第4章 第4课时　简单的三角恒等变换-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

第4课时简单的三角恒等变换[考试要求]能运用公式进行简单的三角恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．1．降幂公式(1)sin2α＝1−cos(2)cos2α＝1+cos(3)tan2α＝1−cos2．辅助角公式asinα＋bcosα＝a2+b2sin(其中sinφ＝ba2+b2[常用结论]公式的常用变式(万能公式)(1)sin2α＝2sinα(2)cos2α＝cos2α−(3)1＋cosα＝2cos2α2(4)1－cosα＝2sin2α2(5)1＋sinα＝sinα(6)1－sinα＝sinα(7)tanα2＝sinα1一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公式asinα＋bcosα＝a2+b2sin(α＋φ)中φ的取值与a，(2)cosθ＝2cos2θ2－1＝1－2sin2θ2．(3)当α是第一象限角时，sinα2＝1−cosα[答案](1)×(2)√(3)×二、教材经典衍生1．(多选)(人教A版必修第一册P220练习T4(1)改编)cosα－3sinα化简的结果可以是()A．12cosπ6−αC．12sinπ3−αBD[cosα－3sinα＝21＝2cosαcos＝2sinπ62．(人教A版必修第一册P226练习T1改编)已知sinα＝55，cosα＝255A．2－5 B．2＋5C．5－2 D．±(5－2)C[∵sinα＝55，cosα＝2∴tanα2＝sinα1+cos3．(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知θ∈5π2，3π且sinθcosθ2－255－55[∵θ∈5π2∴cosθ＝－35，θ∴sinθ2＝－1+3cosθ2＝－1−354．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T13(2)改编)在等式(tan10°－3)·sin(*)＝－2cos40°的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是________．80°[因为等式(tan10°－3)·sin(*)＝－2cos40°可以转化为sin(*)＝−2cos40°tan10°−3又因为所求的是锐角，故答案为80°.]考点一三角函数式的化简[典例1]化简：(1)sin2α+βsinα(2)cos3π2[解](1)原式＝sin＝sin＝sin＝cos＝sinα+β(2)因为tanα2＝sin所以(1＋cosα)tanα2＝sinα又因为cos3π2−α＝－sinα，且1－cosα＝2sin所以原式＝−sin＝－22因为0<α<π，所以0<α2<π所以sinα2>所以原式＝－22cosα2三角函数式的化简要遵循“三看”原则[跟进训练]1．已知0<θ<π，化简：1＝________．－cosθ[原式＝2＝cosθ2·si因为0<θ<π，所以0<θ2<π2，所以cos所以原式＝－cosθ.]考点二三角函数式的求值给角求值[典例2](1)cos20°·cos40°·cos100°＝________．(2)求值：cos10(1)－18[cos20°·cos40°·＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin＝－1＝－14sin＝－18sin20(2)解：原式＝cos10°+3sin10°−2sin50°2给值求值[典例3](1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝1+54A．3−58 C．3−54 (2)已知0＜x＜π4，sinπ4−x＝513(1)D(2)2413[(1)因为cosα＝1－2sin2α2＝1+解得sinα2＝3−58＝5(2)法一(先化简后求值)：cos2xcosπ4+x＝cos2x−由0＜x＜π4，得0＜π4－x＜∴cosπ4−x＝1−sin2π∴原式＝2×1213＝24法二(先局部后整体)：cosπ4+x＝cosπ2−由0＜x＜π4，得0＜π4－x＜∴cosπ4−x＝1−sin2π∴cos2x＝sinπ2−2x＝2sinπ＝2×513×12∴cos2xcosπ4+给值求角[典例4](1)已知sinα＝55，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋βA．π4 B．3C．π3 D．(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－(1)B(2)－3π4[(1)由题意知，cosα＝1−sin∵tanβ＝－3，且β为钝角，sin2β＋cos2β＝1，∴sinβ＝31010，cosβ＝－∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝55×−又0＜α＜π2，π∴π2＜α＋β＜3∴α＋β＝3π(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα−β+tanβ1−∴0＜α＜π2又∵tan2α＝2tanα1−tan2α＝2×131−132＝34＞0，∴0＜2α＜∵tanβ＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－∴2α－β＝－3π三角函数式求值的三种题型(1)给角求值：一般给出的角都不是特殊角，需先仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，然后结合公式转化为特殊角，最后消除特殊角三角函数而得解．(2)给值求值：解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．(3)给值求角：一般先求角的某一个三角函数值，再求角的范围，最后确定角．[跟进训练]2．(1)化简2sinA．12 C．2sin9° D．2(2)已知sin2θ＝－13，若π4<θ<3π(3)已知α，β均为锐角，cosα＝277，sinβ＝3314，则cos2α＝________，2(1)B(2)－3－22(3)17π＝2sin18°2cos29°−2sin故选B.