-1.2矩形的性质与判定（第一课时）课件　北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定（第一课时）数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版课前预习011.矩形的定义.有一个角是

的平行四边形叫做矩形.2.矩形的性质定理.（1）矩形的四个角都是

⁠；（2）矩形的对角线

⁠.注：①矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所

有性质；②矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的

⁠.直角

直角

相等

一半

数学九年级上册BS版典例讲练02

（1）如图，在矩形

ABC

D中，已知

AC

交

B

D于点O，∠

A

O

B

＝

120°，

A

D＝3，则

B

D的长为

⁠.【思路导航】根据矩形的对角线相等且互相平分可得O

A

＝

OD，再根据∠

A

O

B

＝120°，判断出△

A

OD是等边三角形，根

据等边三角形的性质求出OD，即可得出

B

D的长.6

【点拨】矩形的性质如下：（1）各角相等，均为90°；（2）对

边平行且相等，邻边互相垂直；（3）对角线互相平分且相等；

（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴

（分别是对边中点所在的直线）.（2）如图，在

Rt

△

ABC

中，∠

ABC

＝90°，点D为

AC

的中点.

若∠

C

＝55°，则∠

AB

D＝

⁠.【思路导航】由直角三角形斜边上的中线的性质得到△

BC

D为

等腰三角形，由等腰三角形的性质和角的互余即可求得答案.35°

【解析】在Rt△

ABC

中，∠

ABC

＝90°，点

D

为

AC

的中点，

∴

BD

是Rt△

ABC

斜边上的中线.∴

AD

＝

BD

＝

CD

.

∴∠

DBC

＝

∠

C

＝55°.∴∠

ABD

＝90°－55°＝35°.故答案为35°.【点拨】直角三角形斜边上的中线将直角三角形分为两个等腰

三角形，可利用这一特征求边角关系.

1.矩形的两邻边长度之比为3∶4，对角线的长为10cm

，则周长

为

cm

.2.如图，矩形

ABC

D的对角线

AC

和

B

D相交于点O，过点O的直

线EF分别交

A

D和

BC

于点E，F.若

AB

＝2，

BC

＝4，则图中阴

影部分的面积为

⁠.28

4

如图，在矩形

ABC

D中，点E，F分别是边

AB

，

C

D上的点，

A

E

＝

C

F，连接EF，

B

F，EF与对角线

AC

交于点O，且

B

E＝

B

F，

∠

B

EF＝2∠

BAC

.

（1）求证：OE＝OF；

【思路导航】（1）可以证明△

A

EO和△

C

FO全等，从而得到

OE＝OF；也可以证明四边形

A

E

C

F是平行四边形来说明OE＝

OF.（2）连接O

B

，求出∠

BAC

的度数，结合勾股定理求出

AB

的长.

（2）解：如图，连接

OB

.

∵

OE

＝

OF

，

BE

＝

BF

，∴

BO

⊥

EF

.

∴∠

BOE

＝90°.∴∠

OEB

＋∠

OBE

＝90°.由（1），得

OA

＝

OC

.

∵四边形

ABCD

是矩形，∴∠

ABC

＝90，∴

OB

＝

OA

.

∴∠

OAB

＝∠

OBA

.

∵∠

BEO

＝2∠

BAC

，∴∠

BEO

＝2∠

OBE

.

∴2∠

OBE

＋∠

OBE

＝90°.∴∠

OBE

＝30°.∴∠

BAC

＝30°.

在Rt△

ABC

中，由勾股定理，得

【点拨】矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有对角线

相等，可以得到四个等腰三角形；直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半是计算或证明题中较为常用的一个性质.

如图，已知矩形

ABC

D的对角线

AC

，

B

D相交于点O，∠

B

O

C

＝120°，

AB

＝2.（1）求矩形对角线的长；

（2）过点O作OE⊥

A

D于点E，连接

B

E，求

B

E的长.

如图，已知四边形

ABC

D是矩形，E为边

A

D上一点，且∠

CB

D

＝∠E

B

D，点

P

为对角线

B

D上一点，

PN

⊥

B

E于点

N

，

PM

⊥

A

D于点

M

.

（1）求证：

B

E＝DE；（2）试判断

AB

和

PM

，

PN

的数量关系，并说明理由.【思路导航】（1）由矩形的性质得出∠

A

D

B

＝∠

CB

D，由已

知条件∠

CB

D＝∠E

B

D，证出∠

A

D

B

＝∠E

B

D，即可得出结

论；（2）延长

MP

交

BC

于点Q，先由角平分线的性质得出

P

Q

＝

PN

，再由

AB

＝

M

Q即可得出结论.（1）证明：∵四边形

ABCD

是矩形，∴

AD

∥

BC

.

∴∠

ADB

＝∠

CBD

.

∵∠

CBD

＝∠

EBD

，∴∠

ADB

＝∠

EBD

.

∴

BE

＝

DE

.

（2）解：

PM

＋

PN

＝

AB

.

理由如下：延长

MP

交

BC

于点

Q

，如图所示.∵

AD

∥

BC

，

PM

⊥

AD

，∴

PQ

⊥

BC

.

又∵∠

CBD

＝∠

EBD

，

PN

⊥

BE

，∴

PQ

＝

PN

.

∴

AB

＝

MQ

＝

PM

＋

PQ

＝

PM

＋

PN

.

【点拨】等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰

上的高，这一结论在选择填空题中可直接使用，在解答题中需

要用等面积法或截长补短法证明.

如图，在矩形

AB