2021年人教A版（2019）复习《一元二次方程、函数和不等式》

2021年人教A版（2019）专题复习《一元二次方程、函数和不

等式》

一.选择题（共15小题）

1.（2021•海淀区校级三模）若人则下列不等式正确的是（）

A..1>AB.ab<c^C.|«|>|/?|D.包二〉2

abab

2.（2021•青岛三模）已知1<工<工，M=aa,N=ab,P=ba,则例，N,P的大小关系正

ab

确的为（）

A.N<M<PB.P<M<NC.M<P<ND.P<N<M

3.（2021•临川区校级模拟）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，

学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红、黄、蓝、绿四种颜色，

红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最

少有（）个

A.20B.22C.24D.26

4.（2021春•河南月考•）已知a,旎R+,且a+b=l,则下列不等式不正确的是（）

A-工4〉4B-a2+b2>V2

ab

C.D・a2+b2^^"

5.（2021•沙坪坝区校级模拟）已知正实数〃z,〃满足〃z（〃-1）=4%则m+4〃的最小值是

（）

A.25B.18C.16D.8

6.（2021•浙江模拟）已知实数％y满足7+4/=4,则肛的最小值是（）

A.~2B.^3C.-^2D・_1

22

7.（2021•长寿区校级模拟）丝也一炉工的最大值为（）

2,2

x+y

A.V13B.13C.至D.

22

8.（2021春•瑶海区月考）已知x>0,y>0,若x+y=l,则工的最小值为（）

xy

A.4B.AC.2D.A

42

9.（2021春•河南月考）关于x的不等式（or-6）（x+3）<0的解集为（-8,-3）U（1,

+8）,则关于x的不等式办+40的解集为（）

A.（-8,-1）B.（-1,+°°）C.（-8,1）D.（1,+8）

10.（2021•漳州模拟）己知实数x,y满足/+3）2=3,则x+y的最大值为（）

A.1B.V3C.2D.4

11.（2020秋•威海期末）若关于x的不等式W-（/w+3）x+3w<0的解集中恰有3个正整数,

则实数〃?的取值范围为（）

A.[-2,-1）B.（3,4）C.（5,6]D.（6,7]

12.（2021•浙江模拟）已知/（X）=7-2021x,若/（，”）=/（n）,m^n,则等

于（）

A.2021B.-2021C.0D.10021

13.（2020秋•福州期末）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每

辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数X（X6N*）为二次函数关系（如图

所示），则每辆客车营运（）年时，其营运的年平均利润X最大.

X

14.（2021•山东二模）实数x、y满足37+2/=6x,贝U*2+/的最大值为（）

A.工B.4C.9D.5

22

15.（2021•湖南模拟）数学里有一种证明方法叫做Procj/hvif/zoWwon/s,也称之为无字证明，

一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的

特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰宜角

三角形aABC中，点O为斜边AB的中点，点。为斜边AB上异于顶点的一个动点，设

AD=a,BD=b,则该图形可以完成的无字证明为（）

B.绝《小（a>0,b>0）

a+b

I22

C.巨丝wja+b（a>0,b>0）

2V2

D.a2+Z?2>2>/^b（a>0，b>0）

填空题（共8小题）

16.（2021春♦上高县校级月考）比较大小：3-2。屈-力（填或“=

17.（2021•贵溪市校级模拟）设a=7+2,b=2x,则。>江（判断对错）

18.（2021•北仑区校级模拟）已知正实数x,y满足（x+3y-1）（2x+y-1）=1,则x+y的

最小值是.

22

19.（2021春•鼓楼区校级期末）已知a,b>0,a（1-a）+（tz-^）则_?J_+空1

a+3b3a+b

的最小值为.

