高考数学大题精做专题09解析几何中的探索性问题(第五篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题09解析几何中的探索性问题类型对应典例探索是否存在圆的问题典例1探索是否存在直线的问题典例2探索是否直线过定点典例3探索条件求点典例4【典例1】【河北省“五个一”名校联盟2020届模拟】已知平面内一个动点M到定点F(3，0)的距离和它到定直线l：x=6的距离之比是常数．(1)求动点M的轨迹T的方程；(2)若直线l：x+y-3=0与轨迹T交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线与T交于C，D两点，试问A，B，C，D是否在同一个圆上?若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由．【典例2】【山东省日照市2019-2020学年高三下学期1月校际联考】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.【典例3】【2019届内蒙古鄂尔多斯西部四旗高三上学期期末联考】已知椭圆的离心率为，焦距为，直线过椭圆的左焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与轴交于点是椭圆上的两个动点,的平分线在轴上,.试判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.【典例4】【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且求抛物线的方程；动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【针对训练】1.【2020届河南省高三上学年期末】已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.2.【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试】已知O为坐标原点，椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线与椭圆C相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l：与椭圆C相交于E，D两点，使得？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！3.【2020届高三湖南长沙1月模拟考试】已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.（1）求E的方程：（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由4.【广东省广州市天河区2020届高三模拟】设椭圆的一个焦点为，且椭圆过点，为坐标原点，（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求的最大值，若不存在说明理由.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题09解析几何中的探索性问题类型对应典例探索是否存在圆的问题典例1探索是否存在直线的问题典例2探索是否直线过定点典例3探索条件求点典例4【典例1】【河北省“五个一”名校联盟2020届模拟】已知平面内一个动点M到定点F(3，0)的距离和它到定直线l：x=6的距离之比是常数．(1)求动点M的轨迹T的方程；(2)若直线l：x+y-3=0与轨迹T交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线与T交于C，D两点，试问A，B，C，D是否在同一个圆上?若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由．【思路引导】（1）按求轨迹方法，把条件用数学关系式表示，化简，即可求解；（2）先求出直线与椭圆交点坐标，再求出直线垂直平分线方程，若四点共圆，此圆以为直径，故只需证明中点与的距离是否等于.【详解】（1）设是点到直线的距离，的坐标为，由题意，所求的轨迹集合是，由此得，化简得T：；（2）将直线方程与椭圆方程联立，由，得，中点，的垂直平分线方程为，由消去得，设，则，，设线段的中点为，则，，所以，，所以四点在以为圆心，以为半径的圆上，此圆方程为.【典例2】【山东省日照市2019-2020学年高三下学期1月校际联考】在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.【思路引导】（1）把点的坐标代入椭圆方程，利用椭圆中的关系和已知，可以求出椭圆方程；（2）设直线的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线的方程.【详解】解：（1）由已知可得：解得，，，所以椭圆：.（2）由已知可得，，，∴，∵，设直线的方程为：，代入椭圆方程整理得，设，，则，，∵，∴.即，因为，，即..所以，或.又时，直线过点，不合要求，所以.故存在直线：满足题设条件.【典例3】【2019届内蒙古鄂尔多斯西部四旗高三上学期期末联考】已知椭圆的离心率为，焦距为，直线过椭圆的左焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与轴交于点是椭圆上的两个动点,的平分线在轴上,.试判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.【思路引导】(1)因为直线过椭圆的左焦点,故令,得,又因为离心率为,从而求出,又因为,求出的值,从而求出椭圆的标准方程;(2)先求出点的坐标,设直线的方程为,联立方程组,利用根与系数的关系,设,,得到,又因为的平分线在轴上,所以,从而求出的值,得到直线的方程为过定点坐标.【详解】解:(1)因为直线过椭圆的左焦点,故令,得，,解得.又,解得.∴椭圆的标准方程为:.(2)由(1)得,直线的方程为令得,,即.设直线的方程为联立方程组,消去得,设,,,则直线、的斜率,所以的平分线在轴上,,即又,,.即直线的方程为,过定点.【典例4】【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且求抛物线的方程；动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【思路引导】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得的坐标，代入抛物线方程，解得，进而得到抛物线的方程；在轴上假设存在定点其中，使得与向量共线，可得轴平分，设，，联立和，根据恒成立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得的方程，求得，可得结论．【详解】抛物线C：的焦点为，准线方程为，即有，即，则，解得，则抛物线的方程为；在x轴上假设存在定点其中，使得与向量共线，由，均为单位向量，且它们的和向量与共线，可得x轴平分，设，，联立和，得，恒成立．，设直线DA、DB的斜率分别为，，则由得，，，联立，得，故存在满足题意，综上，在x轴上存在一点，使得x轴平分，即与向量共线．【针对训练】1.【2020届河南省高三上学年期末】已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.【思路引导】（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.【详解】（1）证明：∵椭圆经过点，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，此时椭圆的离心率.（2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，.当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离.当直线的斜率存在时，设的方程为.由，得，.设，，则，.∵，∴，∴，∴，即，∴到直线的距离.综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.2.【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试】已知O为坐标原点，椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线与椭圆C相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l：与椭圆C相交于E，D两点，使得？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！【思路引导】（1）由题意列出关于a,b的关系式，解得a，b即可.（2）将直线与椭圆联立，将向量数量积的运算用坐标形式表示，利用根与系数之间的关系确定k的取值范围．【详解】（1）在中，令，得，解得.由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆相交所得的弦长）为3，得，所以.①因为直线：与椭圆相切，则.②将②代入①，得.故椭圆的标准方程为.（2）设点，.由（1）知，则直线的方程为.联立得，则恒成立.所以，，.因为，所以.即.即，得，得，即，解得；∴直线存在，且的取值范围是.3.【2020届高三湖南长沙1月模拟考试】已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.（1）求E的方程：（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由【思路引导】（1）根据椭圆离心率和过的点，得到关于，的方程组，解得，的值，从而得到椭圆的方程；（2）设存在定点，对称性可知设，根据，得到，即得，直线的方程为：与椭圆联立，得到，，从而得到和的关系式，根据对恒成立，从而得到的值.【详解】（1）因为椭圆E的离心率，所以①，点在椭圆上，所以②，由①②解得，.故E的方程为.（2）假设存在定点，使得.由对称性可知，点必在轴上，故可设.因为，所以直线与直线的倾斜角互补，因此.设直线的方程为：，，由消去，得，，所以，所以，，因为，所以，所以，即.整理得，所以，即.所以，即，对恒成立，即对恒成立，所以.所以存在定点，使得.4.【广东省广州市天河区2020届高三模拟】设椭圆的一个焦点为，且椭圆过点，为坐标原点，（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求的最大值