新高考高中数学核心知识点全透视专题4.4对数与对数函数(专题训练卷)(原卷版+解析)

专题4.4对数与对数函数（专题训练卷）一、单选题1．（2023·山东高考真题）函数的定义域是（）A． B． C． D．2．（2023·全国高一课时练习）计算log2·log3·log5＝（）A．8 B．6C．－8 D．－63.已知，均为不等于1的正数，且满足，则函数与函数的图象可能是（）A. B.C. D.4．（2023·安徽镜湖·芜湖一中高三月考（理））使得不等式成立的一个充分不必要条件为（）A． B．C． D．5．（2023·河南高三月考（理））已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．6．（2023·全国高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（）A． B． C． D．7．（2023·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.68．（2023·天津高考真题）函数的图像大致为（）A． B．C． D．二、多选题9．（2023·广东荔湾·广雅中学高三月考）已知，下列命题为真命题的是（）A．若，则.B．若，则C．若且，则.D．若，则10．（2023·广州市培正中学高二开学考试）下列说法正确的有（）A． B． C． D．11．（2023·湖南湘潭·高三一模）若，，则（）A． B． C． D．12．（2023·福建高三月考）已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程有个不相等的实数解，则的取值可以是（）A． B． C． D．三、填空题13．（2023·全国高一课时练习）已知，，则________．14．（2023·全国高一课时练习），，的大小关系是________.15．（2023·无锡市第一中学高三月考）设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是___________.16．（2023·浙江高三月考）已知函数（且）且，①若，则________，②若函数的值域是，则实数的取值范围是_____________．四、解答题17.（2023·全国高一课时练习）已知logab＝logba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．求证：a＝b或a＝.18．（2023·如皋市第一中学高一月考）（1）计算化简：（2）；（3）；19．（2023·安徽相山·淮北一中高二月考）设实数且，函数．（1）解关于的不等式；（2）设，如果方程有实根，求的取值范围．20．（2023·山东高考真题）已知函数（且）在区间上的最大值是16，（1）求实数的值；（2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．21．（2023·全国高一课时练习）设同时满足条件和对任意，都有成立.（1）求的解析式；（2）设函数的定义域为，且在定义域内.若函数的图象与的图象关于直线对称，求.22.（2023·安徽相山·淮北一中高二月考）设实数且，函数．（1）解关于的不等式；（2）设，如果方程有实根，求的取值范围．专题4.4对数与对数函数（专题训练卷）一、单选题1．（2023·山东高考真题）函数的定义域是（）A． B． C． D．答案：B分析：根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】由题知：，解得且.所以函数定义域为.故选：B2．（2023·全国高一课时练习）计算log2·log3·log5＝（）A．8 B．6C．－8 D．－6答案：C分析：利用对数运算公式，换底公式，化简求值.【详解】原式.故选：C3.已知，均为不等于1的正数，且满足，则函数与函数的图象可能是（）A. B.C. D.答案：B【解析】，，即，，与互为反函数，图象关于对称.故选B.4．（2023·安徽镜湖·芜湖一中高三月考（理））使得不等式成立的一个充分不必要条件为（）A． B．C． D．答案：C分析：根据对数不等式的运算得出，结合选项并根据充分条件和必要条件的定义，即可判断得出答案.【详解】解：依题意，解得：，观察可知，A是必要不充分条件，B是充要条件，C是充分不必要条件，D是既不充分也不必要条件.故选：C.5．（2023·河南高三月考（理））已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．答案：D分析：根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是，则根据指数函数的性质，列式求实数的取值范围.【详解】时，，时，，若要使得存在最小值，只需要，即.故选：D.6．（2023·全国高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（）A． B． C． D．答案：C分析：对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.【详解】，即.故选：C.7．（2023·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6答案：C分析：根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.【详解】由，当时，，则.故选：C.8．（2023·天津高考真题）函数的图像大致为（）A． B．C． D．答案：B分析：由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时，，所以，排除D.故选：B.二、多选题9．（2023·广东荔湾·广雅中学高三月考）已知，下列命题为真命题的是（）A．若，则.B．若，则C．