第2节利用导数研究函数的单调性-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

第2节利用导数研究函数的单调性高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.3.体会导数与单调性的关系.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理函数的单调性与其导数的关系

条件导数的符号函数的单调性函数f(x)在区间(a,b)内可导f'(x)>0不等式中不带“=”f(x)在(a,b)内

f'(x)<0不等式中不带“=”f(x)在(a,b)内

单调递增

单调递减微思考“函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0”是“f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)”的什么条件?提示

充分不必要条件.若函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0,则必有f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),但反之不一定,例如f(x)=x3在R上单调递增,但f'(x)=3x2≥0.微点拨利用导数求函数单调区间的步骤:(1)求函数的定义域;(2)求f(x)的导数f'(x);(3)在定义域内解不等式f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间.常用结论1.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),则在(a,b)内f'(x)≥0(≤0)恒成立.2.若函数f(x)在区间(a,b)内存在单调递增(减)区间,则在(a,b)内f'(x)>0(<0)有解.3.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化得较快,其图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,图象就比较“平缓”.自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若函数f(x)在其定义域上有f'(x)<0,则f(x)在定义域上单调递减.(

)2.若函数f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≥0,且f'(x)=0的根为有限个,则f(x)在(a,b)内单调递增.(

)3.一个函数在某一范围内变化得越快,其导数就越大.(

)4.若函数f(x)=x3+ax2+bx在R上单调递增,则a2-3b<0.(

)×√××题组二回源教材5.(人教B版选择性必修第三册6.2.1节练习A第2题改编)已知函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=2x-1,则f(x)的单调递增区间是

.

6.(人教A版选择性必修第二册5.3.1节例1(2)改编)函数f(x)=sin

x-x在(0,π)内的单调递减区间是

.

(0,π)解析

由于f(x)=sin

x-x,所以f'(x)=cos

x-1,因为x∈(0,π),所以f'(x)<0,因此f(x)在(0,π)内单调递减,即函数的单调递减区间是(0,π).题组三连线高考7.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln

x在区间(1,2)内单调递增,则a的最小值为(

)A.e2

B.eC.e-1

D.e-2C8.(2023·全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则a的取值范围是

.

解析

由题意得f'(x)=ax·ln

a+(1+a)x·ln(1+a).易知f'(x)不恒为0.∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f'(x)=ax·ln

a+(1+a)x·ln(1+a)≥0对∀x>0恒成立.2研考点精准突破考点一求不含参数函数的单调区间例1(1)(2024·吉林长春模拟)函数f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为(

)A.(-∞,1) B.(0,1)C.(0,2) D.(2,+∞)C(2)(2024·北京海淀模拟)已知函数f(x)=+1,则函数f(x)的单调递减区间为

.

(-∞,-1)和(1,+∞)解析

函数f(x)的定义域为R,f'(x)=,令f'(x)<0,解得x>1或x<-1,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(1,+∞).(3)(2024·山东潍坊模拟)函数f(x)=e-xcosx,x∈(0,π)的单调递增区间为

.

(4)(2024·福建宁德模拟)函数f(x)=x2ex-e(x+2ln

x)的单调递增区间是

.

(1,+∞)

考点二讨论含参数函数的单调性例2(2024·福建泉州模拟)已知函数f(x)=(x-2)(aex-x).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性.解

(1)因为f(x)=(x-2)(aex-x),所以f'(x)=aex-x+aex(x-2)-(x-2)=(x-1)(aex-2).当a=4时,f(0)=-8,f'(0)=-2,所以曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y+8=-2x,即2x+y+8=0.(2)由(1)知,f'(x)=(x-1)(aex-2).①当a≤0时,aex-2<0,当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减.[对点训练1](2024·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx(x∈R),试讨论函数f(x)的单调性.解

因为f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx,所以f'(x)=6x2+6(1+m)x+6m=6(x+1)(x+m).①若m=1,则f'(x)=6(x+1)2≥0在x∈R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增.②若-m<-1,即m>1,当x∈(-∞,-m)∪(-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,-m)和(-1,+∞)上单调递增;当x∈(-m,-1)时,f'(x)<0,f(x)在(-m,-1)内单调递减.③若-m>-1,即m<1,当x∈(-∞,-1)∪(-m,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,-1)和(-m,+∞)上单调递增;当x∈(-1,-m)时,f'(x)<0,f(x)在(-1,-m)内单调递减.综上,当m=1时,f(x)在R上单调递增;当m>1时,f(x)在(-∞,-m)和(-1,+∞)上单调递增,在(-m,-1)内单调递减;当m<1时,f(x)在(-∞,-1)和(-m,+∞)上单调递增,在(-1,-m)内单调递减.考点三与导数有关的函数单调性的应用(多考向探究预测)考向1辨析图象问题例3(1)(2024·陕西西安联考)已知定义在[-3,4]上的函数f(x)的大致图象如图所示,f'(x)是f(x)的导函数,则不等式xf'(x)>0的解集为(

)C(2)(2024·浙江绍兴模拟)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,若f(2)=0,则y=f(x)的图象大致为(

)D解析

由y=f'(x)的图象可知,当0<x<1时,0<f'(x)<1,则在区间(0,1)内,函数y=f(x)单调递增,且各点处切线的斜率的取值在区间(0,1)内.对于A,在区间(0,1)内,函数y=f(x)的图象上各点处切线的斜率均小于0,故A不正确;对于B,在区间(0,1)内,函数y=f(x)的图象上存在点,在该点处切线的斜率大于1,故B不正确;对于C,在区间(0,1)内,函数y=f(x)的图象上存在点,在该点处切线的斜率大于1,故C不正确;对于D,由y=f'(x)的图象可知,当0<x<1时,0<f'(x)<1,当1<x<3时,f'(x)<0,当x>3时,f'(x)>0,所以函数y=f(x)的图象上各点处切线的斜率在区间(0,1)内,在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,3)内单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,而函数y=f(x)的图象均符合这些性质,故D正确.故选D.考向2解不等式或比较大小问题

C(2)(2024·福建南平模拟)已知函数f(x),g(x)在R上的导函数存在,且f'(x)<g'(x),记a=log52,b=log83,则(

)A.f(a)>g(a) B.f(a)<g(a)C.f(a)+g(b)>g(a)+f(b) D.f(a)+g(b)<g(a)+f(b)Cc=f(1.5),则(

)A.a>c>b B.c>b>aC.c>a>b D.a>b>cC考向3根据单调性求参数的值或取值范围例5(2024·陕西西安模拟)若函数f(x)=x2-ax+ln

x在区间(1,e)内单调递增,则a的取值范围是(

)A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.[3,e2+1] D.[3,e2-1]B变式探究1(变条件变结论)本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+ln

x的单调递减区间是(,1)”,则实数a的值等于

.

3变式探究2(变条件)本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+ln

x在区间(1,e)内存在单调递增区间”,则a的取值范围是

.

变式探究3(变条件)本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+ln

x在区间(1