2024-2025学年度北师版七上数学-专题4-与线段、角有关的计算问题【课件】

第四章基本平面图形专题4与线段、角有关的计算问题数学七年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS◎问题综述

线段与角是几何图形中的基本图形，掌握好线段和角的有

关计算问题是以后学习其他几何知识的基础.在进行线段和角的

有关计算中，经常用到分类讨论思想和方程思想，解答这类问

题时，一定要数形结合，分类做到不重不漏.数学七年级上册BS版典例讲练02类型一

线段、角的和、差、倍、分问题

（1）如图，已知点

A

，

B

，

C

，

D

在同一条直线上，点

D

是线段

AC

的中点，且

CB

＝5，

AD

＝3，求线段

DC

及

AB

的长.【思路导航】先根据中点的性质求出

DC

，再结合图形将线段相

加得到

AB

的长.解：因为点

D

是线段

AC

的中点，

AD

＝3，所以

DC

＝

AD

＝3，

AC

＝2

AD

＝6.所以

AB

＝

AC

＋

CB

＝6＋5＝11.（2）如图，已知点

O

是直线

AB

上的一点，∠

COD

是直角，

OE

平分∠

BOC

，

OF

平分∠

BOD

，求∠

EOF

的度数.【思路导航】根据角平分线的性质，求出∠

BOE

和∠

BOF

，再

根据∠

EOF

，∠

BOE

和∠

BOF

的关系即可解答.

【点拨】在进行线段长度和角度大小的计算时，关键是根据图

形和已知条件灵活地运用和、差、倍、分关系进行代换，逐步

向已知条件靠拢，注意线段的中点和角平分线的性质的应用.

1.

如图，已知∠

AOB

＝30°，∠

BOC

＝20°，

OC

平分∠

AOD

，求∠

BOD

的度数.解：因为∠

AOB

＝30°，∠

BOC

＝20°，所以∠

AOC

＝∠

AOB

＋∠

BOC

＝30°＋20°＝50°.因为

OC

平分∠

AOD

，所以∠

COD

＝∠

AOC

＝50°.所以∠

BOD

＝∠

BOC

＋∠

COD

＝20°＋50°＝70°.

类型二

线段、角中的整体代入思想

如图，已知点

C

，

D

为线段

AB

上的两点（点

C

在点

D

左

侧），点

M

，

N

分别为

AC

，

BD

的中点，

AB

＝12，

CD

＝5.（1）求线段

AC

与

DB

的长度的和；【思路导航】（1）根据线段长度的和差，即可求出

AC

＋

DB

；

解：（1）根据题意，得

AC

＋

DB

＝

AB

－

CD

＝7.（2）求线段

MN

的长.【思路导航】（2）由（1）的结果结合线段的中点的性质，可得

MC

＋

ND

，再根据线段长度的和差即可解答.

【点拨】在求线段时，若某些线段不易求得，可考虑整体代入

思想的运用.

如图，已知射线

OA

，

OB

分别为∠

MOP

和∠

NOP

的平分线，

且∠

MON

＝α，∠

NOP

＝β（β＜α），求∠

AOB

的大小.

类型三

线段、角中的方程思想

如图，已知点

E

是线段

AB

的中点，点

C

是

EB

上一点，

AC

＝12.（1）若

EC

∶

CB

＝1∶2，求

AB

的长；【思路导航】（1）设

EC

＝

x

，根据比例关系，表示出

CB

的长

度，再根据题意列出方程即可求解；解：（1）因为

EC

∶

CB

＝1∶2，所以可设

EC

＝

x

，

CB

＝2

x

.因为点

E

是线段

AB

的中点，所以

AE

＝

BE

＝

EC

＋

CB

＝

x

＋2

x

＝3

x

.所以

AC

＝

AE

＋

EC

＝3

x

＋

x

＝12，解得

x

＝3.故

AB

＝2

AE

＝6

x

＝6×3＝18.（2）若点

F

为

CB

的中点，求

EF

长.【思路导航】（2）设

EC

＝

y

，根据题意，用含

y

的代数式表示出

CF

的长度，即可求解.

【点拨】当已知条件中数据较少，且知道线段之间的比例关系

或倍数关系时，可考虑设未知数，列方程进行求解.

1.

