高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)4.1指数(原卷版+解析)

4.1指数TOC\o"1-4"\h\z\u4.1指数 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1平方根与立方根的概念、a的n次方根 2知识点2根式的性质 3知识点3分数指数幂的意义、有理数指数幂的运算性质 5二、典型题型 5题型1根式与分数指数幂的互化 7题型2分数指数幂的运算 8三、难点题型 9题型1指数幂运算中的条件求值 11四、活学活用培优训练 13一．基础知识点知识点1平方根与立方根的概念、a的n次方根1．平方根与立方根的概念：如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个．2．a的n次方根：(1)定义：一般地，xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根，式子eq\r(n,a)叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．(2)几个规定：①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根只有一个，记作x＝eq\r(n,a)；②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号eq\r(n,a)表示，负的n次方根用符号－eq\r(n,a)表示，它们可以合并写成±eq\r(n,a)(a>0)的形式；③0的n次方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)．例1若xn＝a（x≠0），则下列说法中正确的个数是（

）①当n为奇数时，x的n次方根为a；②当n为奇数时，a的n次方根为x；③当n为偶数时，x的n次方根为±a；④当n为偶数时，a的n次方根为±x.A．1 B．2C．3 D．4例2（多选题）若，则下列说法中正确的是（

）A．当为奇数时，的次方根为B．当为奇数时，的次方根为C．当为偶数时，的次方根为D．当为偶数时，的次方根为例3计算：(1)；(2)．知识点2根式的性质：(1)eq\r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)；(2)(eq\r(n,an))＝a(n为大于1的奇数)；(3)(eq\r(n,an))＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数)．(4)(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1，a使得eq\r(n,a)有意义)．例1化简，结果是（

）A．6x―6 B．―6x+6 C．―4 D．4例2（多选题）下列各式错误的是（

）A．＝－3 B．＝aC．＝2 D．＝2例3化简：．知识点3分数指数幂的意义、：一般地，我们规定：(1)a＝eq\r(n,am)(a>0，m，n均为正整数)；(2)a＝eq\f(1,a)(a>0，m，n均为正整数)；(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义，0的0次幂没有意义．有理数指数幂的运算性质：(1)asat＝as＋t；(2)(as)t＝ast；(3)(ab)t＝atbt，(其中s，t∈Q，a>0，b>0)．例1若，则等于（

）A． B． C． D．例2（多选题）设，下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．例3比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，；(3)，，．二．典型题型题型1根式与分数指数幂的互化解题技巧：1．根式和分数指数幂互化时应熟练应用a＝eq\r(n,am)和a＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用．例1已知，则化为（

）A． B． C．m D．1例2（多选题）下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．例3化简下列各式：(1)；(2)．题型2分数指数幂的运算解题技巧：指数幂与根式运算的技巧(1)有理数指数幂的运算技巧①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算．②指数的处理：负指数先化为正指数．③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示．(2)根式运算技巧①各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂，再运算．②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂．例1下列计算正确的是（）A． B．C． D．例2（多选题）以下化简结果正确的是（字母均为正数）（

）A． B．C． D．例3计算：（1）______；（2）______．三．难点题型题型1指数幂运算中的条件求值解题技巧：条件求值问题的常用方法(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．例1已知，则下列运算中正确的是（

）A． B．C． D．例2（多选题）已知实数a满足，下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．例3（1）若，求的值；（2）已知，求的值．四．活学活用培优训练一、单选题1．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（

）A． B． C． D．2．已知实数满足，则（

）A． B． C． D．3．化简(其中，)的结果是（

）A． B． C． D．4．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（

）A．（） B．C．（） D．（）5．已知，下列各式中正确的个数是（

）①；②；③；④；A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题6．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A． B．C． D．7．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（