20.（2021•衡阳二模）请根据如下矩形图表信息，补齐不等式：

21.（2021•贵溪市校级三模）已知函数/（x）=cu?+bx+c,关于x的不等式/（x）<0的解

集为（-1,3）,则f（4）>f（0）>/（1）.（判断对错）

22.（2021•怀化一模）已知关于x的不等式〃/+法+。>0（mb,cGR）的解集为*|3VXV

2辽

4},则的取值范围为.

a+b

23.（2019秋•潍坊期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（〃，b）,若函数y=/（x）

满足：VxGk-1,〃+l],都有）Wg-l,0+1],则称这个函数是点A的“界函数”.已知

点BGn,n）在函数了=3乂2的图象上，若函数产蒋乂？是点8的“界函数”，则加的

取值范围是.

三.解答题（共7小题）

22,22

24.（2020秋•南京月考）已知h>\,M=^—J一，ba

N;-----+--

a-1b-1a-1b-1

（1）试比较M与N的大小，并证明；

（2）分别求M,N的最小值.

25.（2019秋•海淀区校级期中）已知a、b为正实数，试比较.a.b

26.（2021•内江模拟）已知a>0,b>0,4a+b=2ab.

（1）求a+b的最小值；

（2）若。+〃2|2x-l|+|3x+2|对满足题中条件的①b恒成立，求实数x的取值范围.

27.（2021春•如皋市月考）已知实数x>0,y>0.

（1）若x+y+xy=3,求的最大值与x+y的最小值；

（2）若x>y,求生一+盯+二■的最小值.

x-yy2

28.（2021春•南山区校级期中）已知函数/（X）=/+2（Z-1）X+F+2.

（1）若不等式/CO<0的解集为{x|lVx<3},求实数人的值；

（2）若函数/（x）在区间[2,4]上不单调，求实数上的取值范围.

29.（2020秋•湖北期末）在①{1,4}£{〃2-2〃+2,a-1,0},②关于x的不等式l<ax+b

W3的解集为{x|3VxW4},③一次函数）=6+6的图象过A（-1,1）,B（2,7）两点，

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.

问题：已知,求关于尤的不等式/-Sx+dX）的解集.

30.（2021•碑林区校级模拟）已知函数f（x）={2Ix-6I-IxI-d的定义域为R

（1）求实数”的取值范围；

（2）设实数机为d的最大值，若正数a,b,c满足。+匕+。=m2,求」_」_」_的

a+1b+2c+3

最小值.

元二次方程、函数和不等式

参考答案与试题解析

选择题（共15小题）

1.（2021•海淀区校级三模）若K0,则下列不等式正确的是（）

A-XB.ab<a2C.|。|>步|D7V>2

【考点】不等关系与不等式；不等式的基本性质.

【专题】综合题；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】可举例，令6=-2、。=-1,可判断ABC；利用基本不等式可判断£>.

【解答】解：根据题意可令6=-2、a=-1,

则工<工外>/,刈<步|,，48。错；

ab

故选：D.

【点评】本题考查不等式基本性质，考查数学运算能力及推理能力.

2.（2021•青岛三模）己知1<小<1，M=aa,N=ab,P=ba,则M,N,P的大小关系正

ab

确的为（）

A.N<M<PB.P<M<NC.M<P<ND.P<N<M

【考点】不等式比较大小.

【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】令。=上，可解决此题.

24

【解答】解：根据题意，令。=2、％=工，贝ij尸=（A）~2,M—（A）~2,N—（A）T.

24422

根据基函数y=x5在（0,+8）上是增函数，可得P<M；

根据指数函数y=.在R上是减函数，可得MVN.

故选：B.

【点评】本题考查不等式大小比较、指数函数及幕函数单调性，考查数学运算能力，属

于基础题.

3.（2021•临川区校级模拟）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，

学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红、黄、蓝、绿四种颜色，

红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最

少有（）个

A.20B.22C.24D.26

【考点】不等关系与不等式.

【专题】整体思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理.

【分析】根据不等式的关系，利用不等式的性质进行转化求解即可.

