人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题05根式中的规律性探究与证明(原卷版+解析)

专题05根式中的规律性探究与证明【例题讲解】探究过程：观察下列各式及其验证过程.（1）；（2）验证：（1）；（2）.(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：=___________；=___________；(2)通过上述探究你能猜测出：=___________（n>0），并验证你的结论．解：（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想，，验证如下：，；故答案为：，（2）通过上述探究你能猜测出，验证如下：.故答案为：；【综合解答】1．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（

）A． B． C． D．2．观察分析下列数据：0，，2，，，，，…，根据数据排列的规律得到的第10个数据的值是（

）A． B． C． D．3．观察下列各式：，，，…请利用你所发现的规律，计算，其结果为(

)A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共0分)4．通过计算可知：，则下一个类似的式子是_________．5．观察下列等式：，，…请将你发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_____．6．在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：_____．7．观察下组数据，寻找规律：0、、、3、2、……那么第10个数据是__________.8．观察下列各式：（1）；（2）；（3）；…，根据上述规律，则______．9．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律得出的值为________．10．观察下列各式：当n＝3时，，当n＝4时，，当n＝5时，，根据以上规律，写出当n＝7时的等式是______．11．设，求不超过的最大整数______．12．观察下列各式：，，，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为___________．三、解答题(共0分)13．（1）化简下列各式，观察计算结果，归纳你发现的规律：①=_________，=_________．②=_________，=_________．③=_________，=_________．（2）根据上述规律写出与的关系是_________；（3）请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_________．14．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；…(1)请你直接写出______，______；(2)请用含有（为正整数）的式子填空：______，______；(3)在线段、、、…、中，长度为正整数的线段共有______条．(4)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值；15．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：

(1)求__________；(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：______________；(3)利用这一规律计算：16．晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是晓明的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：＝_____．(2)观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为：_____．(3)应用运算规律：①化简：＝____；②若（a，b均为正整数），则a+b＝_____．17．观察下列各等式及验证过程：，验证；，验证；，验证．针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式_____．18．观察下列等式，解答后面的问题．第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：第4个等式：……(1)请直接写出第5个等式．(2)根据上述规律猜想第n个等式（，且n为正整数），并给予证明．19．【观察】请你观察下列式子．第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．第4个等式：．第5个等式：．【发现】根据你的阅读回答下列问题：(1)写出第7个等式．(2)请根据上面式子的规律填空：＝．(3)利用（2）中结论计算：．20．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：______；(2)写出你猜想的第n个等式：______，并证明．21．观察下列各式：①，②，③，④，…．利用你观察到的规律(1)写出，；(2)计算的值为．22．探究过程：观察下列各式及其验证过程.（1）；（2）验证：（1）；（2）.(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：=___________；=___________；(2)通过上述探究你能猜测出：=___________（n>0），并验证你的结论．专题05根式中的规律性探究与证明【例题讲解】探究过程：观察下列各式及其验证过程.（1）；（2）验证：（1）；（2）.(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：=___________；=___________；(2)通过上述探究你能猜测出：=___________（n>0），并验证你的结论．解：（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想，，验证如下：，；故答案为：，（2）通过上述探究你能猜测出，验证如下：.故答案为：；【综合解答】1．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是（

）A． B． C． D．答案：D分析：将这列数据改写成：，，，，，…，按照三步确定结果：一确定符号，二确定分子，三确定分母即可．【详解】解：，，，，，…可写出：，，，，，…，∴第10个数为，故选：D．【点睛】本题考查数字类变化规律，解题的关键是把已知的一列数变形，找到变化规律．2．观察分析下列数据：0，，2，，，，，…，根据数据排列的规律得到的第10个数据的值是（

）A． B． C． D．答案：B分析：由已知数据得出第n个数为，据此得出第10个数据．【详解】解：根据题意知第n个数为，∴第10个数据应该是：，故选：B．【点睛】本题主要考查了算术平方根、二次根式的化简，解题的关键是根据已知数据得出第n个数为．3．观察下列各式：，，，…请利用你所发现的规律，计算，其结果为(

