中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题四十空间直线(原卷版+解析)

专题四十空间直线思维导图知识要点知识要点1．空间两条直线的位置关系为相交、平行、异面2．空间两条直线相交(如图①所示)只有一个公共点，记作“a∩b＝A”．3．空间两条直线平行(如图②所示)(1)定义：在同一平面内且没有公共点，记作“a∥b”．(2)判定：主要利用平行四边形对边平行及三角形中位线平行底边．(3)性质：过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行；平行于同一条直线的两直线平行．(4)等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等．4．空间两条直线异面(如图③所示)(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)异面直线的判定：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线．(3)异面直线的夹角异面直线所成角θ的范围：θ∈(0°，90°]．(4)规定：当两直线平行或重合时，它们所成的角为0°.即任意两条直线所成角的范围是.(5)求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算．5．空间两条直线垂直：两条直线的夹角等于90°时，那么这两条直线垂直。空间两直线垂直关系又分为：(1)相交垂直；(2)异面垂直．典例解析典例解析【例1】已知空间四边形的两条对角线互相垂直，那么顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是()A．菱形B．正方形C．矩形D．平行四边形【变式训练1】若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长为()【例2】下列命题正确的是()A．若直线a与直线b异面，b与c异面，则a与c异面B．垂直于同一条直线的两条直线平行C．有三个角是直角的四边形是矩形D．两平行线中，如果有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线【变式训练2】下列命题正确的是()①空间四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形；②空间中，平行于同一直线的两直线平行；③空间中，两个角两边分别平行，则这两个角相等或互补；④连接空间四边形各边的中点的四边形一定是梯形．①② B．②③ C．②④ D．③④【例3】如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求下列异面直线所成角的大小．(1)AD′与BC；(2)AC与BC′；(3)AD′与B′C.【变式训练3】如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝10，BD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，MN＝7，求异面直线AC和BD所成的角．高考链接高考链接1．下面三条直线一定共面的是()A．a，b，c两两平行B．a，b，c两两相交C．a∥b，c与a，b均相交D．a，b，c两两垂直2．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定()A．异面 B．相交C．不相交 D．不平行3．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，VP－OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，求直线PD与直线AB所成角的大小．同步精练同步精练1．下列立体几何的有关结论中，正确的是()A．若两条直线没有公共点，则它们相互平行B．分别在两个平面内的两条直线异面C．若a∥b，b∥c，则a∥cD．若a，b是相交直线，b，c也是相交直线，则a，c也相交2．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，与BB′垂直的棱有()A．4条 B．8条 C．6条 D．12条3．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是()4．正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点，到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为()A．2B．3C．4D．55．在空间四边形ABCD中，如果E，H分别是AB，AD上的点，且.F，G分别是BC，CD中点，则四边形EFGH是()A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形6．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，∠DCD′＝60°，两异面直线AA′与CD′所成角的大小为()A．30°B．60°C．90°D．45°7．长、宽、高分别是a，b，c的长方体的对角线长为________．8．若直线a⊥直线b，直线b∥直线c，则直线a与直线c的位置关系为________．9．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，与对角线A′C异面的棱有________条．10．如图所示，在几何体P－ABCD中，ABCD为矩形，各棱所在直线共有异面直线________对．11．如图所示，ABCD－A1B1C112．如图所示，在正四面体A－BCD中，棱长为2，已知E，F分别是AD，BC的中点，且AB⊥CD，求EF的长．

13.已知E，F，G，H是空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点．(1)求证：EFGH为平行四边形；(2)若AC＝BD，判断四边形EFGH的形状；(3)若AC⊥BD，判断四边形EFGH的形状；(4)若AC＝BD且AC⊥BD，判断四边形EFGH的形状．14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1(1)直线AB1和CC(2)直线AB1专题四十空间直线思维导图知识要点知识要点1．空间两条直线的位置关系为相交、平行、异面2．空间两条直线相交(如图①所示)只有一个公共点，记作“a∩b＝A”．3．空间两条直线平行(如图②所示)(1)定义：在同一平面内且没有公共点，记作“a∥b”．(2)判定：主要利用平行四边形对边平行及三角形中位线平行底边．(3)性质：过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行；平行于同一条直线的两直线平行．(4)等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等．4．空间两条直线异面(如图③所示)(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)异面直线的判定：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线．(3)异面直线的夹角异面直线所成角θ的范围：θ∈(0°，90°]．(4)规定：当两直线平行或重合时，它们所成的角为0°.即任意两条直线所成角的范围是.(5)求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算．5．空间两条直线垂直：两条直线的夹角等于90°时，那么这两条直线垂直。空间两直线垂直关系又分为：(1)相交垂直；(2)异面垂直．典例解析典例解析【例1】已知空间四边形的两条对角线互相垂直，那么顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是(C)A．菱形B．正方形C．矩形D．平行四边形【思路点拨】顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，由于空间四边形的两条对角线互相垂直，由异面直线所成角的定义可得平行四边形两条邻边垂直．【变式训练1】若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长为(B)【提示】由中位线定理可得EF＝GH＝4，FG＝HE＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.【例2】下列命题正确的是(D)A．若直线a与直线b异面，b与c异面，则a与c异面B．垂直于同一条直线的两条直线平行C．有三个角是直角的四边形是矩形D．两平行线中，如果有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线【思路点拨】在没有指明的情况下既要考虑平面中又要考虑空间中的关系．A.a与c的关系不确定；B.在平面中成立，但在空间中不一定成立；C.空间四边形可以满足条件但不是矩形；D.两直线平移后夹角不变，故成立．【变式训练2】下列命题正确的是(B)①空间四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形；②空间中，平行于同一直线的两直线平行；③空间中，两个角两边分别平行，则这两个角相等或互补；④连接空间四边形各边的中点的四边形一定是梯形．A．①② B．②③ C．②④ D．③④【提示】．空间内两组对边分别相等的四边形不一定是平行四边形，但两组对边平行，则在一个平面内一定是平行四边形．连接空间四边形各边的中点的四边形一定是平行四边形．

