2022-2023学年福建福州市某中学数学高三年级上册期末达标测试试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在平面直角坐标系X。），中，已知角。的顶点与原点。重合，始边与X轴的非负半轴重合，终边落在直线y=2x上,

则

sinT+2T(）

2.设a=0.82%2=sinl,c=lg3,则叫b,c三数的大小关系是

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.b<c<a

3.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C、D、£五个等级.某班共有36名学生且全部选考

物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中仅

有一科等级为A的学生，其另外一科等级为B,则该班（）

7级

科“ABCDE

物理1016910

化学819720

A.物理化学等级都是3的学生至多有12人

B.物理化学等级都是8的学生至少有5人

C.这两科只有一科等级为8且最高等级为B的学生至多有18人

D.这两科只有一科等级为8且最高等级为3的学生至少有1人

4.直线丁=h+1与抛物线C：f=4）,交于A,〃两点，直线///4B,且/与C相切，切点为尸，记ARS的面积

为S,则的最小值为（）

9273264

4T2727

5.已知a>〃>0,则下列不等式正确的是（）

A.|\/fl-<|v^—B.即-q〉柩

C.\el,-t\<\eh-a\D.\ea—^|>^eh—cz|

6.为了得到函数y=sin2x-彳的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）

A.向左平移丁个单位长度B.向右平移J个单位长度

6o

C.向左平移2个单位长度D.向右平移春个单位长度

7.已知集合A={0,1,2},B={x|Mx-2）<0}4!|AnB=

A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

8.函数/'（x）=Asin（3x+TT2）（3>0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为7Tg的等差数列，要得到函数

43

g（x）=Acostvx的图象，只需将/（x）的图象（）

兀

A.向左平移专个单位B.向右平移二个单位

4

7T3兀

C.向左平移一个单位D.向右平移二个单位

44

9.某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边,

任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种

A.96B.120C.48D.72

10.已知集合4={（乂刈1+：/=4},8={（乂刈3;=2'},则元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

11.函数/（x）=2cos2：c+（sin尤+cos九>一2的一个单调递增区间是（）

717171371TC5万5乃9乃

A.B.C.D.

75"8"I，-8~T'T

12.函数/（%）=5布（2%+笠04口图的值域为（）

A.——,1B.0,gC.[0,1]D.——,0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图,在梯形A3C。中，AD//BC,AB=BC=2,AD=4,E,尸分别是3C,C£＞的中点，若说.丽=T，则

AF-CD的值为，

22

14.已知双曲线5-与=1（。＞0/＞0）的左焦点为尸（―6,0），A、3为双曲线上关于原点对称的两点，A/7的中点

CTb-

为H,5尸的中点为K,HK的中点为G,若因K|=2QG|,且直线AB的斜率为正，贝!IIAB|=,双

4

曲线的离心率为

15.已知函数/（x）=alnx—图象上一点（2,/Q）处的切线方程为y=-3x+21n2+2,贝!|。+。=

16.已知tan[e+wj=3,贝ijtan6=,cos^2^——J=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合

格，，，，不合格，，两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统

计结果及对应的频率分布直方图如下：

等级不合格合格

得分[20,40][40,60][60,80][80,100]

频数6a24b

（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数;

(2)其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得

分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；

(3)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，

记所选4人的量化总分为白，求J的数学期望E(J).

18.(12分)已知二,二6二，设函数二(二)=二二一二二一二J匚；+/

⑺若二=0,求二(二)的单调区间：

(〃)当二e[0,+为时，二(二)的最小值为0,求二+、/二的最大值.注：二为自然对数的底数.

19.(12分)△ABC的内角A,6,C的对边分别为a,dc,且sinC=sinB+sin(4-B).

(1)求角A的大小

(2)若〃=S八ABC的面积S=圭叵，求△ABC的周长.

2

20.(12分)设函数/(x)=；x+l+|x-l|(xeR)的最小值为〃?.