【解答】解：分别设红、黄、蓝、绿各有“，h,c,d个，且a,h,c,d为正整数，

则由题意得c^d+l,,2b^a+l,

即2〃2c+l+l24+l+226+l+3,

可得b24,

所以a27,c36,d25,即至少有4+5+6+7=22个.

故选:B.

【点评】本题主要考查不等式的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键，是基础题.

4.（2021春•河南月考）已知必庆R+,且”+匕=1,则下列不等式不正确的是（）

A.b-a2+b2>V2

22

C.ab《［D.a+b^y

【考点】不等关系与不等式.

【专题】计算题；数形结合；定义法；不等式的解法及应用；数学运算.

［分析］利用基本不等式对每一选项进行分析可得答案.

【解答】解：已知a,Z?GR+»且。+%=1,

工」=（J_J）（a+b）=2Be>4，当且仅当“。=6”时等号成立，故A正确；

ababab

（a2+b2）2=a+b+2Vab=l+2Vab<l+（a+b）=2,B|Ja2+b2<V2,当且仅当“〃=

b”时等号成立，故8错误；

a+b=l>2V^b，即ab41，当且仅当“。=6”时等号成立，故C正确；

2

a2+b2＞（a+b）J,（当且仅当“。时等号成立，故。正确.

故选：B.

【点评】本题考查基本不等式及其应用，属于基础题.

5.（2021•沙坪坝区校级模拟）已知正实数机，〃满足加（〃-1）=4及，则机+4〃的最小值是

（）

A.25B.18C.16D.8

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.

【解答】解：因为〃=4〃，可得碗整理可得1='+工，

mn

所以加+4〃=（相+4〃）（A+1）=8+见+应28+2但二位=16,

mnnmVnm

当且仅当，即卫二1皿时，即相=8,〃=2时等号成立，

nm

所以〃?+4”的最小值为16.

故选：C.

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属

于基础题.

6.（2021•浙江模拟）已知实数x,y满足/+4/=4,则犯的最小值是（）

A.-2B.-C.-D.-1

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】由（x+2y）2=x2+4y2+4xy,得解.

【解答】A?：'."x2+4y2=4,

（x+2y）2=/+4）2+4孙=4+4冲20,当且仅当x=-2y时，等号成立，

-1,即冲的最小值是-1.

故选：D.

【点评】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

22

7.（2021•长寿区校级模拟）铝+9匕72空的最大值为（）

2,2

x+y

A.A/13B.13C.至D..§.V2.

22

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算.

22

【分析】利用（3x-2y）220,得到⑵:尺9/+4F从而将他+.9工^2注中的1与

x2+y2

进行代换，再求出最值.

【解答】解：因为（3x-2y）2?0,所以9/-12%），+4V20,

所以12孙W9/+4）2,

所以4x2+9y2+12xy24x2+9y2+9*2+4y213（x2+y2）

2上2%2工2-2」2-iJ，

x+yx+yx+y

当且仅当3x=2y时取等号，

22

所以念的最大值为13.

22

x+y

故选：B.

【点评】本题考查了代数式最值的求解，解题的关键是构造12xyW97+4）2,考查了转化

与化归思想，属于中档题.

8.（2021春♦瑶海区月考）已知x>0,y>0,若x+y=l,则工的最小值为（）

xy

A.4B.AC.2D.A

42

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】由xyW（交工）2可求孙的范围，进而可求.

2

【解答】解：因为x>0,y>0,x+y=l,

所以川W（也）2=1,当且仅当x=y=工时取等号，

242

则上24,即最小值为4.

xy

故选：A.

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题.

9.（2021春•河南月考）关于x的不等式（依-6）（x+3）<0的解集为（-8,-3）U（1,

+8）,则关于x的不等式or+b>0的解集为（)

A.(-8,-I)B.(-1,+8)C.(-8,1)D.(1,+8)

【考点】一元二次不等式及其应用；其他不等式的解法.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】根据不等式的解集可得〃<0,且1,-3是方程(6-b)(x+3)=0的两根，

得到。=人即可求解.