若且，则.D．若，则答案：ABD分析：根据均值不等式最值公式对选项一一判断即可．【详解】对A，，当时等号成立，故正确；对B，因为，所以，则，故正确；对C，且则，故错；对D，因为，所以，故正确．故选：ABD10．（2023·广州市培正中学高二开学考试）下列说法正确的有（）A． B． C． D．答案：ABC分析：根据指对幂函数的单调性对选项一一判断即可．【详解】对A，函数在上单调增，则正确；对B，正确；对C，由于在上是增函数，所以，正确；对D，函数在上单调增，则，则D错．故选：ABC．11．（2023·湖南湘潭·高三一模）若，，则（）A． B． C． D．答案：ACD分析：对于A，有，所以A正确；对于B，分析得，所以B不正确；对于C，分析得到，所以C正确；对于D，作差法得到，所以D正确.【详解】由已知，有，．对于A，有，所以A正确；对于B，因为，且，，，所以，得，所以B不正确；对于C，因为，且，，，所以，所以C正确；对于D，因为，而，因为，所以，故，所以D正确.故选：ACD．12．（2023·福建高三月考）已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程有个不相等的实数解，则的取值可以是（）A． B． C． D．答案：AB分析：利用函数是减函数，根据二次函数和对数的图象和性质判断出的范围，利用与函数的图象有个交点，数形结合即可求解．【详解】因为是上单调递减函数，所以即，所以，作出函数与的图象，如图：由图知：方程在上只有一解，因为方程有个不相等的实数解，则在只有一解，所以，可得所以实数的取值范围为，故选项AB正确；故选：AB.三、填空题13．（2023·全国高一课时练习）已知，，则________．答案：##分析：根据指对互化可表示出，由指数幂的运算性质可求得结果.【详解】，，，，.故答案为：.14．（2023·全国高一课时练习），，的大小关系是________.答案：分析：根据指数函数和对数函数的单调性，比较三个数和的大小关系即可求解.【详解】因为单调递增，所以；因为在上单调递增，所以；因为在上单调递减，所以；所以，故答案为：.15．（2023·无锡市第一中学高三月考）设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是___________.答案：分析：易得，再根据f（x）是奇函数，求得，然后由求解.【详解】因为函数f（x）=，所以，又因为f（x）是奇函数，所以，又，所以.故答案为：-316．（2023·浙江高三月考）已知函数（且）且，①若，则________，②若函数的值域是，则实数的取值范围是_____________．答案：分析：先计算的值，再计算的值；先由二次函数的性质计算当时，函数的值域是，可得当时，函数的值域为的子集，经分析可得，只需即可求得的取值范围.【详解】当时，，所以，所以；当时，，当时，取得最大值，所以当时，函数的值域是，所以当时，函数的值域为的子集，当时，在上单调递增，此时，此时不符合题意，当时，在上单调递减，此时，即，所以，可得，所以实数的取值范围是：，故答案为：；.四、解答题17.（2023·全国高一课时练习）已知logab＝logba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．求证：a＝b或a＝.答案：证明见解析分析：利用指、对数互化得到k＝±1，分类讨论即可证明a＝b或a＝.【详解】设logab＝logba＝k，则b＝ak，a＝bk，所以，因为b>0，且b≠1，所以k2＝1，即k＝±1.当k＝－1时，a＝；当k＝1时，a＝b.所以a＝b或a＝，命题得证．18．（2023·如皋市第一中学高一月考）（1）计算化简：（2）；（3）；答案：（1）；（2）；（3）.分析：（1）将根式化成分数指数幂，再根据指数幂的运算性质化简即可求解；（2）利用对数的运算性质以及换底公式化简即可求解；（3）利用对数的运算性质以及换底公式化简即可求解；【详解】（1）原式；（2）原式；（3）.19．（2023·安徽相山·淮北一中高二月考）设实数且，函数．（1）解关于的不等式；（2）设，如果方程有实根，求的取值范围．答案：（1）当时，原不等式的解集为：；当时，原不等式的解集为：；（2）．分析：（1）根据对数函数的性质，分两种情况讨论分别解出来即可；（2）根据方程有实数根列出等式，然后分离常数，利用基本不等式求解.【详解】（1）解：当时，解得，当时，解得，故当时，原不等式的解集为：；当时，原不等式的解集为：．（2）注意到方程有解的范围是，，令，则，当t=2等号成立故所求的取值范围为．20．（2023·山东高考真题）已知函数（且）在区间上的最大值是16，（1）求实数的值；（2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．答案：（1）；（2）．分析：（1）当时，由函数在区间上是减函数求解；，当时，函数在区间上是增函数求解；（2）根据的定义域是，由恒成立求解．【详解】（1）当时，函数在区间上是减函数，因此当时，函数取得最大值16，即，因此．当时，函数在区间上是增函数，当时，函数取得最大值16，即，因此．（2）因为的定义域是，即恒成立．则方程的判别式，即，解得，又因为或，因此．代入不等式得，即，解得，因此实数的取值范围是．21．（2023·全国高一课时练习）设同时满足条件和对任意，都有成立.（1）求的解析式；（2）设函数的定义域为，且在定义域内.若函数的图象与的图象关于直线对称，求.答案：（1）；（2）.分析：（1）由求出的值，由可求得的值，进而可得的解析式；（2），根据单调性求出的值域即为的定义域，设点是函数的图象上任意一点，点在函数的图象上，代入解析式，进而可得.【详解】（1）由，得，由，得，即对任意恒成立，因为，所以，可得：，所以.（2）由题意知，当时，，因为在上单调递增，所以，设点是函数的图象上任意一点，它关于直线对称的点为，依题意知点应该在函数的图象上，