(1)求的值；

111O。人

(2)若b>C为正实数，且----1-----H-----=-1证明：^+―+—>1.

ma2mb3mc3993

21.(12分)如图，在直三棱柱中ABC-A&G，D、E、F、G分别是BC，B£,A4,,C£中点，且AB=AC=20，

BC=AA,=4.

(1)求证：8CJ_平面ADE；

(2)求点D到平面EFG的距离.

22.(10分)已知函数/(x)=xe*-ae(aeR)在定义域内有两个不同的极值点.

(1)求实数。的取值范围；

(2)若f(x)有两个不同的极值点芭，x2,且为＜々，若不等式芯+丸々＞0恒成立・求正实数/1的取值范围・

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

利用诱导公式以及二倍角公式，将sin耳+2。化简为关于tan6的形式，结合终边所在的直线可知tan6的值，从

而可求sin［万*+20的直

【详解】

222

e、，.(3兀一八、c八.2八2八sin(9-cos6tan3-\„八〜

因为sm|—+20|=-cos2e=sm-8-cos-e=——--------；—=——；-----,且tan8=2,

(2)sin-(9+cos0tan-(9+1

所以sin仁+26卜宏3

5

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解

msiYe+zicos?。值的两种方法:⑴分别求解出Sin8,cos8的值，再求出结果；(2)将加sir?S+zwos?6变形为

/nsin2^+ncos20雷韶'利用tan,的值求出结果.

sin2+cos20

2、C

【解析】

-,,比较即可.

利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a,b,c与

52

【详解】

由a=0.82°s>0.8"5

c=lg3<lgV10=|lgl0=1,

所以有c<8<a.选C.

【点睛】

本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等

价转化.

3,D

【解析】

根据题意分别计算出物理等级为A,化学等级为3的学生人数以及物理等级为3,化学等级为A的学生人数，结合表

格中的数据进行分析，可得出合适的选项.

【详解】

根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为A另一科为3的学生10-5+8-5=8人（其中物理A化学3的有5

人，物理3化学A的有3人），

表格变为：

ABCDE

物理10-5-5=016-3=13910

化学8-5-3=019-5=14720

对于A选项，物理化学等级都是3的学生至多有13人，A选项错误；

对于B选项，当物理C和。，化学都是B时，或化学C和。，物理都是8时，物理、化学都是8的人数最少，至少

为13—7—2=4（人），B选项错误；

对于C选项，在表格中，除去物理化学都是3的学生，剩下的都是一科为3且最高等级为3的学生，

因为都是8的学生最少4人，所以一科为3且最高等级为8的学生最多为13+9+1-4=19（人），

C选项错误；

对于D选项，物理化学都是8的最多13人，所以两科只有一科等级为3且最高等级为B的学生最少14-13=1（人）,

D选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.

4、D

【解析】

设出A3坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得|A回，再由点到直线的距离公式求得P到43的距离,

得到AR4B的面积为S,作差后利用导数求最值.

【详解】

V=l(Y+1

设B(x2,y2),联立‘7一分'得/一4米-4=0

则%+/=4%,y+%=&(玉+%2)+2=4公+2

贝！J|AB|=y+%+〃=4二+4

丫21

由12=4y,得y=——yf=­x

42

2

设P(与，％)，则;n无o=2左，yQ=k

则点P到直线丁=丘+1的距离d=

从而5=3|4回."=2(如+1).“2+]

S—|AB|=2(公+1).7^71_4(公+1)=2J3_4"2(d21).

4,/(^)=2??-4x2=>/z(^)=6x2-8x(x>l)

当时，/'(x)<0；当x>g时，/'(x)>0

故/11)而n=/[扪一景即ST蝴的最小值为~

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用

构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.

5、D

【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项.

【详解】

已知a>6>0,赋值法讨论a>匕>0的情况：

(1)当时，令a=2,b=\,贝•一《，|e"一。卜|e"-a|,排除B、C选项；

(2)当0<A><aKl时，令a=g,b=；,贝ij|>|逐一,排除A选项.