【解答】解：由题意可得。<0,且1,-3是方程(ax-b)(x+3)=0的两根，

/•%—1为方程以-匕=0的根，:♦a=b,

则不等式ar+b>0可化为x+l<0,即x<-l,

不等式ax+b>0的解集为(-8,-]).

故选：A.

【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，属于基础题.

10.(2021•漳州模拟)己知实数x,y满足/+3)2=3,则x+y的最大值为()

A.1B.73C.2D.4

【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系.

【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】设/=/丫，则、=「心则可得到4/-6戊+(3»-3)=0,此方程有解，根据

判别式的意义得到△》()，解得♦的范围，于是可求出x+y的最大值.

【解答】解：设尸x+y,则)，=一加

：7+3y2=3,

；./+3(f-x)2=3,整理得47-6"+(3』-3)—0,

•・”为实数，

；.△=(-6r)2-4X4(3?-3)对，

二-2WW2,

.♦.x+y的最大值为2.

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程o?+法+c=0(a¥0)的根的判别式△=庐-4"：当

△>0,方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方

程没有实数根，本题属于基础题.

11.(2020秋•威海期末)若关于x的不等式/-(机+3)x+3,"<0的解集中恰有3个正整数,

则实数，”的取值范围为()

A.[-2,-1)B.(3,4)C.(5,6JD.(6,7]

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】利用一元二次不等式的解法，按照，”与3的大小进行分类讨论，分别研究即可

得到答案.

【解答】解：不等式--(m+3)x+3"?<0可变形为(x-3)(x-m)<0,

①当〃?>3时，不等式的解集为{x[3<x<〃?},因为解集中恰有3个正整数，

故为4,5,6,所以6<，wW7；

②当机<3时，不等式的解集为{x[w<x<3},因为解集中恰有3个正整数，

所以只能有1,2两个整数，故不符合题意；

③当〃?=3时，不等式无解，不符合题意.

综上所述，实数，〃的取值范围为(6,7].

故选：D.

【点评】本题考查了不等式的解法，主要考查了一元二次不等式的解法，解题的关键是

对m与3大小的比较，属于基础题.

12.(2021•浙江模拟)已知/(x)-2021%,若/(=/("),m^n,则/(，”+〃)等

于()

A.2021B.-2021C.0D.10021

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】先求出函数的对称轴方程，利用二次函数的对称性求解即可.

【解答】解：函数/G)=?-202lx的对称轴为直线l=空红，

2

,.*/(/??)=/(/2),'.m,〃关于函数/(x)=7-2021x图象的对称轴对称，

.,.ffl+n=2X202k=2021,：.f(w+n)=f(2021)=0.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的对称性，利用数形结合的思想是求解的关键.

13.(2020秋•福州期末)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每

辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(xeN*)为二次函数关系(如图

所示），则每辆客车营运（）年时，其营运的年平均利润x最大.

A.3B.4C.5D.6

【考点】二次函数的性质与图象；根据实际问题选择函数类型.

【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】根据图象上点坐标可求得总利润y的二次函数解析式，然后可求?最大时x值.

x

【解答】解：由图可知，抛物线顶点为（6,11）且过点（4,7）,设二次函数解析式为y=

a（x-6）2+11,

把点（4,7）代入得：7=a・（4-6）2+11,解得：a=-1,.•.二次函数解析式为y=-（x

-6）2+ll,

即y=-/+12r-25,，X=-（x+至）+12W-21Y.至+12=2,当且仅当x=5时,工取得

xxVxxx

最大值2,.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数图象性质及应用，考查数学运算能力，属于中档题.

14.（2021•山东二模）实数x、y满足37+2y2=6x,则小+尸的最大值为（）

A.工B.4C.9D.5

22

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】计算题.

【分析】把37+2y2=6x化为b=3x-m2,求出了的取值范围，并代入中消去

2

然后根据二次函数的性质求出它的最值即可.

