新高考高中数学核心知识点全透视专题4.2指数与指数函数(专题训练卷)(原卷版+解析)

专题4.2指数与指数函数（专题训练卷）一、单选题1．（2023·和平·天津一中高三月考）已知集合，，则（）A． B． C． D．2．（2023·长沙市南雅中学高一月考）下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（）A．y=|x| B． C． D．3．（2023·全国高一课时练习）若，则x的取值范围是（）A． B． C． D．4．（2023·全国高一课时练习）设，那么（）A．0<b<a<1 B．0<a<b<1C．a>b>1 D．b>a>15．（2023·全国高一课时练习）如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（）A． B．C． D．6．（2023·全国）一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（）A．5 B．9 C．6 D．87．（2023·河南高二月考）已知，，均为实数，其中，则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．8．（2023·河南高三月考（理））已知，则“幂函数在上为增函数”是“指数函数为增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题9．（2023·白沙黎族自治县白沙中学高一期中）下列各式错误的是（）A．＝－3 B．＝aC．＝2 D．＝210．（2023·淮北市树人高级中学高一月考）下列说法中，正确的是（）A．任取，都有.B．是增函数．C．的最小值为1.D．在同一坐标系中与的图像关于轴对称．11．（2023·全国高一课时练习）已知，则函数为减函数的实数的值可以是（）A． B． C． D．12．（2023·抚顺市第二中学高三）已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（）A． B．C． D．三、填空题13．（2023·全国高一课时练习）____________．14．（2023·全国高一课时练习）函数的图像是由函数的图像沿轴向_______平移_______个单位，再沿轴向_______平移_______个单位得到的．15．（2023·全国高一课时练习）若指数函数在区间上的最大值和最小值的差为，则底数_______16．(2023·全国）已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f（1）的大小关系是________．四、解答题17.(2023·全国高三专题练习）化简下列各式：（1）－－π0；（2）18．（2023·全国高一课时练习）已知f(x)＝，a是大于0的常数．（1）求；（2）探求的值；（3）利用（2）的结论求＋＋…＋的值．19．（2023·全国高一课时练习）已知指数函数f(x)的图象过点．（1）求函数f(x)的解析式；（2）已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．20．（2023·江西（文））已知函数.（1）解关于的不等式：；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.21．（2023·全国高一课时练习）定义在上的奇函数满足：当时，．（1）求的解析式；（2）当时，求的最大值和最小值．22．(2023·全国高三专题练习）设函数且是定义域为的奇函数；（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；（2）若，且，求在上的最小值．专题4.2指数与指数函数（专题训练卷）一、单选题1．（2023·和平·天津一中高三月考）已知集合，，则（）A． B． C． D．答案：B分析：由交集的定义求解即可【详解】，，则，故选：B2．（2023·长沙市南雅中学高一月考）下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（）A．y=|x| B． C． D．答案：D分析：根据常见函数的单调性可选出答案.【详解】，在定义域内都不是单调递增的，不满足题意，在定义域上单调递减，不满足题意，在定义域上单调递增，满足题意，.故选：D3．（2023·全国高一课时练习）若，则x的取值范围是（）A． B． C． D．答案：B分析：先化成底数相同的指数形式，再按照指数函数的性质求解.【详解】由得，，所以，解得，故选：B4．（2023·全国高一课时练习）设，那么（）A．0<b<a<1 B．0<a<b<1C．a>b>1 D．b>a>1答案：B分析：利用指数函数的单调性判断即可【详解】由以及函数是减函数可知0<a<b<1，故选：B.5．（2023·全国高一课时练习）如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（）A． B．C． D．答案：B分析：根据指数函数的单调性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通过取得到具体的大小关系．【详解】当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，由图可知，大于1，，大于0小于1．又由图可知，即．，即．，，，与1的大小关系是．故选：．6．（2023·全国）一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（）A．5 B．9 C．6 D．8答案：B分析：由分裂的定义可知，后一天的细胞数应为前一天的二倍，则可表示经过10天的细胞的数量，逆推可知，前一天时应为此时的一半，则可知需要9天即可充满容器一半.【详解】根据题意可得，经过10天细胞数量为，细胞充满容器一半时，细胞数量为，当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是9天，故选：B.7．（2023·河南高二月考）已知，，均为实数，其中，则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．答案：D分析：根据不等式的性质、指数函数性质判断．错误的可举反例说明．【详解】当，时，，，AC错；当，时，，B错；当时，，恒成立，D正确．故选：D．8．（2023·河南高三月考（理））已知，则“幂函数在上为增函数”是“指数函数为增函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B分析：利用幂函数和指数函数的单调性，再结合必要不充分条件的定义即可得到答案.