故选：D.

【点睛】

比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条

件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题.

6、D

【解析】

通过变形/(x)=sin(2x-?)=sin2(x-^),通过“左加右减”即可得到答案.

【详解】

根据题意f(x)=sin(2x-?)=sin2(x-^),故只需把函数y=sin2x的图象

上所有的点向右平移个单位长度可得到函数y=sin(2x-看)的图象，故答案为D.

【点睛】

本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.

7、A

【解析】

先解A、B集合，再取交集。

【详解】

x(x—2)<0=0<x<2,所以B集合与A集合的交集为{1},故选A

【点睛】

一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。

8、A

【解析】

27r27r(兀\

依题意有/.(%)的周期为7=丁=5,。=3,/(》)=4$43%+力.而

/、

.,_7t71.nit

g(x)=Asin(3x+]Asin3x+—+—=Asin+—故应左移

I44j3呜4

9、B

【解析】

间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有A；阀，扣除郁金香在两边有2A；A；,即可求出结论.

【详解】

使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有A：种，

然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有A：种,

根据分步乘法计数原理有制，扣除郁金香在两边，

排2盆虞美人、1盆郁金香有2用种，

再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有,

根据分步计数原理有2用用，

所以共有用A；=120种.

故选:B.

【点睛】

本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.

10、B

【解析】

作出两集合所表示的点的图象，可得选项.

【详解】

由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合8表示函数y=2'的图象上的点，作出两集合所表示的

点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点注所以两个集合有两个公共元素，所以A「8元素个数

为2,

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.

11、D

【解析】

利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简/(X)表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求

得了(X)的单调区间，由此确定正确选项.

【详解】

因为f(x)=2cos2x+(sinx+cosx)2-2

=l+cos2x+l+sin2x-2=>/2sin|2x+—I,由/(x)单调递增，则2〃万一工W2x+三42%万+&QkwZ),解得

V4；242

37r7T

ht-三&x&k兀+三(&eZ),当4=1时，D选项正确.C选项是递减区间，A,B选项中有部分增区间部分减区间.

OO

故选：D

【点睛】

本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合

思想，应用意识.

12、A

【解析】

由xw0,^计算出2x+?的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数y=/(x)的值域.

【详解】

•/xe0,—,2x+-e-sinf2x+—<1,

_12J3L36J2I3)

因此，函数/(%)=5皿(2%+|^(0"4工］的值域为一；』.

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2

【解析】

TT

建系，设设NA=e,由原.历=-1可得e=进一步得到C、尸的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案.

【详解】

以A为坐标原点，AO为X轴建立如图所示的直角坐标系，设NA=e,则

D（4,0）,8（2cos2sinO'）,E（1+2cos6,2sin8）,C（2+2cos0,2sin0）,

所以通=（l+2cos0,2sin。），潴=（2cos。-3,2sin。），由症.诙=-i，

得（1+2（：05。）（2（：05。-3）+45皿2。=一1,即cos6=!，又夕e[0,4],所以

2

6=0,故C（3,6）,,手），前=（1,一百），森=（〈,g）,

所以赤.丽=1-6x且=2.

22

故答案为：2

【点睛】

本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

14、26国

2

【解析】

设A（Xo，y。），3（根据中点坐标公式可得”,K坐标，利用两.冰=0可得到A点坐标所满足的方程,

结合直线斜率可求得看,巾，进而求得|AB|；将A点坐标代入双曲线方程，结合焦点坐标可求得。乃，进而得到离心

率.

【详解】

•.•左焦点为尸(-6,0),•••双曲线的半焦距「=百.