)A． B． C． D．答案：B分析：直接利用已知得出数字变化规律，进而化简得出答案．【详解】解：原式故选：B．【点睛】此题主要考查了数字变化规律以及二次根式运算，正确得出数字变化规律是解题关键．4．通过计算可知：，则下一个类似的式子是_________．答案：分析：找到规律即可完成．【详解】根据前三个式子的规律可得第四个式子为：．故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的规律探索问题，善于观察并找到算式的规律是关键．5．观察下列等式：，，…请将你发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_____．答案：=分析：根据已知可以发现等号左边根号下整数与分数的分母相同，通分计算后可以发现根号下的分数，分母为原分数的分母，分子为1，从而得出规律求出即可．【详解】解：根据式子：，，…可以发现等号左边根号下整数为n+1时，开方后分母为n+1，被开方数也为n+1，∴（n≥1），故答案为：．【点睛】此题主要考查了数的规律知识，根据数据前后的变化得出变化规律是解决问题的关键．本题主要考查二次根式的化简的知识点，找出等式规律很重要．6．在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：_____．答案：210分析：先分别求出①②③④的结果，发现的规律并用规律进行求解即可．【详解】解：＝1，，，＝10，…∴＝1+2+3+4+…+20＝210．故答案为：210．【点睛】此题主要考查了学生的计算、分析、总结归纳的能力，解题关键是从题中数据的特点找到规律，并利用规律解题．7．观察下组数据，寻找规律：0、、、3、2、……那么第10个数据是__________.答案：分析：通过观察可知，规律是根号下的被开方数依次是：所以第10个数据应是．【详解】解：∵0，，，3，，…，以此类推，第n个数为，∴第10个数据是，故答案为：．【点睛】主要考查了学生的分析，总结，归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律，还考查了二次根式的性质．8．观察下列各式：（1）；（2）；（3）；…，根据上述规律，则______．答案：155分析：根据前面几个算式的值，探究总结出规律，再计算的值．【详解】解：因为＝5＝1×4+1，＝11＝2×5+1，＝19＝3×6+1，…，∴＝11×14+1＝155．故答案为：155．【点睛】本题主要考查了实数的运算，解决问题的关键是根据已知算式探究规律，运用探究总结的规律解答．9．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律得出的值为________．答案：325分析：根据①=1；②=3=1+2；③=6=1+2+3；④=10=1+2+3+4，…，可得：=1+2+3+…+n，据此求出的值为多少即可．【详解】解：①；②=3=1+2；③=6=1+2+3；④=10=1+2+3+4，…，∴=1+2+3+…+n，∴=1+2+3+…+25=325．故答案为：325．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，以及数字的变化规律的应用，要熟练掌握．10．观察下列各式：当n＝3时，，当n＝4时，，当n＝5时，，根据以上规律，写出当n＝7时的等式是______．答案：分析：根据题意得出相关规律，然后计算即可．【详解】解：当n＝3时，，当n＝4时，，当n＝5时，，∴当n＝n时，，∴当n＝7时，，故答案为：．【点睛】题目主要考查二次根式的计算及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键．11．设，求不超过的最大整数______．答案：分析：首先将化简，可得，然后再代入原式求出，即可得出答案．【详解】解：，，不超过的最大整数．故答案为：．【点睛】本题主要考查完全平方公式、二次根式的化简，能正确化简是解题的关键．12．观察下列各式：，，，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为___________．答案：分析：直接根据已知数据变化规律，进而将原式变形为，进行计算即可解答．【详解】由题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了实数的运算，规律性：数字的变化类，正确将原式变形是解题的关键．13．（1）化简下列各式，观察计算结果，归纳你发现的规律：①=_________，=_________．②=_________，=_________．③=_________，=_________．（2）根据上述规律写出与的关系是_________；（3）请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_________．答案：（1）①；②；③；（2）；（3）.【详解】试题分析：（1）逐一计算即可；（2）根据（1）的规律即可得出结论；（3）根据（1）（2）的规律即可得出结论.试题解析：（1）①；②；③.（2）.（3）.考点：1.探索规律题（数字的变化类）；2.二次根式化简.14．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；…(1)请你直接写出______，______；(2)请用含有（为正整数）的式子填空：______，______；(3)在线段、、、…、中，长度为正整数的线段共有______条．(4)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值；答案：(1)10，(2)，(3)44(4)18分析：（1）认真阅读新定义，根据已知写出答案即可；（2）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可；（3）通过分析数据不难发现当边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数．分析2022最接近哪个正整数的平方．（4）化简整理后求值即可．【详解】（1）解：由题意可得，，，故答案为：10，（2）由题意可得，，故答案为：，（3）解：线段、、、…、的长分别是、、、、...、．长度为正整数的数字分别是1、2、3、4、5、....、a，∵，，∴，∴线段、、、…、中，长度为正整数的线段共有44条．故答案为：44．（4）；【点睛】本题考查了数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，还有二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．15．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：