）A．和 B．和C．和 D．和8．若（），则下列说法中正确的是（

）A．当n为奇数时，x的n次方根为a B．当n为奇数时，a的n次方根为xC．当n为偶数时，x的n次方根为 D．当n为偶数时，a的n次方根为三、填空题9．使得等式成立的实数a的值为______________．10．计算：______．11．设，且，求=_________.四、解答题12．若a，b为不等于1的正数，并且实数x，y，z满足关系式．求证：(1)若，则；(2)若，则．13．计算：．14．（1）已知，求的值；（2）已知，，求的值．15．化简，求值：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值；(3)已知，求值．4.1指数TOC\o"1-4"\h\z\u4.1指数 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1平方根与立方根的概念、a的n次方根 2知识点2根式的性质 3知识点3分数指数幂的意义、有理数指数幂的运算性质 5二、典型题型 5题型1根式与分数指数幂的互化 7题型2分数指数幂的运算 8三、难点题型 9题型1指数幂运算中的条件求值 11四、活学活用培优训练 13一．基础知识点知识点1平方根与立方根的概念、a的n次方根1．平方根与立方根的概念：如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个．2．a的n次方根：(1)定义：一般地，xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根，式子eq\r(n,a)叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．(2)几个规定：①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根只有一个，记作x＝eq\r(n,a)；②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号eq\r(n,a)表示，负的n次方根用符号－eq\r(n,a)表示，它们可以合并写成±eq\r(n,a)(a>0)的形式；③0的n次方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)．例1若xn＝a（x≠0），则下列说法中正确的个数是（

）①当n为奇数时，x的n次方根为a；②当n为奇数时，a的n次方根为x；③当n为偶数时，x的n次方根为±a；④当n为偶数时，a的n次方根为±x.A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】根据xn＝a（x≠0），讨论n为奇数和n为偶数时，得出a的n次方根即可判断.【详解】n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于（±x）n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以说法②④是正确的，故选：B.例2（多选题）若，则下列说法中正确的是（

）A．当为奇数时，的次方根为B．当为奇数时，的次方根为C．当为偶数时，的次方根为D．当为偶数时，的次方根为【答案】BD【分析】根据，讨论为奇数和为偶数两种情况，求出的次方根，即可判断得出结果.【详解】当为奇数时，的次方根只有1个，为；当为偶数时，由于，所以的次方根有2个，为.所以B，D说法是正确的.故选：BD.例3计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)0【分析】根据根式的运算即可求解（1）（2）.（1）；（2）=0知识点2根式的性质：(1)eq\r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)；(2)(eq\r(n,an))＝a(n为大于1的奇数)；(3)(eq\r(n,an))＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数)．(4)(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1，a使得eq\r(n,a)有意义)．例1化简，结果是（

）A．6x―6 B．―6x+6 C．―4 D．4【答案】D【分析】由根式的性质可得，再由根式的化简即可求解.【详解】∵，∴，∴，∴故选：D.例2（多选题）下列各式错误的是（

）A．＝－3 B．＝aC．＝2 D．＝2【答案】ABD【分析】由根式、指数幂的运算性质求各选项的值即可.【详解】A：＝3，错误；B：，错误；C：，正确；D：，错误.故选：ABD例3化简：．【答案】【分析】利用根式的运算化简求值.【详解】解：．知识点3分数指数幂的意义、：一般地，我们规定：(1)a＝eq\r(n,am)(a>0，m，n均为正整数)；(2)a＝eq\f(1,a)(a>0，m，n均为正整数)；(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义，0的0次幂没有意义．有理数指数幂的运算性质：(1)asat＝as＋t；(2)(as)t＝ast；(3)(ab)t＝atbt，(其中s，t∈Q，a>0，b>0)．例1若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指数幂的性质运算即可.【详解】，则．故选：C．例2（多选题）设，下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根分式指数幂的运算法则，正确运算，即可求解.【详解】对于A中，根分式指数幂的运算法则，可得；对于B中，根分式指数幂的运算法则，可得；对于C中，根分式指数幂的运算法则，可得恒成立；对于D中，根分式指数幂的运算法则，可得.故选：CD.例3比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，；(3)，，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用幂函数的单调性进行比较大小.（2）利用幂函数的单调性、不等式的性质进行比较大小.（3）利用幂函数的单调性、分数指数幂的性质进行大小比较.（1）因为幂函数在上单调递减，且，所以．（2）因为幂函数在上为增函数，且，，所以，所以，所以．（3），，，因为幂函数在上单调递增，所以．二．典型题型题型1根式与分数指数幂的互化解题技巧：1．根式和分数指数幂互化时应熟练应用a＝eq\r(n,am)和a＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用．例1已知，则化为（