X()

设A(Xo，%),5(-x0,-y0),:.H/2"义,K,-A,

\/\/

Q22

-.•\HK\=2\OG\,:.OH±OK,即0//.0%=0，~~A|)-^-=o>即x：+y：=3,

又直线A3斜率为也，即&=也，.•.片=§,y；=L

4/433

.,JA.=《4寸+4y；=2^3,

22o1

•.•A在双曲线上，.•.乌一冬=1,即白一77T=1，

a2h23a23b2

结合。2=/+从=3可解得：a=0，b=l,；.离心率e=£=旦.

a2

故答案为：2G;

2

【点睛】

本题考查直线与双曲线的综合应用问题，涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题；关键

是能够通过设点的方式，结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.

15、1

【解析】

求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得出以

【详解】

由题意f\x)=--2bx,

X

•；函数图象在点(2,/(2)处的切线方程为y=-3x+21n2+2,

——4h=-3a=2

2解得

b=l

QIn2-4h=—6+2In2+2

/.a+b=3.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础,

1

16、-

2

【解析】

利用两角和的正切公式结合tan[e+：)=3可得出tan。的方程，即可求出tan。的值，然后利用二倍角的正、余弦公

式结合弦化切思想求出cos28和sin26的值，进而利用两角差的余弦公式求出cos2。一?的值.

【详解】

tan+1.八1

tan[8+：)=3n---------=3=>tan6=一，

1-tan02

cos2g-sin201-tan26_3

cos20=cos2。一sin20=

cos2<9+sin20l+tan20-5

2sincos2tang4

sin20=2sin6cos0=

sin26+cos20tan2^+l5

(八八71)=^^(cos26+sin26)=焉0.

/.cos2,----

I4

故答案为：I；—.

210

【点睛】

本题主要考查三角函数值的计算，考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦

化切思想的应用，难度不大.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

23

17、(1)64,65；(2)—；(3)E©)=12.

35

【解析】

(1)根据频率分布直方图及其性质可求出平均数，中位数;

(2)设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件A,“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件B，由条件概率公

式P(例A)=-^片可求出;

尸⑷

(3)从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生数为一x10=4,“合

60

格，，的学生数为6；由题意可得&=0,5,10,15,1,利用“超几何分布”的计算公式即可得出概率，进而得出分布列

与数学期望.

【详解】

由题意知，样本容量为——-——=60/=60x(0.01x20)=12,

0.005x20

1Q

a=60—6—12—24=18,c=------=0.015.

60x20

(1)平均数为(30x0.005+50x0.015+70x0.02+90x0.01)x20=64,

设中位数为x,因为0.005x20+0.015x2。=0.4<0.5,0.005x20+0.015*20+0.02x20=0.8>0.5,所以

xG(60,80),则0.005x20+0.015x20+(%-60)x0.02=0.5,

解得x=65.

(2)由题意可知，分数在［60,80)内的学生有24人，分数在［80,10()］内的学生有12人.设“第1次抽取的测试得分

低于80分”为事件A,“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件B,

…学米皿歌嚏,所以…二箭二||

24

(3)在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取1()人，贝！不合格”的学生人数为二x10=4,

6()

“合格”的学生人数为10-4=6.

由题意可得自的所有可能取值为0,5,10,15,1.

c41C3cl24C2C290

%=15)=普=端%=2。)6=蔡.

所以看的分布列为

0510151

124908015

P

2W210210210210

EC)=0+5x生+10x型+15x幽+20x旦=12

210210210210

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图的性质、分层抽样、超几何分布列及其数学期望，考查了计算能力，属于中档题.

18、⑺详见解析；（〃）入二

【解析】

（/）求导得到二'（二）=二二一二，讨论二＜。和二＞。两种情况，得到答案.

（II）二§=、'二一!二一?二2。故二+v13Z＜2\•二,取二==,二=三,求导得到单调性,得到二（二）皿=二。=0,

得到答案.