【例3】如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求下列异面直线所成角的大小．(1)AD′与BC；(2)AC与BC′；(3)AD′与B′C.答案：解题过程见【思路点拨】．【思路点拨】(1)∵AD∥BC∴∠D′AD是异面直线AD′与BC所成的角．又∠D′AD＝45°∴异面直线AD′与BC所成角的大小为45°.(2)∵AD′∥BC′，∴∠D′AC是异面直线AC与BC′所成的角．连接D′C，∵AC＝AD′＝D′C∴△ACD′是等边三角形．∴∠D′AC＝60°，即异面直线AC与BC′所成角的大小为60°.(3)∵AD′∥BC′，∴B′C与BC′所成的角是异面直线AD′与B′C的夹角，∵BCC′B′是正方形，∴B′C⊥BC′，即异面直线AD′与B′C所成角的大小为90°.

【变式训练3】如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝10，BD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，MN＝7，求异面直线AC和BD所成的角．解：取BC的中点E，连接ME，NE，∴在△ABC，△BCD中，由中位线定理可得，ME∥AC，NE∥BD，∴异面直线AC与BD所成角为ME与NE的夹角．在△MNE中，ME＝5，NE＝3，MN＝7，∴由余弦定理可得∠MEN＝120°，既两异面直线夹角为60°.高考链接高考链接1．下面三条直线一定共面的是(C)A．a，b，c两两平行B．a，b，c两两相交C．a∥b，c与a，b均相交D．a，b，c两两垂直2．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定(D)A．异面 B．相交C．不相交 D．不平行3．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，VP－OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，求直线PD与直线AB所成角的大小．解：∵VP-OAB为定值∴S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．∵O为CD上的动点∴CD∥AB.∴∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．∵△PDC为等边三角形∴∠PDC＝60°∴PD与AB所成角为60°同步精练同步精练1．下列立体几何的有关结论中，正确的是(C)A．若两条直线没有公共点，则它们相互平行B．分别在两个平面内的两条直线异面C．若a∥b，b∥c，则a∥cD．若a，b是相交直线，b，c也是相交直线，则a，c也相交【提示】A.还可以异面；B.还可以平行；C.满足平行直线的传递性，正确；D.关系不确定2．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，与BB′垂直的棱有(B)A．4条 B．8条 C．6条 D．12条3．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是(C)【提示】A中可证PQ∥RS，B中可证RS∥PQ，D中延长QP，SR可以相交．4．正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点，到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为(A)A．2B．3C．4D．55．在空间四边形ABCD中，如果E，H分别是AB，AD上的点，且.F，G分别是BC，CD中点，则四边形EFGH是(B)A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形【提示】∵∴EHBD，FGBD∴EHFG∴EFGH是梯形．6．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，∠DCD′＝60°，两异面直线AA′与CD′所成角的大小为(A)A．30°B．60°C．90°D．45°【提示】∵AA′∥DD′，∴异面直线AA′与CD′所成角为∠DD′C，∠DD′C＝30°.7．长、宽、高分别是a，b，c的长方体的对角线长为________．8．若直线a⊥直线b，直线b∥直线c，则直线a与直线c的位置关系为_相交垂直或异面垂直_______．9．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，与对角线A′C异面的棱有____6____条．10．如图所示，在几何体P－ABCD中，ABCD为矩形，各棱所在直线共有异面直线___8_____对．【提示】与PA是异面直线的直线有BC和DC两条.2×4＝8(对)．11．如图所示，ABCD－A1B1C1解：∵AA1∥BB1，∴∠B1BD1即为直线AA1与BD1所成角．连接B1D1，在Rt△BB1D1中，B1D1＝，BB1＝3，∴tan∠B