新高考版2024年高考数学必刷压轴题专题22双曲线解答题压轴题学生版

专题22双曲线（解答题压轴题）①双曲线的中点弦问题1．（2024·四川·树德中学高三期中（文））已知抛物线：（）的焦点为，为上的动点，为在动直线（）上的投影.当为等边三角形时，其面积为.(1)求的方程；(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得为的中点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.2．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．（1）求双曲线C的方程及渐近线方程；（2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．3．（2024·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程.4．（2024·河南洛阳·高二阶段练习（文））已知双曲线M与椭圆有相同的焦点，且M与圆相切．(1)求M的虚轴长．(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.②双曲线中的最值问题1．（2024·全国·高三阶段练习）在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片上的某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点.(1)证明：为定值，并求出点的轨迹的轨迹方程；(2)若曲线上一点，点分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，求面积的取值范围.2．（2024·全国·高二期中）已知双曲线C：的渐近线方程为，O为坐标原点，点在双曲线上．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且，求的最小值．3．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2，焦距为，且点P（0，-1）到渐近线的距离为.（1）求双曲线C的方程；（2）若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B，交双曲线C的两条渐近线于点D、E（D在y轴左侧）.记和的面积分别为、，求的取值范围.4．（2024·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为双曲线：的右顶点，直线与的一条渐近线平行.（1）求的方程；（2）如图，､为的左右焦点，动点在的右支上，且的平分线与轴､轴分别交于点､，试比较与的大小，并说明理由；（3）在（2）的条件下，设过点､的直线与交于､两点，求的面积最大值.5．（2024·湖南师大附中高二期中）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的实轴长为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若曲线与在第一象限的交点为，求证：.（3）过右焦点的直线与双曲线的右支相交于的，两点，与椭圆交于，两点.记，的面积分别为，，求的最小值.6．（2024·全国·高二期末）已知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、.（1）求等轴双曲线的方程；（2）为该双曲线上异于顶点的随意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值.7．（2024·全国·高二课时练习）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标③双曲线中定点、定值、定直线问题1．（2024·河北·高三阶段练习）已知圆A：，直线l（与x轴不重合）过点交圆A于C、D两点，过点B作直线的平行线交直线于点E.(1)证明为定值，并求点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹方程为，直线l与曲线交于M、N两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，是否存在实常数入，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.2．（2024·湖南·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，点在上.(1)求双曲线的方程.(2)设过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.3．（2024·湖南永州·一模）点在双曲线上，离心率.(1)求双曲线的方程；(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满意，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.4．（2024·辽宁朝阳·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值.5．（2024·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形的面积为．(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．6．（2024·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知双曲线和点.(1)斜率为且过原点的直线与双曲线交于两点，求最小时的值.(2)过点的动直线与双曲线交于两点，若曲线上存在定点，使为定值，求点的坐标及实数的值.7．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．(1)求双曲线C的方程．(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值．(3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．8．（2024·安徽·芜湖一中模拟预料）已知双曲线过点，且离心率为．(1)求双曲线C的方程．(2)设直线l是圆上的动点处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明：以为直径的圆过坐标原点．9．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线．(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．10．（2024·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为，，是双曲线上除顶点以外的随意两点，为的中点．(1)设直线与直线的斜率分别为，，求的值．(2)若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．11．（2024·广东汕尾·高二期末）已知点，分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点到一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：与双曲线C交于两点，，直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.12．（2024·全国·高二课时练习）设是双曲线的左､右两个焦点，为坐标原点，若点在双曲线的右支上，且的面积为3.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)若双曲线的两顶点分别为，过点的直线与双曲线交于，两点，摸索究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，恳求出该定直线方程；若不在，请说明理由.13．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上随意一点，点在双曲线上，且满意.（1）求实数的值；（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满意，证明点恒在一条定直线上.④双曲线中向量问题1．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；(1)求双曲线的方程；(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．2．（2024·江苏·南京师大附中高三阶段练习）已知双曲线的离心率为2，的右焦点与点的连线与的一条渐近线垂直．(1)求的标准方程．(2)经过点且斜率不为零的直线与的两支分别交于点，．①若为坐标原点，求的取值范围；②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点．3．（2024·全国·高三专题练习）平面直角坐标系xOy中，点（－，0），（，0），点M满意，点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满意AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点.4．（2024·全国·模拟预料）已知双曲线C的一条渐近线方程为，，分别为双曲线的左､右焦点.(1)求双曲线C的标准方程；(2)P为双曲线C上随意一点，连接直线PM，PN分别交C于点A，B，且，，求证：为定值，并求出该定值.5．（2024·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））已知双曲线C：的渐近线方程为，过双曲线C的右焦点的直线与双曲线C分别交于左、右两支上的A、B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)过原点O作直线，使得，且与双曲线C分别交于左、右两支上的点M、N．是否存在定值，使得？若存在，恳求出的值；若不存在，请说明理由．6．（2024·河南信阳·高二期末（文））已知椭圆的离心率为，右焦点为，过作轴的垂线交双曲线的两条渐近线于，，得到三角形的面积为1.(1)求，；(2)设，，的三个点都在椭圆上，设的中点为，且.求证：的面积为定值.7．（2024·广东·模拟预料）已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.8．（2024·山东·高三开学考试）已知点是一个动点，，，．动点的轨迹记为．(1)求的方程．(2)设为直线上一点，过的直线与交于，两点，试问是否存在点，使得？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．⑤双曲线综合问题1．（2024·河南·安阳一中高三阶段练习（理））设为双曲线的左､右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.(1)求双曲线的离心率；(2)已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变更时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.2．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，其中点位于第一象限内．(1)求双曲线的方程；(2)若直线分别与直线交于两点，证明为定值；(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．3．（2024·全国·高三专题练习）已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．(1)求C的方程；(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．4．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线过点，且的渐近线方程为．(1)求的方程；(2)如图，过原点作相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．①求四边形面积的取值范围；②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．5．（2024·杭州求是高级中学高二期末）已知双曲线C的离心率，左焦点到其渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)设T是y轴上的点，过T作两直线分别交双曲线C的左支于P、Q两点和A、B两点，若，P、Q两点的中点为M，A、B两点的中点为N，O为坐标原点，求两直线OM和ON的斜率之和．6．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为，F到渐近线的距离为．(1)求C的方程；(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是