高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题31三角函数的最值问题求解策略(原卷版+解析)

微专题31三角函数的最值问题求解策略【方法技巧与总结】三角函数的最值问题主要涉及三角恒等变形，其主要思想是通过适当的三角变形或换元，将复杂的三角问题转化为基本三角函数或基本初等函数问题，再通过三角函数的有界性或求函数最值的方法进行处理．【题型归纳目录】题型一：恒等变形的应用，形如题型二：二次函数型，形如题型三：形如题型四：分式结构，形如【典型例题】题型一：恒等变形的应用，形如例1．(2023秋•景洪市校级期中）求函数的周期，最大值和最小值．例2．(2023秋•镇江期末）已知函数．（1）求函数的最小正周期和增区间；（2）当，时，求函数的最大值和最小值．例3．(2023•浙江模拟）已知函数的最大值为2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当，时，求的最值以及取得最值时的集合．变式1．(2023秋•六枝特区校级月考）已知函数．（1）求的最小正周期和对称轴；（2）当，时，求的最大值和最小值．变式2．已知函数，求：（1）函数的周期；（2）当为何值时函数取得最大值？最大值为多少？题型二：二次函数型，形如例4．(2023秋•梅州期末）函数的值域为A．， B．， C．， D．，例5．(2023春•衡水期中）函数的值域为A．， B．， C．， D．，例6．(2023•湖南一模）函数的值域为A．， B．， C．， D．，变式3．(2023秋•天河区校级月考）函数的最大值为A．4 B．5 C．6 D．7变式4．(2023•浙江）已知，则函数的最小值是A．1 B． C． D．变式5．(2023秋•崇川区校级期中）已知函数在时有最大值为，则实数的值为1．变式6．已知函数在，上的最大值为5，求实数的值．题型三：形如例7．(2023春•习水县校级期末）函数，，的最大值是．例8．求函数的最大值．例9．(2023春•香洲区校级期中）已知（Ⅰ）用表示的值；（Ⅱ）求函数，，的最大值和最小值．（参考公式：变式7．已知，，求函数的最大值和最小值．变式8．设，．（1）求，的关系式；（2）若，求的最大值．题型四：分式结构，形如例10．求函数的值域．例11．已知，，求函数的值域．例12．求函数，，的值域．变式9．用至少2种方法求函数的值域．变式10．（1）求值域（2）求的值域．【过关测试】一．选择题1．(2023秋•湖州期末）函数，的值域是A．， B． C． D．2．函数的值域为A．， B．， C．， D．3．(2023春•渝中区校级期中）函数的值域是A．， B．， C．， D．，4．(2023秋•武冈市校级期中）函数的最大值是A．1 B． C． D．5．(2023秋•鄂尔多斯期中）设当时，函数取得最大值，则A． B． C． D．6．(2023秋•贵阳期末）当时，函数的最小值为A．2 B． C．4 D．7．(2023秋•镜湖区校级期末）已知函数，则的最大值为A． B． C．0 D．18．(2023秋•诸暨市校级月考）已知当时，函数取到最大值，则是A．奇函数，在时取到最小值 B．偶函数，在时取到最小值 C．奇函数，在时取到最小值 D．偶函数，在时取到最小值二．填空题9．(2023春•南关区校级期中）函数，的值域是．10．(2023•江西）设，若对任意实数都有，则实数的取值范围是．11．(2023秋•南昌期末）若是函数的一条对称轴，则函数的最大值是．12．(2023秋•阆中市校级月考）函数的值域为．13．函数的最大值是．14．函数的值域是．15．(2023•湖南）若则的最小值为．16．(2023春•蚌埠期末）当时，函数的最小值为．17．(2023秋•东城区期末）已知函数，则的最大值为．18．(2023秋•台江区校级期末）当时，函数的最小值是．19．(2023秋•杭州期末）函数在，上的最大值为．三．解答题20．(2023春•石门县校级期末）已知函数，．（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间和单调递减区间；（3）当，，求值域．21．（1）求函数，，的最大值和最小值及相应的值．（2）求函数，的值域．（3）若函数，，的最小值为，求的值．22．(2023秋•南阳期中）已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数的图像关于点中心对称，求在上的值域．23．(2023春•浦东新区校级期中）已知函数．（1）求函数的最小正周期和严格递减区间；（2）若，，求函数的值域．24．(2023秋•硚口区期末）已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）求函数，的值域．25．