如图，已知∠

AOB

，∠

BOC

，∠

COD

的度数之比是

2∶1∶3，且∠

AOC

＋∠

BOD

＝140°，求∠

AOD

的度数.解：设∠

BOC

＝

x

，则∠

AOB

＝2

x

，∠

COD

＝3

x

.根据题意，得（2

x

＋

x

）＋（

x

＋3

x

）＝140°.解得

x

＝20°.则∠

AOD

＝∠

AOB

＋∠

BOC

＋∠

COD

＝2

x

＋

x

＋3

x

＝6

x

＝6×20°＝120°.

类型四

线段、角中的分类讨论思想

已知两根木条，一根长20cm，另一根长24cm，将它们一端

重合且放在同一条直线上（不计木条粗细），则此时两根木条

的中点之间的距离为

⁠.【思路导航】画出草图，然后分木条的另一端在同一方向和不

在同一方向两种情况进行讨论.2cm或22cm

【解析】设较长的木条为

AB

＝24cm，较短的木条为

BC

＝

20cm，点

M

，

N

分别为

AB

，

BC

的中点，所以

BM

＝12cm，

BN

＝10cm.如图1，当

BC

不在

AB

上时，

MN

＝

BM

＋

BN

＝12＋10

＝22（cm）；如图2，当

BC

在

AB

上时，

MN

＝

BM

－

BN

＝12－

10＝2（cm）.综上所述，两根木条的中点间的距离是2cm或

22cm.故答案为2cm或22cm.图1图1图2图2【点拨】这类题一般没有给出配图，所以解题时需要自己根据

题意画出示意图.画图时，要注意线段的端点的位置或角的一边

的位置，根据可能的情况画图分类讨论进行解答.

1.

在同一平面内，已知∠

AOB

＝50°，∠

COB

＝30°，则∠

AOC

等于（

C

）A.80°B.20°C.80°或20°D.10°C2.

已知线段

AB

，在直线

AB

上取一点

C

，使

AC

＝2

BC

，在

AB

的反向延长线上取一点

D

，使

DA

＝2

AB

，求

AC

∶

DB

的值.解：设

BC

＝

x

.因为

AC

＝2

BC

，所以

AC

＝2

x

.①如图1，当点

C

在线段

AB

上时，

AB

＝

AC

＋

BC

＝3

x

.因为

AD

＝2

AB

，所以

AD

＝6

x

.所以

BD

＝

AD

＋

AB

＝9

x

.

图1图1②如图2，当点

C

在线段

AB

的延长线上时，

AB

＝

AC

－

BC

＝

x

.因为

AD

＝2

AB

，所以

AD

＝2

x

.所以

BD

＝

AD

＋

AB

＝3

x

.

图2图2

类型五

线段、角中的动态问题

已知∠

AOD

＝40°，射线

OC

从

OD

出发，绕点

O

以每秒

20°的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为

t

秒（

t

≤7），射线

OE

，

OF

分别平分∠

AOC

和∠

AOD

.

（1）如图1，若

t

＝4，求∠

AOE

的度数；图1【思路导航】（1）根据角平分线的过程即可求解；

（2）如图1，求∠

EOF

的度数（用含

t

的代数式表示）；图1【思路导航】（2）根据旋转的过程和角平分线的定义进行计算即可；

图2备用图【思路导航】（3）分两种情况讨论：

OB

落在不同位置时进行角的计算即可求解.

①如图2，当

OB

落在

OF

和

OD

之间时，∠

BOD

＝∠

AOD

－∠

AOB

＝40°－10

t

°，所以40－10

t

＝10，解得

t

＝3.图2备用图②如图3，当

OB

落在

OD

和

OE

之间时，∠

BOD

＝∠

AOB

－∠

AOD

＝10

t

°－40°，所以10

t

－40＝10，解得

t

＝5.图3图3

【点拨】本题考查了角的计算、角的平分线的定义，解决本题

的关键是准确进行角的计算.

【新知理解】如图1，点

C

在线段

AB

上，图中共有

AB

，

AC

和

BC

三条线段.若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2

倍，则称点

C

是线段

AB

的“巧点”.（1）线段的中点

这条线段的“巧点”（填“是”或“不

是”）；（1）【解析】如图，当点

C

是线段

AB

的中点，则

AB

＝2

AC

，

所以线段的中点是这条线段的“巧点”.故答案为是.是

图1（2）若

AB

＝12cm，点

C

是线段

AB

的“巧点”，则

AC

＝

⁠

cm.

4或

6或8

图1【解决问题】（3）如图2，已知

AB

＝12cm.动点