新教材同步备课2024春高中数学课时分层作业36平面与平面垂直的性质新人教A版必修第二册

课时分层作业(三十六)平面与平面垂直的性质一、选择题1．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不愿定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥平面α，平面γ⊥平面β，则()A．l∥平面γ B．l⊂平面γC．l与平面γ斜交 D．l⊥平面γ3．如图所示，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则()A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC4．设α-l-β是直二面角，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b与直线l都不垂直，那么()A．a与b可能垂直，但不行能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不行能垂直，但可能平行D．a与b不行能垂直，也不行能平行5．(多选)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论确定成立的是()A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PAD二、填空题6．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：．(用序号表示)7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝．8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是．三、解答题9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD.求证：平面PAB⊥平面PBD10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是()A．平面ADC⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ABD⊥平面ABC11．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部12．如图，线段AB的两端在直二面角α-l-β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．75°13．如图，△ABC是正三角形，E，F分别为线段AB，AC上的动点，现将△AEF沿EF折起，使平面AEF⊥平面BCFE，设AEAF＝λ，当AE⊥CF时，λ的值为14．如图，M是半圆弧CD上异于C，D的点，四边形ABCD是矩形，P为AM中点．(1)证明：MC∥平面PBD；(2)若矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，证明：平面AMD⊥平面BMC.15．如图所示，在三棱锥A-BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝(1)求证：不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?课时分层作业(三十六)平面与平面垂直的性质1．C[当b＝α∩β时，必有a⊥β；当b不是α与β的交线时，直线a不愿定垂直于平面β.]2．D[在平面γ内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n，由于平面β⊥平面γ，平面γ∩平面β＝m，所以OE⊥平面β，所以OE⊥l，同理OF⊥l，又OE∩OF＝O，所以l⊥平面γ.故选D.]3．B[因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，所以PD⊥平面ABC.]4．C[当a∥l，b∥l时，a∥b.若a⊥b，可在a上任取点A，过点A在α内作l的垂线c，如图，则c⊥β，所以c⊥b.因为a∩c＝A，所以b⊥α，所以b⊥l，这与已知冲突．所以a与b不行能垂直．]5．ABC[因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B结论确定成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C结论确定成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不愿定成立，故选ABC.]6．①②⇒③(或①③⇒②)[由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③.①③⇒②，也对．]7．1[因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝22所以BC＝BD8．45°[如图，过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.]9．证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以PD⊥AB.因为PA＝PD＝22AD，所以PA2＋PD2＝AD2所以PA⊥PD.又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.因为PD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.10．A[易知CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又BA⊂平面ABD，∴CD⊥BA.又BA⊥AD，且AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ADC，∴BA⊥平面ADC，又BA⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.]11．A[如图，连接AC1，∵∠BAC＝90°，即BA⊥AC，又∵AC⊥BC1，BA∩BC1＝B，BA，BC1⊂平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.又平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在平面ABC上的射影必在直线AB上．]12．B[如图，设AB＝a，在平面α内，作AA′⊥l于A′，则AA′⊥β，连接A′B，则∠ABA′＝30°.在Rt△AA′B中，AB＝a，所以AA′＝12a同理作BB′⊥l于B′，连接AB′，则∠BAB′＝30°，所以BB′＝12a，AB′＝32所以A′B′＝AB'过B作BC綉A′B′，连接A′C，则A′C綉BB′，连接AC.在Rt△AA′C中，AC＝AA'易证BC⊥平面AA′C，所以△ABC为直角三角形，且AC＝BC，所以∠ABC＝45°，即l与AB所成的角是45°.]13．2或12[如图所示，过A作AH⊥EF于H由平面AEF⊥平面BCFE，可得AH⊥平面BCFE，所以AH⊥CF，又AE⊥CF，故可证得CF⊥平面AEF.所以CF⊥EF，由图可得，此时H必与F重合，则∠AFE是直角．所以∠AEF＝30°，所以AE＝2AF，故λ＝2.又当AE垂直于底面时明显满意题意，此时有AF＝2AE，故此状况下有λ＝1214．证明：(1)连接AC，交BD于O，因为四边形ABCD是矩形，所以O是AC中点，连接OP，因为P是AM中点，所以MC∥OP，因为MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.(2)平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD，因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM，因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM，又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC，而DM⊂平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC.15．解：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又AEAC＝AFAD＝∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又EF⊂平面BEF