(2)∵π4<θ<3π4，且sin2θ＝2sinθcosθ＝－13<0，∴sin∴π2<θ<3π4∵sin2θ＝2sinθcosθ＝－13∴2sinθcosθsi解得tanθ＝－3－22或－3＋22(舍)．(3)因为cosα＝277，所以cos2α＝2cos2α－1＝又因为α，β均为锐角，sinβ＝33所以sinα＝217，cosβ＝1314，因此sin2α＝2sinαcosα＝437，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos2α>0，所以0<2α<π2又β为锐角，所以－π2<2α－β<π又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π课时分层作业(二十六)简单的三角恒等变换一、单项选择题1．(2024·四川泸州模拟)已知cos(π＋θ)＝13，若θ是第二象限角，则tanθA．22 B．2C．－2 D．2B[因为cos(π＋θ)＝13，所以cosθ＝－1又θ是第二象限角，所以sinθ＝22所以tanθ2＝1−cosθ故选B.]2．(2023·福建泉州三模)已知sinα－2cosα＝0，则cos2α＝()A．－13 C．13 D．A[由sinα－2cosα＝0可得tanα＝2，故cos2α＝cos2α−sin2αcos故选A.]3．(2023·山东威海二模)已知sinα−π3＝55A．45 B．－4C．35 D．－C[因为sinα−π3＝55，所以cos2π3−2α＝cos2α−2π3＝cos24．(2024·福建泉州模拟)若cosα＋sinα＝12，则tan2α−A．0 B．32C．3 D．7D[因为cosα＋sinα＝12所以cosα+sin所以2sinαcosα＝－34，即sin2α＝－3又tan2α−π4＝sin2α−π所以tan2α−π4＝5．(2024·湖南衡阳模拟)已知0<α<β<π2，cos2α＋cos2β＋1＝2cos(α－β)＋cos(α＋βA．α＋β＝π6 B．α＋β＝C．β－α＝π6 D．β－α＝D[因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，则cos[(α＋β)＋(α－β)]＋cos[(α＋β)－(α－β)]＋1＝2cos(α－β)＋cos(α＋β)，则2cos(α＋β)cos(α－β)－2cos(α－β)－cos(α＋β)＋1＝0，[cos(α＋β)－1][2cos(α－β)－1]＝0，即cos(α＋β)＝1或cos(α－β)＝12又0<α<β<π2，所以0<α＋β<π，－π2<α－β所以cos(α＋β)≠1，所以选项A，B错误，即cos(α－β)＝12，则α－β＝－π3，所以β－α＝故选D.]6．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割比约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若4m2＋n＝16，则mnA．1 B．2C．4 D．8C[因为m＝2sin18°，所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin18°)2＝16cos218°，因此mn2cos227°−1＝2sin18°·4cos18°二、多项选择题7．已知sinα＝－45，π＜α＜3A．sin2α＝－2425 B．sinα2C．cosα2＝－55 D．tanBCD[因为sinα＝－45，π＜α＜3π2，所以cosα＝－35，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×−45×−35＝2425，故A错误；因为π2＜α2＜3π4，所以sinα2＝1−cos故BCD均正确．]8．若tanθ＝－2，则下列等式中成立的是()A．tan2θ＝－4B．sinθ+C．sinθ(sinθ－cosθ)＝6D．sin2θ−π6BCD[因为tan2θ＝2tanθ1−tan2θ＝−4因为sinθ+cosθsinθ−cosθ＝tan因为sinθsinθ−cosθ＝sin2θ－sinθ＝sin2θ−sinθcosθsin因为sin2θ−π6＝32sin2θ－＝2＝2＝23tanθ+tan2θ−12tan2三、填空题9．sin12°(2cos218[因为sin12°(2cos212°−1)3−tan12°＝sin12°cos12°cos24°10．(2024·福建漳州模拟)已知sin108°＝3sin36°－4sin336°，则cos36°＝________．5+14[∵∴sin72°＝3sin36°－4sin336°，∴2sin36°cos36°＝3sin36°－4sin336°，∵sin36°≠0,∴2cos36°＝3－4sin236°，∴4cos236°－2cos36°－1＝0，∴cos36°＝1+54四、解答题11．已知0＜α＜π2＜β＜π，cosβ−π4＝13，sin(α＋(1)求sin2β的值；(2)求cosα+[解](1)∵cosβ−π4＝cosπ4cosβ＋sinπ4sinβ＝22cosβ＋2∴cosβ＋sinβ＝23，∴1＋sin2β＝2∴sin2β＝－79(2)∵0＜α＜π2＜β∴π4＜β－π4＜3π4，π2∴sinβ−π4＞0，cos(α＋β∵cosβ−π4＝13，sin(α＋β∴sinβ−π4＝223，cos(α＋∴cosα+π＝cos(α＋β)cosβ−π4＋sin(α＋β＝－35×112．已知6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，α∈π2(1)tanα；(2)sin2α+[解](1)∵6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝6si＝6tan2即6tan2α＋tanα－2＝0，解得tanα＝－23或tanα＝12，∵α∈π2，π，∴tan(2)∵sin2α＝2sinαcosαsin2α+cos2α＝2tanα1+tan2α＝－1213，cos2α＝cos2α−sin＝－1213×113．(2024·南京模拟)已知0<α<π2，cosα+π(1)求