【详解】

（Z）二（二）=二二一口匚，='（匚）=匚二一二，

当二工。时，二'（二）=二二一二宜优3成立，函数单调递增；

当二＞。时，二'（二）=二二一二=0,二=In二，当二e（一口In二）时，二'（二）〈。函数单调递减；

当二eOn二+为时，二'（二）＞。函数单调递增.

综上所述：二w。时，二（二）在二上单调递增；二时，二（二）在（一工,工二）上单调递减，在（：n二+切上单调递增.

（〃）二（二）=二一一二二一二J二一+/2。在二c[0,+z）上恒成立;

二（9=、，二一g二一g二20,故二+二＜2V'T,

现在证明存在二，二，二+行二=2、；二，使二（二）的最小值为0.

取二==,二=三，（此时可使二=0）,

二〈二）=”-二一急二"（二…二二二三二二

(C:+J)x'Z-+/

故当二e[0,+工）上时，（匚；+/*二；+/2Le=21,故二''（匚）'0,

二'（二庭二e[0,+旬上单调递增，二噌）=0,

故二(二庵［以上单调递减，在9+X)上单调递增，故二(二)二(9=0.

综上所述：二+、弓二的最大值为人二.

【点睛】

本题考查了函数单调性，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

19、(I)A=—；(II)5+77.

3

【解析】

试题分析：(1)由已知可得5皿。=5足(4+8)=$出8+5也(4-3)=2(：054?6向B<=>cosA=-

2

q_1i•4_3>/3be—6

=A=一；(n)依题意得：{MBC2CSH12=>{,2，=>(b+c)2=b2+c2+2bc=25

3b+c=113O

a9=b~9-2bccosA

=>b+c=5=>a+〃+c=5+V7=>AABC的周长为5+J7.

试题解析：(D・・・A+3+C=万，，C=〃—(A+3).

:.sinC=sin(A+3)=sin5+sin(A-B),

AsinA?5bes/tosB&B^^nB-AB,

A2cosA?BsinA,

,1

:.cosA=—,

2

71

••A=—.

3

八八1sA4Ac=-00sinA=------

(ID依题意得：｛MBC22

a2=h2+c2-2bccosA

be=6

：，｛b2+c2=13,

：.(b+c)2-b1+c2+2bc=25,

/.b+c=5,

••a+Z?+c=5+5/7,

:.ZVL3C的周长为5+J7.

考点：1、解三角形；2、三角恒等变换.

3

20、(1)m=—(2)证明见解析

2

【解析】

(D分类讨论，去绝对值求出函数/(X)的解析式，根据一次函数的性质，得出f(x)的单调性，得出/(©取最小值,

即可求加的值；

(2)由(1)得出=利用“乘1法”，^^+2^+3c=(«+2/?+3c)|-+化简后利用基本

a2b3cI。2b3cJ

不等式求出a+2〃+3c。9的最小值，即可证出q+吆+$21.

993

【详解】

一彳1,x《-2,

(1)解：/(x)=gx+1+|xT|=<1CCI

—x+2,-2<尤<1,

2

—x,x>1,

2

当XG(-8/)时，/(X)单调递减；当Xe[l,+8)时，/(X)单调递增.

3

所以当X=1时，f(x)取最小值/〃=一.

2

(2)证明：由(1)可知，+」-+-5-=i.

a2b3c

a2b_a2h3ca+2〃+3c

要证明：一+—+->1,即art证一+—十—=----------

9939999

因为a,b,。为正实数，

所以a+2b+3c—(a+2b+3c)|—i---1---

2b3c

_aa2b2b3c3c

=3+—+—+—+—+—+—

2b3ca3ca2b

3

当且仅当a=2ft=3c,即a=3,b=-c=l时取等号,

29

2hc-

所以—I---1—21.

993

【点睛】

本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘1法”和分类讨论思想，属于中档题.

21、(1)详见解析；(2)

3

【解析】

(1)利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；

(2)取。£中点为“，则FH/£AD，证得FH，平面BCC.B,，利用等体积法VD_EFC=V5求解即可.

【详解】

(1