高考数学一轮复习(提升版)(新高考地区专用)10.3平面向量的应用(精讲)(提升版)(原卷版+解析)

10.3平面向量的应用（精讲）（提升版）考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一在几何中的运用【例1-1】(2023·四川省峨眉）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【例1-2】(2023·上海）在中，，分别为边上的点，且．求证：．【例1-3】(2023·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（

）A． B．C． D．【例1-4】(2023·云南）已知的面积为，，，则AC边的中线的长为（

）A． B．3 C． D．4【一隅三反】1．(2023·云南师大附中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（

）A． B．3 C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）在中，，点满足，若，则的值为（

）A． B． C． D．3．(2023·河南·南阳中学）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（

）A． B． C． D．考点二三角形的四心【例2-1】(2023·全国·高三专题练习（文））数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（

）A． B．C． D．【例2-2】（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（

）A．若为的垂心，，则B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1C．若为锐角三角形且外心为，且，则D．若，则动点的轨迹经过的外心【一隅三反】1．(2023农安月考）为平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，动点满足，则的轨迹一定过的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心2．(2023·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心3．(2023·全国·）平面内及一点满足，则点是的（

）A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心4．（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．若A、P、Q三点共线，则存在实数使考点三三角形的面积比【例3-1】(2023·天津五十七中模拟预测）若点M是所在平面内一点，且满足：．则与的面积之比为________．【例3-2】(2023·重庆）若是内部一点，且满足，则与的面积比为_______.【一隅三反】1．(2023·全国·课时练习）已知为内的一点，满足，则与的面积之比为________．2．(2023北京朝阳）已知，为所在平面内的两点，且满足，，则__________．3(2023·全国·课时练习）设是内部一点，且，则与的面积之比为________________.4．(2023·江西）已知点为所在平面内一点，满足，，，则______．考点四平面向量的综合运用【例4-1】(2023·昌吉模拟）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则的最小值是（）A．－1 B．1 C．－3 D．3【例4-2】(2023·眉山模拟）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知，，，.根据物理学知识得，则（）A．28m B．20m C．31m D．22m【一隅三反】1．(2023·湖北模拟）设A、B为圆上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x–4y–15=0上一动点，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．62．(2023·衡阳二模）设分别是的内角的对边，已知，设是边的中点，且的面积为1，则等于（）A．2 B． C． D．-23．（2023·深圳模拟）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A．18 B．24 C．36 D．484．(2023·宜春模拟）设、分别是椭圆的左右焦点，过的直线l交椭圆于A、B两点，且，该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．5．(2023·商洛模拟）设，分别为双曲线的左､右焦点，点A，B分别在双曲线C的左､右支上，若，且，则双曲线C的渐近线斜率为（）A． B． C． D．10.3平面向量的应用（精讲）（提升版）考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一在几何中的运用【例1-1】(2023·四川省峨眉）若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形答案：B【解析】，,所以四边形ABCD为平行四边形，,，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.故选：B【例1-2】(2023·上海）在中，，分别为边上的点，且．求证：．答案：证明见解析.【解析】因为，．由且，得，所以.【例1-3】(2023·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（

）A． B．C． D．答案：C【解析】依题意，，同理．由H为△ABC的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，解得，，又，所以．故选：C．【例1-4】(2023·云南）已知的面积为，，，则AC边的中线的长为（

）A． B．3 C． D．4答案：C【解析】根据正弦定理由，因为，所以，或，当时，,不符合三角形内角和定理，当时，，因此,因此，因为的面积为，所以有，负值舍去，即，由余弦定理可知：，设边的中点为，所以有，因此故选：C【一隅三反】1．(2023·云南师大附中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（

）A． B．3 C． D．答案：C【解析】如图，过作交于，作交于，则，又，所以，，所以，即，又是的平分线，所以，而，所以，，，所以，故选：C．2．(2023·全国·高三专题练习）在中，，点满足，若，则的值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】取中点O，连接，，即，M为BC边上靠近C的三等分点，，，，，又，，.故选：C.3．(2023·河南·南阳中学）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】如图所示，设与的夹角为，，所以，因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以，，又因为，所以，因为，所以，所以当时最大，此时，最大的值为.故选：A.考点二三角形的四心【例2-1】(2023·全国·高三专题练习（文））数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；，C错误；，D正确.故选：D.【例2-2】（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（