【详解】若幂函数在上是增函数，则，，若指数函数为增函数，则，则，因为“”是“”的必要不充分条件，则“幂函数在上是增函数”是“指数函数为增函数”的必要不充分条件.故选：B.二、多选题9．（2023·白沙黎族自治县白沙中学高一期中）下列各式错误的是（）A．＝－3 B．＝aC．＝2 D．＝2答案：ABD分析：由根式、指数幂的运算性质求各选项的值即可.【详解】A：＝3，错误；B：，错误；C：，正确；D：，错误.故选：ABD10．（2023·淮北市树人高级中学高一月考）下列说法中，正确的是（）A．任取，都有.B．是增函数．C．的最小值为1.D．在同一坐标系中与的图像关于轴对称．答案：CD分析：根据指数函数的性质对各选项逐一分析即可.【详解】对于A，取时，有，故A错误；对于B，是减函数，故B错误；对于C，由于，且在上单调递增，所以的最小值为，故C正确；对于D，由指数函数性质可知与的图像关于轴对称，故D正确；故选：CD11．（2023·全国高一课时练习）已知，则函数为减函数的实数的值可以是（）A． B． C． D．答案：AB分析：由题意可得，结合已知条件即可求解.【详解】由函数为减函数，得，即.又，所以只有，满足题意.故选：AB.12．（2023·抚顺市第二中学高三）已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（）A． B．C． D．答案：BD分析：结合的单调性以及特殊值、基本不等式，确定正确选项.【详解】在为增函数，依题意，所以，A错误.由基本不等式得，B正确.若，则，C错误.若，则，D正确.故选：BD三、填空题13．（2023·全国高一课时练习）____________．答案：26分析：直接根据指数幂的运算法则运算即可.【详解】故答案为：2614．（2023·全国高一课时练习）函数的图像是由函数的图像沿轴向_______平移_______个单位，再沿轴向_______平移_______个单位得到的．答案：左1下2分析：利用函数图象变换规律即得.【详解】函数的图象由函数的图像沿轴向左平移1个单位得到函数的图象，再沿轴向下平移2个单位得到的.故答案为：左；1；下；2.15．（2023·全国高一课时练习）若指数函数在区间上的最大值和最小值的差为，则底数_______答案：或分析：就分类讨论后可得关于的方程，从而可得的值.【详解】若，则指数函数在区间上的最大值为，最小值为1，所以，即，若，则指数函数在区间上的最大值为1，最小值为，故，即，故答案为：或.16．(2023·全国）已知函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f（1）的大小关系是________．答案：(1，＋∞)f(－4)＞f（1）分析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)的值域为[1，＋∞)，结合指数函数的性质可得a＞1，由复合函数单调性和函数的对称性可得函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，且f（1）＝f(－3)，可比较f(－4)与f（1）的大小关系.【详解】因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，根据指数函数的取值特点，可得a＞1.由于在R上单调递增，在(－1，＋∞)单调递增再由复合函数单调性，可得函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，又它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，，又f（1）＝f(－3)，故f(－4)＞f（1）．故答案为：(1，＋∞)，f(－4)＞f（1）四、解答题17.(2023·全国高三专题练习）化简下列各式：（1）－－π0；（2）答案：（1）0；（2）.分析：（1）将根式化为分数指数幂，根据指数幂的运算可得结果；（2）根据指数幂的运算可得结果.【详解】（1）原式＝.（2）＝.18．（2023·全国高一课时练习）已知f(x)＝，a是大于0的常数．（1）求；（2）探求的值；（3）利用（2）的结论求＋＋…＋的值．答案：（1）；（2）；（3）50．分析：(1)根据题意，直接代入计算即可；(2)根据题意，结合指数幂的运算性质，即可得到；(3)根据题意，结合，把原式转化为50组的格式即可求解.【详解】(1).(2)由f(x)＝，得f(1－x)＝＝，故有．(3)由(2)知，＋＋…＋=++…＋＝1×50＝50．19．（2023·全国高一课时练习）已知指数函数f(x)的图象过点．（1）求函数f(x)的解析式；（2）已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．答案：（1）f(x)＝；（2）(－1，1)．分析：(1)将点的坐标代入函数解析式即可求出；（2）根据（1）中的解析式，结合单调性求解.【详解】解：（1）设f(x)＝ax(a>0且a≠1)．将点代入得＝a2．解得a＝．故f(x)＝．（2）由（1）知f(x)＝，显然f(x)在R上是减函数，又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，解得－1<x<1．即x的取值范围为(－1，1)．20．（2023·江西（文））已知函数.（1）解关于的不等式：；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）.分析：（1）令，，原不等式可化为，，求得m的范围，即可得出答案；（2）不等式恒成立，即恒成立，设，，原不等式可化为，分，讨论，取并集即可得出答案.【详解】解：（1）令，，原不等式可化为，，解得，∴，∴，∴不等式的解为；（2）∵，∴，即.设，，∴，∴原不等式可化为，当时，不等式恒成立；当时，∴.∵，当且仅当，∴，即，∴，∴实数的取值范围是.21．（2023·全国高一课时练习）定义在上的奇函数满足：当时，．（1）求的解析式；（2）当时，求的最大值和最小值．答案：（1）；（2）最大值为17，最小值为1．分析：（1）根据函数的奇偶性求出和的解析式可得的解析式；（2）换元，令，则，，根据二次函数知识可求出结果.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以．当时，，则．所以，所以．所以．（2）令，则，，．其图像的对称轴为直线，所以当，即时，；当，即时，．所以当时，的最大值为17，最小值为1．22．(2023·全国高三专题练习）设函数且是定义域为的奇函数；（1）若，判断的单调性并求不等式的