(2023春•柳州期末）已知函数．求：（1）函数的最小正周期；（2）方程的解集；（3）当时，函数的值域．26．(2023秋•汶上县校级月考）已知函数，是常数（1）求的值（2）若函数在上的最大值与最小值之和为，求实数的值．27．(2023春•兴庆区校级期末）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间，上的值域．28．求函数的值域．微专题31三角函数的最值问题求解策略【方法技巧与总结】三角函数的最值问题主要涉及三角恒等变形，其主要思想是通过适当的三角变形或换元，将复杂的三角问题转化为基本三角函数或基本初等函数问题，再通过三角函数的有界性或求函数最值的方法进行处理．【题型归纳目录】题型一：恒等变形的应用，形如题型二：二次函数型，形如题型三：形如题型四：分式结构，形如【典型例题】题型一：恒等变形的应用，形如例1．(2023秋•景洪市校级期中）求函数的周期，最大值和最小值．【解析】解：化简可得原函数的周期为，最大值为2，最小值为例2．(2023秋•镇江期末）已知函数．（1）求函数的最小正周期和增区间；（2）当，时，求函数的最大值和最小值．【解析】解：（1），，令，，，．函数的增区间为：，，（2），时，；当即时，，当即时，．例3．(2023•浙江模拟）已知函数的最大值为2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当，时，求的最值以及取得最值时的集合．【解析】解：（Ⅰ）的最大值为2，，可得，，．（Ⅱ）当，时，，当时，即时，；当时，即时，．变式1．(2023秋•六枝特区校级月考）已知函数．（1）求的最小正周期和对称轴；（2）当，时，求的最大值和最小值．【解析】解：（1）函数；故函数的最小正周期为，令，，整理得，．故函数的对称轴方程为，．（2）由于，时，所以，故．当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为1．变式2．已知函数，求：（1）函数的周期；（2）当为何值时函数取得最大值？最大值为多少？【解析】解：（1），故；（2）令，解得：，故时，取得最大值．题型二：二次函数型，形如例4．(2023秋•梅州期末）函数的值域为A．， B．， C．， D．，【解析】解：，，，当，．当时，故函数的值域为：．故选：．例5．(2023春•衡水期中）函数的值域为A．， B．， C．， D．，【解析】解：，令，则有，，，函数的对称轴：，开口向上，当及时，函数取最值，代入可得，．故选：．例6．(2023•湖南一模）函数的值域为A．， B．， C．， D．，【解析】解：函数，当时，函数有最小值为．时，函数有最大值为1，故函数的值域为，，故选：．变式3．(2023秋•天河区校级月考）函数的最大值为A．4 B．5 C．6 D．7【解析】解：，令，，，则函数可转化为关于的二次函数，，，图象开口向下，对称轴为，所以函数在，上单调递增，所以当时，函数取得最大值为5，故选：．变式4．(2023•浙江）已知，则函数的最小值是A．1 B． C． D．【解析】解：令，则是开口向上的二次函数，对称轴为当是原函数取到最小值1故选：．变式5．(2023秋•崇川区校级期中）已知函数在时有最大值为，则实数的值为1．【解析】解：函数．①当时，函数化为：．当时，函数取得最大值，．满足题意．②当时，函数化为：，当时，函数取得最大值，可得，解得，不满足题意．③当时，，当时，函数取得最大值，此时，解得，不满足题意．④当时，时函数取得最大值，此时有，解得不满足题意．综上，．故答案为：1．变式6．已知函数在，上的最大值为5，求实数的值．【解析】解：设，，且，，则，，；，当时，，在时取到最大值5，符合题意；当时，，由抛物线性质，知：当时，，解得，不符条件，舍去；当时，若，则，，解得，不符条件，舍去；若，则，解得，不符条件，舍去；若，则，解得，不符条件，舍去；综上，只有一个解；即在，上的最大值为5时，．题型三：形如例7．(2023春•习水县校级期末）函数，，的最大值是．【解析】解：令，，，可得，，，，，，．函数，故当时，函数取得最大值为，故答案为：．例8．求函数的最大值．【解析】解：令，则，则，故，对称轴是，故当时，有最大值．例9．(2023春•香洲区校级期中）已知（Ⅰ）用表示的值；（Ⅱ）求函数，，的最大值和最小值．（参考公式：【解析】解：由，得，即，（Ⅰ）；（Ⅱ）由题设知：，，，，且，，当时，；当时，．变式7．已知，，求函数的最大值和最小值．【解析】解：函数，令，，，，，，，，，又，，，对称轴：，区间，在对称轴的右边，为递增区间．，．变式8．设，．（1）求，的关系式；（2）若，求的最大值．【解析】解：（1），；（2）由（1），，．，时，的最大值为．题型四：分式结构，形如例10．求函数的值域．【解析】解：由．当时，，当时，．