）A．若为的垂心，，则B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1C．若为锐角三角形且外心为，且，则D．若，则动点的轨迹经过的外心答案：ACD【解析】A：如下图，，则为垂心，易知：，所以，则，根据向量数量积的几何意义知：，同理，所以，正确；B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若，所以，，由，则，当时的最小值为，错误；C：由题设，则，所以，若为中点，则，故，故共线，又，即垂直平分，所以，正确；D：由题设，，则，所以，若为中点，则，故，所以的轨迹经过的外心，正确.故选：ACD【一隅三反】1．(2023农安月考）为平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，动点满足，则的轨迹一定过的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心答案：D【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，

则+的方向为∠BAC的平分线的方向.

又λ∈(0，＋∞)，所以λ(+)的方向与+的方向相同.

而，

所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.

故选：D2．(2023·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心答案：C【解析】由题意知，中，，则，即，所以，即，同理，，；所以是的垂心.故选：C3．(2023·全国·）平面内及一点满足，则点是的（

）A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心答案：B【解析】由知，，即，即，则是的角平分线，同理，即，则是的角平分线，则点是的内心.故选:B.4．（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．若A、P、Q三点共线，则存在实数使答案：BCD【解析】对于A：给定的，其外心为，所以，故A不正确；对于B：因为为给定的的垂心，故，即,解得：,故B正确；对于C：因为重心为G，则有，，所以，故C正确；对于D：由于点在的平分线上，为单位向量，所以与的平分线对应向量共线，所以存在实数使，故D正确．故选：BCD．考点三三角形的面积比【例3-1】(2023·天津五十七中模拟预测）若点M是所在平面内一点，且满足：．则与的面积之比为________．答案：【解析】因，则，即，于是得点在边上，并且，有，所以与的面积之比为.故答案为：【例3-2】(2023·重庆）若是内部一点，且满足，则与的面积比为_______.答案：【解析】取的中点为，则即，则点为的重心根据重心的性质可得，点到的距离是点到的距离的则故答案为：【一隅三反】1．(2023·全国·课时练习）已知为内的一点，满足，则与的面积之比为________．答案：【解析】分别取的中点，连接，，，即，，，；又为中点，，.故答案为：.2．(2023北京朝阳）已知，为所在平面内的两点，且满足，，则__________．答案：【解析】取中点，中点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，根据，有，∴为中点，同理也为中点，即与重合，∵，∴的面积为平行四边形面积的，又∵平行四边形的面为面积的，∴，故答案为．3(2023·全国·课时练习）设是内部一点，且，则与的面积之比为________________.答案：【解析】设为的中点，如图所示，连接，则.又，所以，即为的中点，且，即与的面积之比为.4．(2023·江西）已知点为所在平面内一点，满足，，，则______．答案：7【解析】如图建立平面直角坐标系，设，，，由，所以，所以，，由，所以，所以，又所以，解得或，因为，所以故答案为：考点四平面向量的综合运用【例4-1】(2023·昌吉模拟）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则的最小值是（）A．－1 B．1 C．－3 D．3答案：C【解析】以为原点，为轴的正方形建立平面直角坐标系，则，设，，所以当时，取得最小值.故答案为：C【例4-2】(2023·眉山模拟）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知，，，.根据物理学知识得，则（）A．28m B．20m C．31m D．22m答案：D【解析】因为，所以，

因为，所以∽，所以，所以，因为，，所以，设，分别为的中点，因为，所以，所以为的中点，因为，，所以，所以，所以，所以故答案为：D【一隅三反】1．(2023·湖北模拟）设A、B为圆上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线l：3x–4y–15=0上一动点，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C【解析】设C是AB中点，因为，所以，即C在以原点为圆心，为半径的圆上，，，又，所以，所以．故答案为：C．2．(2023·衡阳二模）设分别是的内角的对边，已知，设是边的中点，且的面积为1，则等于（）A．2 B． C． D．-2答案：B【解析】，由正弦定理可得：，整理可得：，由余弦定理可得：，由，可得：，又的面积为1，即，又故答案为：B3．（2023·深