出的坐标，然后分别写出，，利用向量的旋转公式即可求解.【详解】不妨设的坐标为，且是逆时针旋转得到，因为A(1，2)，B(3，4)，所以，，从而对应的复数为，对应的复数为，所以，解得，，故C的坐标是.故答案为：.16．（2023·福建·厦门市湖滨中学高三期中）若复数满足，则的最小值为__________．答案：4分析：根据复数模的几何意义得出复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，然后再根据的几何意义求最小值即可.【详解】因为复数满足，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，又表示复数对应的点与点之间的距离，所以的最小值为．故答案为：4．四、解答题17．（2023·贵州遵义·高三阶段练习）已知复数，是实数.（1）求复数z；（2）若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.答案：（1）（2）分析：（1）先将代入化简，再由其虚部为零可求出的值，从而可求出复数，（2）先对化简，再由题意可得从而可求得结果（1）因为，所以，因为是实数，所以，解得.故.（2）因为，所以.因为复数所表示的点在第二象限，所以解得，即实数m的取值范围是.18．（2023·全国·高一课时练习）求复数，，，的辐角主值．答案：，，0，分析：计算，根据结合，得到辐角主值，同理可得其他答案．【详解】设这4个复数的模分别为，，，，辐角主值分别为，，，．因为，所以，又，故．同理，可以求得：，，，故4个复数的辐角主值分别为，，0，．19．（2023·西藏·拉萨那曲高级中学高二期中（理））已知复数，.（1）求；（2）若满足为纯虚数，求.答案：（1）（2）分析：（1）根据复数代数形式的运算法则即可求出；（2）根据纯虚数的概念即可求出参数，再根据复数模的计算公式即可求出．（1）．（2）因为为纯虚数，∴，∴.即，．20．（2023·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：（1）；（2）；（3）.答案：（1）（2）（3）分析：利用完全平方公式平方差公式将所给的表达式分解因式.（1）（2）（3）∵∴∴21．（2023·湖北·高一期末）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．（1）求的值；（2）记复数，求复数的模