第05讲 空间向量基本定理（四大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第第页第05讲空间向量基本定理【题型归纳目录】题型一：基底的判断题型二：基底的运用题型三：正交分解题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题【知识点梳理】知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解空间向量基本定理：如果空间中的三个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共面，那么对空间中的任意一个向量SKIPIF1<0，存在唯一的有序实数组SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.其中，空间中不共面的三个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0组成的集合{SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0}，常称为空间向量的一组基底.此时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都称为基向量；如果SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在基底{SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0}下的分解式.知识点2：空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用SKIPIF1<0表示.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立【典例例题】题型一：基底的判断例1．若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是(

)A．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0例2．已知SKIPIF1<0是空间的一组基底，则可以与向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成基底的向量是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例3．SKIPIF1<0为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是(

)A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例4．若SKIPIF1<0是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例5．)已知SKIPIF1<0是空间的一个基底，则可以与向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成空间另一个基底的向量是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型二：基底的运用例6．在平行六面体SKIPIF1<0中，AC，BD相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例7．在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例8．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且SKIPIF1<0，用向量SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0为(

)

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例9．在平行六面体SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则以SKIPIF1<0为基底表示SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例10．如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例11．如图所示，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型三：正交分解例12．已知SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则空间的一个单位正交基底可以为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例13．已知SKIPIF1<0是空间的一个单位正交基底，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空间的另一个基底，向量SKIPIF1<0在基底SKIPIF1<0下的坐标为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例14．设SKIPIF1<0是单位正交基底，已知SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0在基底SKIPIF1<0下的坐标为SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在基底SKIPIF1<0下的坐标是(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例15．设SKIPIF1<0是单位正交基底，已知向量SKIPIF1<0在基底SKIPIF1<0下的坐标为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在基底SKIPIF1<0下的坐标是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例16．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空间的一个单位正交基底，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空间的另一个基底，若向量SKIPIF1<0在基底SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0下的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0下的坐标为(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0例17．设SKIPIF1<0为空间的一个标准正交基底，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于(

)A．7 B．SKIPIF1<0 C．23 D．11题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题例18．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0(用向量SKIPIF1<0表示)；(2)求证：点E，F，G，H四点共面．例19．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足SKIPIF1<0.(1)判断SKIPIF1<0三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内.例20．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证EG⊥AB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．例21．如图所示，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面．(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．例22．如图，在底面SKIPIF1<0为菱形的平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)用向量SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0共面；(3)当SKIPIF1<0为何值时，SKIPIF1<0．例23．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：(1)SKIPIF1<0的值.(2)线段AC1的长例24．已知平行六面体SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为1的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0．【过关测试】一、单选题1．在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．在平行六面体SKIPIF1<0中，M为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列向量中与SKIPIF1<0相等的向量是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知直线AB，BC，SKIPIF1<0不共面，若四边形SKIPIF1<0的对角线互相平分，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为(

)A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知矩形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0外一点，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．－15．在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，Q是SKIPIF1<0的中点，且M为PQ的中点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．在正方体SKIPIF1<0中，下列各式中运算的结果为向量SKIPIF1<0的是(

).①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0.A．①② B．②③ C．③④ D．①④7．如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长度为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题9．如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则下列结论正确的有(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<011．设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<012．如图，在四面体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且满足SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则用向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示向量中正确的为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题13．以下四个命题中，说法正确的有__________．(填入所有正确序号)①若任意向量SKIPIF1<0共线，则必存在唯一实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立；②若向量组SKIPIF1<0是空间的一个基底，则SKIPIF1<0也是空间的一个基底；③所有的平行向量都相等；④SKIPIF1<0是直角三角形的充要条件是SKIPIF1<0．14．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则SKIPIF1<0的值为____________．15．如图，已知空间四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则SKIPIF1<0＝________.(用向量SKIPIF1<0表示)16．在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的余弦值是________.四、解答题17．如图，在四面体OABC中，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，G为SKIPIF1<0的重