【解答】解：•••实数x、y满足37+2f=6x,

因此0Wx<2,

2

+v?=3x-工田=（x-3）20WxW2,

222

...当x=2时，/+尸的最大值为4.

故选：B.

【点评】本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的知识点，解答本题的关键是熟练掌

握二次函数的性质，此题难度不大.属中档题.

15.(2021•湖南模拟)数学里有一种证明方法叫做Ps/kw泌OVAIQI心，也称之为无字证明，

一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的

特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角

三角形aABC中，点O为斜边A8的中点，点。为斜边A3上异于顶点的一个动点，设

AD=a,BD=b,则该图形可以完成的无字证明为()

A.^.^VabZ?＞0）

2

B.（a＞。，。＞。）

a+b

C.+b(fl>0,b>o)

D.aW>2Vab(«>0,b>0)

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；分割补形法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】由已知图形先求出。C,CD,然后结合OCWCO即可判断.

【解答】解：由题意得AB=AO+8£>=a+6,(a+b),OD=OB-DB=1.(a+b)

22

-h=—Ca-b),

2

RtAOCD中，C02=/+3=0拉)2Qb)2=a2+b2,

442

因为OCWCD,

所以a(a+b)wja+b.当且仅当时取等号,

故选：C.

【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，体现了转化思想的应用，属于基础题.

二.填空题（共8小题）

16.（2021春•上高县校级月考）比较大小：3-2后<方（填或"=

【考点】不等式比较大小.

【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式；数学运算.

【分析】只需作差比较（3-2\历）2和（/诬-、「）2的大小即可.

【解答］解：（3-2-72）2-（V10-V7）2=17-12^2-17+2770=2^70-2V72<0,

A（3-2V2）2<（V10-V7）2,且3-2加>0,

3-2V2<V10-V7.

故答案为：<.

【点评】本题考查了无理数比较大小的方法：比较平方的大小，考查了计算能力，属于

基础题.

17.（2021•贵溪市校级模拟）设〃=，+2,%=2x,则”>从正确（判断对错）

【考点】不等式比较大小.

【专题】计算题；函数思想；综合法：不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】利用作差法得到=/+2-2%,再通过配方法即可求解.

【解答】解：'：a-h=jr+2-2x=（x-1）2+l>0,：.a>h.

故答案为：正确.

【点评】本题考查了作差法比较不等式的大小，属于基础题.

18.（2021•北仑区校级模拟）已知正实数x,y满足（x+3y-1）（2x+y-1）=1,贝Ix+y的

最小值是_空返_.

5

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】将所求解的式子转化为工（x+3y-l）3（2x+y-l）+^，然后利用基本不等式求

555

解最值即可.

【解答】解：因为x>0,y>0,则x+3y-l>-l,2x+y-1>-1,

因为（x+3y-1）C2x+y-1）=1,

所以x+3y-1>0,2x+y-1>0,

因此^+y—y(x+3y-l)+1-(2x+y-l)一可蚩(x+3y-l)(2x+y-l)+1-——

\+3y-l=V2

当且仅当■^•(x+3y-l)=|*(2x+y-l)，即，血，

b52x+y-l=-y

ri3V2

v=-+---

y5in

所以I°"时取等号，

2V2

所以x+y的最小值为空返.

5

故答案为：空返.

5

【点评】本题考查了基本不等式的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：

一正、二定、三相等，属于中档题.

22

19.(2021春•鼓楼区校级期末)已知a,b>0,a(l-«)+(«-^)2=aW,则为_+ZL_

a+3b3a+b

的最小值为1.

一2一

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】由。和b的位置是等价的，所以当4=6时取得最值，求解即可.

【解答】解：将。和b交换位置，发现已知的等式和要求解的式子是相同的，

则当a=b时，25_+空_取得最小值，

a+3b3a+b

当a—b时，由〃(1-a)+(4-b)2=白3+/,可得a=/?=A,

2

22

所以当时，.2生一+生一取得最小值

2a+3b3a+b2

故答案为：1.

