备考2025届高考数学一轮复习强化训练第六章平面向量复数第4讲余弦定理正弦定理

第4讲余弦定理、正弦定理1.[命题点1/2024南京市二模]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bsinA＋B2＝csinB，则角C的大小为（A.π6 B.π3 C.2π3解析∵bsinA＋B2＝csinB，∴sinBcosC2＝sinCsinB，又sinB＞0，∴cosC2＝sinC＝2sinC2cosC2.∵C2∈（0，π2），∴cosC2＞0，∴sinC2＝122.[命题点1/浙江高考]在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝23，则AC＝213，cos∠MAC＝23913解析由∠B＝60°，AB＝2，AM＝23，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.解法一在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B＝4＋64－2×2×8×12＝52，所以AC＝213.在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝AC2＋A解法二过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则BD＝4，AD＝2，CD＝43，所以在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝48＋4＝52，得AC＝213.以下同解法一.3.[命题点1/2024杭州市质检]已知四边形ABCD是一个圆的内接四边形，如图，若AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.（1）求线段BD的长；（2）若∠BPD＝π3，求PB＋PD的取值范围解析（1）由题意知，A＋C＝π，（圆的内接四边形的一特性质是对角互补）所以cosA＝cos（π－C）＝－cosC.依据余弦定理BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC，得BD2＝5－4cosA，BD2＝13－12cosC.所以5－4cosA＝13－12cosC，所以cosC＝12所以BD＝7.（2）解法一因为BD2＝PB2＋PD2－2PB·PDcos∠BPD＝PB2＋PD2－PB·PD＝（PB＋PD）2－3PB·PD≥（PB＋PD）2－3·（PB＋PD）24（提示：此处用到了PB·PD＝（PB所以（PB＋PD）2≤28，所以PB＋PD≤27（当且仅当PB＝PD时取等号）.所以7＜PB＋PD≤27.（留意：三角形中两边之和大于第三边）解法二由题意知∠BPD＝π3，设∠PBD＝θ，则∠PDB＝2π3由正弦定理PBsin∠PDB＝PDsin可得PBsin（2π3－θ）＝PDsinθ＝BDsinπ3＝273＝2213所以PB＋PD＝2213[sinθ＋sin（2π3－θ）]＝27sin（θ＋π6因为0＜θ＜2π3，所以π6＜θ＋π所以27sin（θ＋π6）∈（7，27].所以7＜PB＋PD≤27.4.[命题点2/全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2（π2＋A）＋cosA＝5（1）求A；（2）若b－c＝33a，证明：△ABC是直角三角形解析（1）由已知得sin2A＋cosA＝54即cos2A－cosA＋14＝所以（cosA－12）2＝0，cosA＝1由于0＜A＜π，故A＝π3（2）由正弦定理及已知条件可得sinB－sinC＝33sinA由（1）知B＋C＝2π3，所以sinB－sin（2π3－B）＝即12sinB－32cosB＝12，sin（B－π3由0＜B＜2π3，得B＝π2，则△5.[命题点3/2024长春市质量监测（一）]在△ABC中，AD为BC边上的中线，BD＝3，AD＝7，tan∠BAD＝32（1）求△ABC的面积；（2）若AE＝107AD，求∠解析（1）由tan∠BAD＝32，可得sin∠BAD＝21在△ABD中，由BD＝3，AD＝7，结合正弦定理BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，得解得sin∠ABD＝1，所以∠ABD＝90°，从而AB＝AD2－B在△ABC中，AB＝2，BC＝2BD＝23，∠ABC＝90°，所以△ABC的面积S＝12×2×23＝23（2）以B为坐标原点，BC，BA的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，2），C（23，0），D（3，0），所