）A． B． C．m D．1【答案】C【分析】把根式化为分数指数幂进行运算．【详解】，.故选：C．例2（多选题）下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据根式、幂的运算法则计算后判断．【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；故D正确．故选：BCD．例3化简下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）将根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算法则计算可得；(1)解：．(2)解：．题型2分数指数幂的运算解题技巧：指数幂与根式运算的技巧(1)有理数指数幂的运算技巧①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算．②指数的处理：负指数先化为正指数．③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示．(2)根式运算技巧①各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂，再运算．②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂．例1下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数幂的运算法则逐项分析即得.【详解】A，，故A错误；B，，故B错误；C，，故C正确；D，，故D错误.故选：C．例2（多选题）以下化简结果正确的是（字母均为正数）（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据指数运算公式直接计算即可.【详解】A选项：，A选项错误；B选项：，B选项正确；C选项：，C选项错误；D选项：，D选项正确；故选：BD.例3计算：（1）______；（2）______．【答案】

1

3【分析】根据指数幂的运算性质可得（1）（2）计算结果.【详解】（1）原式．（2）原式．三．难点题型题型1指数幂运算中的条件求值解题技巧：条件求值问题的常用方法(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．例1已知，则下列运算中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，，即可求得，从而判断A；由，，即可求得，从而判断B；由，可求得，再由，即可求得，从而判断C；由，即可求得，从而判断D.【详解】解：A选项：，∴，又，∴，∴，故A错误；B选项：，∴，故B正确；C选项：，，，，，故C错误；D选项：，故D错误，故选：B.例2（多选题）已知实数a满足，下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由结合完全平方公式分别求出各个选项式子的值，即可判断正误．【详解】,，，故选项A正确;，，故选项B错误;,，故选项C正确;,且，，，故选项D正确.故选：ACD例3（1）若，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用立方差公式将分解为，结合已知即可求得答案;（2）将化为，化简并结合，可求得答案.【详解】（1），则．（2），且,．四．活学活用培优训练一、单选题1．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据二次根式的性质得出，进而求出的取值范围，然后确定的正负情况，再将移入根号内即可.【详解】，即，，.故选：A.2．已知实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的运算求解.【详解】设，，，，，..又，，，.故选：D3．化简(其中，)的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件化根式为分数指数幂，再借助幂的运算法则计算即得.【详解】因，，所以.故选：C4．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（

）A．（） B．C．（） D．（）【答案】C【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可.【详解】A中，（），故A错误；B中，，故B错误；C中，（），故C正确；D中，（），故D错误．故选：C．5．已知，下列各式中正确的个数是（

）①；②；③；④；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据完全平方和公式，立方和公式分别计算即可求解.【详解】①,正确；②，正确；③因为可知，，，所以，故错误；④，正确.故选：C【点睛】本题主要考查了平方和公式，立方和公式，属于容易题.二、多选题6．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.【详解】，而，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：CD.7．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】AC【分析】根据分数指数幂的定义和运算可得答案.【详解】A：，故A正确；B：0的负指数幂没有意义，故B错误；C：，，故C正确；D：和的值不相等．故D错误.故选：AC.8．若（），则下列说法中正确的是（

）A．当n为奇数时，x的n次方根为a B．当n为奇数时，a的n次方根为xC．当n为偶数时，x的n次方根为 D．当n为偶数时，a的n次方根为【答案】BD【分析】根据分数指数幂与根式的转化，分n为奇数，偶数讨论可得解.【详解】当n为奇数时，a的n此方根只有x；当n为偶数时，由于，所以a的n次方根有2个，为．故选：BD三、填空题9．使得等式成立的实数a的值为______________．【答案】8【分析】采用换元法（须注意新元的取值范围），将所