2

【点评】本题考查了基本不等式的应用、转化方法，解题的关键是发现。和b的等价关

系，将问题简单化处理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

20.(2021•衡阳二模)请根据如下矩形图表信息，补齐不等式：J(a+b)2+(c+d)%

{a2+c2±个b2+d2(或a+b+c+d)——.

【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算・

【分析】由勾股定理知，V(a+b)2+(c+d)2=AB,再根据三角形“两边之和大于第三

边”的性质，得解.

22=22>

【解答】解：由勾股定理知，^=VAD+BDV(a+b)+(c+d)

AC=Va2+c2,fiC=Vb2+d2,

如图中的△A8C,根据三角形的两边之和大于第三边，知4BWAC+BC,当且仅当A,B,

C三点共线时，等号成立，

•••V(a+b)2+(c+d)2^Va2+c2+Vb2+d2,

(或由△AB。知，AB^AD+BD,当且仅当A,B,D三点共线时，等号成立，此时

I(a+b)2+(c+d)2Wa+b+c+d).

故答案为：^^2+^2+d2(或

【点评】本题考查利用不等式表示不等关系，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算

能力，属于基础题.

21.(2021•贵溪市校级三模)已知函数/(x)=a>?+bx+c,关于x的不等式/(x)<0的解

集为(-1,3),则/(4)>/(0)>/(1).对(判断对错)

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】根据题意知/(x)是二次函数，且开口向上，对称轴为x=l,由此判断/(4)、

/(0)和/(I)的大小.

【解答】解：由函数f(x)^a^+bx+c,且关于x的不等式/G)<0的解集为(-1,3),

所以/(x)是二次函数，且开口向上，对称轴为x=±3=l,

2

且|4-1|,

所以/(4)>f(0)

故答案为：对.

【点评】本题考查了二次函数与一元二次不等式的应用问题，也考查了转化思想，是基

础题.

22.(2021•怀化一模)已知关于x的不等式af+bx+cX)(〃，b,cGR)的解集为*|3VxV

2皿L

4),则的取值范围为由/，+8).

a+b

【考点】一元二次不等式及其应用.

【专题】转化思想；定义法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】利用根与系数的关系求出b=-7”,c=12a,且a<0,再利用基本不等式求H

a+b

的取值范围.

【解答】解：关于x的不等式oAbx+OO(a,b,cGR)的解集为{x[3<x<4},

所以a<0,且3和4是关于x的方程a?+fer+c=0的两实数根,

由根与系数的关系知，，

3X4=—

a

解得人=一7公c=12a.

所以£+>=144a+5=_24。-->2//),_5._=4V5'

a+ba-7a6a千24)-6a

所以U2的取值范围是［4旄，+8).

a+b

故答案为：［4泥，4-00).

【点评】本题考查了一元二次不等式的解集应用问题，也考查了基本不等式的应用问题,

是中档题.

23.（2019秋•潍坊期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a,b）,若函数y=/（x）

满足：Vx£[a-1,«+l],都有yeg-1,b+\],则称这个函数是点4的“界函数”.已知

点BCm,n）在函数y=」x2的图象上，若函数y=」x2是点B的“界函数”，则〃，的

/2

取值范围是「二

一L2

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】根据点B（in,n）在函数y=—'x2的图象上，从而得出，-1,m+\],都

有）E--+从而讨论机：〃7+1<0时，得出函数y=—在上"-1，

22

m+1]上的值域为[卷6_1产,-^(m+l)]c[Am2"1,-lm+i]（从而可得出

m的范围；同理，讨论-1〈机<1和杉1时，求出函数丫=的值域，让该值域是

2x

2

集合[1m-l,-]m2+l]的子集，从而可得出，"的范围•

2

【解答】解：:B（利，〃）在函数丫=3*2的图象上，，片卷!^，

2

.,.VxG[z/z-1,/M+1],都有-ym+l]，

2

①777+1WO,即mW-1时，y=^x在[〃？-1,m+1]上单调递增，.1

y€)2>总(m+1)2]’

