2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)拓展四：构造函数法解决导数不等式问题(精讲)(原卷版+解析)

拓展四：构造函数法解决导数不等式问题（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析重点题型一：构造或(，且)型重点题型二：构造或(，且)型重点题型三：构造或型重点题型四：构造或型第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、两个基本还原①②2、类型一：构造可导积函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2③高频考点1：④高频考点1：高频考点2⑤⑥序号条件构造函数123456783、类型二：构造可商函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2：③⑥第二部分：第二部分：典型例题剖析重点题型一：构造或(，且)型1．(2023·四川·盐亭中学模拟预测（文））已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．(2023·西藏昌都市第四高级中学一模（理））已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．3．(2023·四川省成都市第八中学校高三阶段练习（文））已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．4．(2023·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（理））已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．5．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习（理））已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．6．(2023·陕西师大附中高二期中（文））是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．7．(2023·广东·华南师大附中高三阶段练习）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的取值范围是（

）A． B．C． D．8．(2023·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．9．(2023·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知定义在上的连续函数，其导函数，当时，恒有成立．设，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．10．(2023·四川省南充市白塔中学高三开学考试（文））已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时，，设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．重点题型二：构造或(，且)型1．(2023·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．(2023·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则与的大小关系为（）A．＜ B．=C．＞ D．不能确定3．(2023·宁夏·平罗中学高三阶段练习（文））设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（

）A． B．C． D．4．(2023·广东·广州市第五中学高三阶段练习）已知定义在上的偶函数满足，若，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．5．(2023·陕西渭南·高二期末（理））已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．6．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知是定义在上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．重点题型三：构造或型1．(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（

）A． B．C． D．2．(2023·湖北·高二阶段练习）奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（）A．（，π） B．C． D．3．(2023·江西·高二期中（理））已知是定义域为的奇函数的导函数，当时，都有，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．4．(2023·江苏·高三阶段练习）已知定义在的函数的导函数为，且满足成立，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．5．(2023·吉林·长岭县第三中学高三阶段练习）已知奇函数的定义域为，其导函数是．当时，，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．重点题型四：构造或型1．(2023·福建龙岩·高二期中）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．2．(2023·甘肃·兰州一中高三阶段练习（理））已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．3．(2023·江苏南通·高三阶段练习）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．4．(2023·陕西渭南·高三阶段练习（理））已知定义在上的奇函数的导函数为，且，则（

）A． B．C． D．5．(2023·云南·峨山彝族自治县第一中学高三阶段练习（文））定义在上的函数，其导函数为，若恒有，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．6．(2023·广东·东莞市东华高级中学高二期末）已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．7．(2023·辽宁·大连市第四十八中学高三期中）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，任意，有，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．(2023·全国·高二期末）已知定义在，上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（

）A． B．C． D．9．(2023·重庆·高一阶段练习）已知奇函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．10．(2023·江西赣州·高二期末（理））对任意，不等式恒成立，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．11．(2023·重庆市广益中学校高二阶段练习）定义在上的可导函数，其导函数为，当时，，则（

）A． B．C． D．12．(2023·广西桂林·高三阶段练习（文））已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（

）①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④拓展四：构造函数法解决导数不等式问题（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析重点题型一：构造或(，且)型重点题型二：构造或(，且)型重点题型三：构造或型重点题型四：构造或型第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、两个基本还原①②2、类型一：构造可导积函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2③高频考点1：④高频考点1：高频考点2⑤⑥序号条件构造函数123456783、类型二：构造可商函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2：③⑥第二部分：第二部分：典型例题剖析重点题型一：构造或(，且)型1．(2023·四川·盐亭中学模拟预测（文））已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．答案：D【详解】令，则，所以在单调递减，不等式可以转化为，即，所以.故选：D.2．(2023·西藏昌都市第四高级中学一模（理））已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：D【详解】令，当时，，当时，，在上单调递减；又为的奇函数，，即为偶函数，在上单调递增；又由不等式得，当，即时，不等式可化为，即，由在上单调递减得，解得，故；当，即时，不等式可化为，即，由在上单调递增得，解得，故；综上所述，不等式的解集为：．故选：D．3．(2023·四川省成都市第八中学校高三阶段练习（文））已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】当时，，所以当时，，令，则当时，，故在时，单调递减，又因为在在R上为偶函数，所以在R上为奇函数，故在R上单调递减，因为，所以，当时，可变形为，即，因为在R上单调递减，所以，解得：，与取交集，结果为；当时，可变形为，即，因为在R上单调递减，所以，解得：，与取交集，结果为；综上：不等式的解集为.故选：A4．(2023·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（理））已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】设，则，所以在R上单调递减；由，得，即，所以，解得.故选：A.5．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习（理））已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】当时，，∴，令，∴在上单调递减，又是定义在上的偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减，∵，∴，当，即时，，∴；当，即时，，∴，则.故不等式的解集为.故选：A.6．(2023·陕西师大附中高二期中（文））是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：D【详解】构造，则，因为定义域为，且，所以所以函数在上单调递增，不等式可化为：，即，所以有，解得：.即不等式的解集为：.故选：D7．(2023·广东·华南师大附中高三阶段练习）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：D【详解】由题意设，则当时，有，当时，，函数在上为增函数，函数是奇函数，，函数为定义域上的偶函数，在上递减，由得，，不等式，或，即有或，使得成立的的取值范围是：，，，故选：D8．(2023·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：C【详解】令，则，因为当时，有，所以当时，，所以在上为增函数，因为为奇函数，所以，所以，所以为R上的奇函数，所以在R上为增函数，由，得，，所以，因为为奇函数，所以，所以，得，所以不等式的解集为，故选：C9．(2023·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知定义在上的连续函数，其导函数，当时，恒有成立．设，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．答案：C【详解】解：令，则，当时，恒有成立，当时，，即在上单调递减．则，，，，即，故选：C．10．(2023·四川省南充市白塔中学高三开学考试（文））已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时，，设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．答案：C【详解】解：令，则，当时，，函数在上为增函数，且函数图象过原点，又函数是定义在实数集上的奇函数，即，所以，是定义在实数集上的偶函数，又，，所以，所以，；故选：C．重点题型二：构造或(，且)型1．(2023·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．答案：D【详解】由，得,设，则，所以函数在上单调递增，因为，所以，所以不等式等价于即，所以，解得，所以不等式的解集为.故选:D.2．(2023·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则与的大小关系为（）A．＜ B．=C．＞ D．不能确定答案：C【详解】设，则有，又因为，所以在R上恒成立，则函数在R上单调递增，则，即，即＞.故选：C.3．(2023·宁夏·平罗中学高三阶段练习（文））设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（