(1)求__________；(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：______________；(3)利用这一规律计算：答案：(1)(2)(3)分析：（1）根据题目中的例子进行分母有理化求解即可；（2）按照所给等式的变化规律写出第个等式即可；（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算即可．【详解】（1）由题意可得：，故答案为：；（2）由题意可得：为正整数），故答案为：；（3）．【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化及二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16．晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是晓明的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：＝_____．(2)观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为：_____．(3)应用运算规律：①化简：＝____；②若（a，b均为正整数），则a+b＝_____．答案：(1)5(2)（n+1）(3)①2021；②22分析：（1）观察特例可得结论；（2）观察特例与结果间数字间关系得结论；（3）①先计算，再算乘法得结论；②根据前面总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果．（1）解：．（2）解:,（3）解:①＝2021×＝2021×＝2021．②∵(a，b均为正整数)，∴a+1＝11，b＝a+2．∴a＝10，b＝12．∴a+b＝22．【点睛】本题考查数式规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键．17．观察下列各等式及验证过程：，验证；，验证；，验证．针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式_____．答案：分析：归纳总结得到一般性规律，写出结果，验证即可．【详解】解：观察下列各等式及验证过程：，验证；，验证；，验证．..．用n（n为正整数）表示的等式为：，验证等式左边＝，右边＝．故答案为：．【点睛】此题考查了实数的运算，弄清题中的规律是解本题的关键．18．观察下列等式，解答后面的问题．第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：第4个等式：……(1)请直接写出第5个等式．(2)根据上述规律猜想第n个等式（，且n为正整数），并给予证明．答案：(1)(2)且n为正整数，证明见解析分析：（1）由，且n为正整数，可得第5个等式的左边根号下的第一个数是7，第二个数的分子是1，分母是等式的右边根号外面的数是根号下的数的分子是1，分母是从而可得答案；（2）由，且n为正整数，可得等式左边根号下的第一个数是第二个数的分子是1，分母是等式的右边根号外面的数是根号下的数的分子是1，分母是从而可得规律，再利用分式的加减运算与二次根式的化简进行证明即可．（1）解：第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：第4个等式：……∴第5个等式为：（2）由（1）归纳可得：且n为正整数，证明如下：等式的左边等式的右边，∴归纳的规律正确．【点睛】本题考查的是实数的运算规律的探究，分式的加减运算，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结归纳出规律”是解本题的关键．19．【观察】请你观察下列式子．第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．第4个等式：．第5个等式：．【发现】根据你的阅读回答下列问题：(1)写出第7个等式．(2)请根据上面式子的规律填空：＝．(3)利用（2）中结论计算：．答案：(1)＝7(2)n+1(3)14分析：（1）根据规律直接写出式子即可；（2）所给是n+1个式子，根据规律即可得；（3）根据得出的结论可知，利用规律即可得．（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13，∴第7个等式为：，故答案为：；（2）解：根据材料中给出的规律可知：