-yCm-l)2〉4m—I

,,，解得m>,，又机W-1,...这种情况不合题意；

蒋向+1产《蒋m?+l"2

m，即-1V〃?<1时，由x&lm-1,m+1]可得y£[-工(nrl)2,0]或

②.

mT<02

y€[-y(m+1)2»

)2>0]--ym2+l]且

[蒋(m+l)2,0]£_ym2+ll,

蒋(m-1)2>-^-m2-l

解得总《同力

19

方m+1》0

③，w-120,即m>1时，y=-lx2在阿-1,W+1]上单调递减，：

y€[—（m+l）2，）2],

[-^-（m+1）2»-^-（m-1）21--ym2+ll,

-y（m+l）2>-4-m2-l

.1；；,解得1r<上，又机》1，.•.这种情况不合题意，

方7m2+1

综上得，，”的取值范围是[4，1].

故答案为：[1，1].

L22J

【点评】本题考查了对“界函数”定义的理解，二次函数的单调性，根据函数单调性求

函数值域的方法，二次函数值域的求法，子集的定义，考查了计算和推理能力，属于难

题.

三.解答题（共7小题）

2222

24.（2020秋•南京月考）已知a>I,b>\,M=-^—上~,N“一4^—•

a-lb-la-lb-l

（1）试比较M与N的大小，并证明；

（2）分别求M,N的最小值.

【考点】不等式比较大小.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式；数学运算.

【分析】（1）作差比较法即可得出MWM

（2）可得出M=a-lT，+b-l+~L+4,然后根据基本不等式即可得出M28,当且仅

a-lb-l

当a=b=2时取等号，而根据N2M,从而可得出例，N的最小值.

【解答】解：（1）MWN,

„a2b2b2a2=(a-b)2(a+b)

证明:

~(a-l)(b-l)

Va>l,/?>1,

：.a+b>0,a-l>0,b-l>0,Qa-b）2^0,

.・.,b）2,（a+240,・・.MWN；

（a-1）（b-1）

（2）M=a-l」v+b-：L>T+4>8,当“=6=2时取等号,

a-1b-1

又根据（1）N?M,

N的最小值都是8.

【点评】本题考查了作差比较法的运用，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于基

础题.

25.（2019秋•海淀区校级期中）已知心。为正实数，试比较_a_+_b_与F+F的大小•

VbVa

【考点】不等式比较大小.

【专题】不等式的解法及应用.

【分析】化简（名+夕）-（4+F）为，匹一瓜『,再由八〃为正

VbVaVab

实数可得4鱼延»7-血）从而得出结论.

Vab

【解答】解：由于（％+塔）一心所亳/）+*《）=*室

__VbVa

=（a-b）（Va-Vb）

Vab

二（VaWb）（Va-Vb）2

Vab

再由“、b为正实数可得V7-h/b>0,Vab>«-（心-加产》。，可得

（4+7^）（右-«）*河,

Vab

•*--4^+^^^\/a+Vb>当且仅当时，取等号.

VbVa

【点评】本题主要考查用比较法证明不等式，式子的变形是解题的关键和难点，属于基

础题.

26.（2021•内江模拟）已知a>0,b>0,4a+h=2ab.

⑴求a+b的最小值；

（2）若“+〃冽2x-l|+|3x+2|对满足题中条件的a,b恒成立，求实数x的取值范围.

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】（1）由已知利用乘1法，结合基本不等式即可直接求解；

（2）结合（1）中的最值，然后结合不等式恒成立与最值的相互转化关系，结合零点分

段讨论即可求解.

【解答】解：（1）因为a>0,b>Q,4a+b=2ab,

所以生丁=2，

ba

所以〃+/?=▲（a+b）（—4JL）=工（5+—（5+2、但■・全■）=2

2ab2ab2"Vab2

当且仅当且上且匡J=2,即。=3,b