函数的值域为．例11．已知，，求函数的值域．【解析】解：，，，其中，，，，，解得即函数的值域为，．例12．求函数，，的值域．【解析】解：函数，，可得，，，．变式9．用至少2种方法求函数的值域．【解析】解：方法，，，，，解得，函数的值域为：．方法，令，则，当时，，当时，，，．函数的值域为：．故答案为：．变式10．（1）求值域（2）求的值域．【解析】解：（1）由可得，，由于，即为，即，解得或，则值域为，，；（2），，即，，，又，，解得，即函数的值域是，．【过关测试】一．选择题1．(2023秋•湖州期末）函数，的值域是A．， B． C． D．【解析】解：函数．．故选：．2．函数的值域为A．， B．， C．， D．【解析】解：函数的值域为，，故选：．3．(2023春•渝中区校级期中）函数的值域是A．， B．， C．， D．，【解析】解：令，则，，，由二次函数性质，当时，取得最小值．当时，取得最大值3，，故选：．4．(2023秋•武冈市校级期中）函数的最大值是A．1 B． C． D．【解析】解：，令，，，，，则原函数化为，其对称轴方程为，当时，有最大值为1．故选：．5．(2023秋•鄂尔多斯期中）设当时，函数取得最大值，则A． B． C． D．【解析】解：由题意可得，．再结合，求得，，故选：．6．(2023秋•贵阳期末）当时，函数的最小值为A．2 B． C．4 D．【解析】解：当时，，函数，当且仅当时，取等号，故的最小值为4，故选：．7．(2023秋•镜湖区校级期末）已知函数，则的最大值为A． B． C．0 D．1【解析】解：，令，，，则，由对勾函数的性质可知在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，时，，所以函数的最大值为1．故选：．8．(2023秋•诸暨市校级月考）已知当时，函数取到最大值，则是A．奇函数，在时取到最小值 B．偶函数，在时取到最小值 C．奇函数，在时取到最小值 D．偶函数，在时取到最小值【解析】解：由于当时，函数取到最大值，故，解得，故，所以，故函数为偶函数，在时，函数取得最小值．故选：．二．填空题9．(2023春•南关区校级期中）函数，的值域是．【解析】解：函数，，，，故函数的值域为，故答案为．10．(2023•江西）设，若对任意实数都有，则实数的取值范围是．【解析】解：不等式对任意实数恒成立，令，则．．即实数的取值范围是故答案为：．11．(2023秋•南昌期末）若是函数的一条对称轴，则函数的最大值是．【解析】解：（其中，又是函数的一条对称轴，，即，．由，得．函数的最大值是．故答案为：．12．(2023秋•阆中市校级月考）函数的值域为．【解析】解：，，当时，，故函数的最小值为，当时，最大为，故函数的最小值为，的值域为，．故答案为：，．13．函数的最大值是．【解析】解：函数，设，则，；，，，当，时，函数单调递增；时，取得最大值是．故答案为：．14．函数的值域是．【解析】解：由得，，，，解得故答案为：，．15．(2023•湖南）若则的最小值为．【解析】解：，，（当且仅当时，等号成立）故答案为：．16．(2023春•蚌埠期末）当时，函数的最小值为．【解析】解：当且仅当时等号成立．故答案为：417．(2023秋•东城区期末）已知函数，则的最大值为．【解析】解：函数，的最大值为2，故答案为：2．18．(2023秋•台江区校级期末）当时，函数的最小值是．【解析】解：．当时，，，．19．(2023秋•杭州期末）函数在，上的最大值为．【解析】解：，，，，，，函数在，上的最大值为，故答案为：．三．解答题20．(2023春•石门县校级期末）已知函数，．（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间和单调递减区间；（3）当，，求值域．【解析】解：（1）由解析式得，则函数的最小正周期．（2）由，，得，，即，，即函数的单调递增区间为，，，由，，得，，即函数的单调递减区间为，，．（3）当，时，，，，，则当时，函数取得最大值，此时，当时，函数取得最小值，此时，即值域为，．21．（1）求函数，，的最大值和最小值及相应的值．（2）求函数，的值域．（3）若函数，，的最小值为，求的值．【解析】解：（1），，，，，当时取最小值，最小值为，即，时取最大值，最大值为5，即，时，取最小值为，时，取最大值为5；（2），，令，，，，，，由二次函数图象可知，对称轴为1，在定义域，上单调递增，的值域为，，函数，的值域，；（3），，，，，，令，，，，，，由二次函数性质可知：，当对称轴，即时，最小值为（1），，不成立，当，，当取最小值，．22．(2023秋•南阳期中）已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数的图像关于点中心对称，求在上的值域．【解析】解：（1），即，令