）A． B．C． D．答案：D【详解】构造函数，所以，又因为，所以，在上单调递增，因为，所以，不等式，可整理为，即，因为函数在上单调递增，所以.故选：D.4．(2023·广东·广州市第五中学高三阶段练习）已知定义在上的偶函数满足，若，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】是偶函数，，则，即是奇函数，由，可得，构造，则单调递增；，，即的周期为，则，即；不等式可化简为，即，由单调性可得，解得故选：A5．(2023·陕西渭南·高二期末（理））已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．答案：A【详解】构造函数,则,因为,故,因此可得在上单调递减，由于，故，故选：A6．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知是定义在上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．答案：B【详解】由题意，构造函数，则因为不等式恒成立，所以，即在上单调递增，对于A选项，因为，即，即，故A选项错误对于B选项，因为，即，即，故B选项正确对于C选项，因为，即，即，故C选项错误对于D选项，因为，即，即，故D选项错误故选：B重点题型三：构造或型1．(2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（

）A． B．C． D．答案：B【详解】构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误.偶函数在上为增函数，在上为减函数，，故B正确；，，故C错误；，，故D错误.故选：B2．(2023·湖北·高二阶段练习）奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（）A．（，π） B．C． D．答案：D【详解】解：令，因为当时，有，所以，当时，，所以，函数在(内为单调递减函数，所以，当时，关于的不等式可化为，即，所以；当时，，则关于的不等式可化为，即因为函数为奇函数，故，也即所以，即，所以，．综上，原不等式的解集.故选：D．3．(2023·江西·高二期中（理））已知是定义域为的奇函数的导函数，当时，都有，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：D【详解】因为是奇函数，所以是偶函数．设，∴当时，，∴在区间上是增函数，∴在区间是减函数，∵．当时，不等式等价于，当时，不等式等价于，∴原不等式的解集为．故选：D．4．(2023·江苏·高三阶段练习）已知定义在的函数的导函数为，且满足成立，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．答案：B【详解】设，则，所以在上是减函数，所以，即，A错；，即，B正确；，即，C错；的正负不确定，因此与大小不确定，D不能判断．故选：B．5．(2023·吉林·长岭县第三中学高三阶段练习）已知奇函数的定义域为，其导函数是．当时，，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：D【详解】解：设，∴，∵当时，，∴，∴在上单调递减，∵是定义在上的奇函数，故，∴是定义在上的偶函数．∴在上单调递增．①当时，，则不等式可转化为，即，∴，故．②当时，，则不等式可转化为，即，∴，故．不等式的解集为．故选：D．重点题型四：构造或型1．(2023·福建龙岩·高二期中）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．答案：C【详解】因为，所以设，则，所以在上为增函数，又因为，，，，所以，即故选：C2．(2023·甘肃·兰州一中高三阶段练习（理））已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】因为偶函数的定义域为，设，则，即也是偶函数.当时，根据题意，则在上是减函数，而函数为偶函数，则在上是增函数.于是，，所以.故选：A.3．(2023·江苏南通·高三阶段练习）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．答案：C【详解】设，则，则在单增，对A，，化简得，故A错；对B，，化简得，故B错；对C，，化简得，故C正确；对D，，化简得，故D错，故选：C4．(2023·陕西渭南·高三阶段练习（理））已知定义在上的奇函数的导函数为，且，则（

）A． B．C． D．答案：B【详解】因为，所以，令，，则，所以单调递增，所以，所以为奇函数，，所以，即，所以A，C错误；因为，所以，又因为为奇函数，所以，所以B正确；因为，所以．又因为为奇函数，所以，所以D错误．故选：B5．(2023·云南·峨山彝族自治县第一中学高三阶段练习（文））定义在上的函数，其导函数为，若恒有，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．答案：D【详解】令，则因为，因为所以得所以在上单调递减，故，所以，有故选：D6．(2023·广东·东莞市东华高级中学高二期末）已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．答案：B【详解】解：偶函数对于任意的满足，令，则，即为偶函数．又，故在区间上是减函数，所以，即，故B正确；，故A错误；，故C错误；，故D错误；故选：B．7．(2023·辽宁·大连市第四十八中学高三期中）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，任意，有，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【详解】令