2022-2023学年广东省深圳市某中学高二年级上册期中数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省深圳市高二上学期期中数学试题

一、单选题

1.复数上的虚部是()

1-1

A.；B.1C.iiD.i

A

【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可得虚部.

【详解】〒7十?’故虚部为"

故选：A

2.直线而r+&y-l=O的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

C

【分析】化成斜截式方程得斜率为A=-6，进而根据斜率与倾斜角的关系求解即可.

【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：>=一年+冬

所以直线的斜率为上=-6，

所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120。.

故选：C

3.已知某圆锥的底面圆半径为5,它的高与母线长的和为25,则该圆锥的侧面积为()

A.15兀B.207rC.607rD.65万

D

【分析】根据圆锥轴截面的性质直接计算其母线，进而可得侧面积.

【详解】设该圆锥的母线长为/,则它的高为25-1,

由『_(25-/)2=52,解得/=13,

所以该圆锥的侧面积为兀rl=657，

故选：D.

4.已知5为不共线的非零向量，AB=a+5h,BC=-2a+Sh,CD=3a-3b>贝U()

A.A,B,C三点共线B.A,B,。三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

B

【分析】根据给定条件，求出而，/，再利用共线向量逐项判断作答.

【详解】B为不共线的非零向量，AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3a-3b，

则丽=及+函=£+5B，AC=AB+BC=-a+\3b,

因々大：，则通与能不共线，A,B,C三点不共线，A不正确；

-2o

因通=而，即丽与丽共线，且有公共点8,则A,B,。三点共线，B正确;

因三，则初与前不共线，B,C,。三点不共线，C不正确；

3—3

-113

因一力一，则衣与丽不共线，A,C,。三点不共线，D不正确•

3-J

故选：B

5.已知：空间四边形ABC。如图所示，E、尸分别是AB、AO的中点，G、，分别是8C、CO上的

点，且CG=：8C,CH=^DC,则直线尸，与直线EG()

A.平行B.相交C.异面D.垂直

B

由已知EF为三角形/WD的中位线，从而EF//BD且EF=；BD,由CG=gsC.C”=：£>C,得在四边

形EfHG中，EF//HG,即E,F,G,H四点共面，且EFHHG,由此能得出结论.

【详解】如图所示，连接EEGH.

••・四边形ABCD是空间四边形，E、F分别是48、A。的中点,

EF为三角形ABD的中位线

:.EFHBD^.EF=-BD

2

XvCG=-BC.CH=-DC,

33

.FCHG^ACDB,且HG//BD,HG=；BD

二在四边形EfHG中，EF//HG

即E,F,G,"四点共面，且

四边形EFGH是梯形，

，直线FH与直线EG相交，

故选：B

方法点睛：证明两直线相交，首先要证明两直线共面，再证明它们不平行.所以本题先证明E,F,

G,”四点共面，再证明直线可与直线EG不平行.

6.记“LBC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,已知B=Ic=66,且"WC有两解，则人

6

的值可能是（）

A.36B.4石C.6百D.7G

B

【分析】根据已知条件，结合"1BC有两解，作出示意图，确定3百<8<66,可得答案.

【详解】作4，作ADJ■区W于。点，则A£）=csinB=3G，

因为“LBC有两解，故以A为圆心，以人为半径作圆弧，需交于两点，即为点C,

所以3G<6<66,符合条件的是46，

故选：B

7.如图，在正方体A8CO-A4GR中，E是棱CG的中点，尸是侧面BCC4内的动点，且与

平面RAE的垂线垂直，则下列说法不正确的是（）

A.4尸与RE不可能平行

B.4尸与5E是异面直线

C.点F的轨迹是一条线段

D.三棱锥F-A3。的体积为定值

A

【分析】设平面RAE与直线3C交于G,连接AG,EG,则G为3c的中点，分别取用8,qG的

中点M,N,连接AM,MN,AN,证明平面AMN//平面2AE,即可分析选项ABC的正误；

再由MN//EG,得点尸到平面RAE的距离为定值，可得三棱锥尸-A3。的体积为定值判断D.

【详解】解：设平面AAE与直线BC交于G,连接AG,EG,

则G为BC的中点，分别取8田，B£的中点M,N,

连接AM,MN,AN,

•：A.MHDiE,4例区平面。仙£,"^(::平面0①后,

/.\MU平面RAE,同理可得MNH平面DtAE,

又4时、MN是平面AMN内的两条相交直线,

，平面AMN〃平面RAE,而A.F〃平面AAE,AFu平面AMN,

得点尸的轨迹为一条线段，故C正确；

并由此可知，当F与M重合时，A尸与RE平行，故A错误；

:平面AMN〃平面RAE,8E和平RAE交，二4万与BE是异面直线，故B正确；

VMN//EG,则点尸到平面。仙E的距离为定值，.•.三棱锥尸-ABQ的体积为定值，故D正确.

故选：A.

8.若对圆（x—iy+（y—1）、1上任意一点P（x,y）,由-4），+4+辰-今一9|的取值与羽y无关，则

实数a的取值范围是（）

A.a<4B.-4<a<6C.或D.a>6

D

【分析】利用几何意义得到要想|3x-4y+a|+版-4y-9|的取值要想与x,y无关，只需圆

（》-1）2+（丫-1）2=1位于直线3工-4〉+。=0与3》-4），-9=0之间，利用点到直线距离公式列出不等

式，求出aWT或“26,通过检验舍去不合要求的解集.

［详解】"丁，'+4+"丁'T可看作点p（x,y）到直线3x—4y+a=0与3x-4y-9=0的距离之

V9+16V9+16

和，

要想|3x-4y+a|+|3x-4），-9］的取值与x,y无关,

只需圆（x_l）2+（y—l）2=l位于直线3x_4y+a=0与3x_4y_9=0之间，

所以圆心（1,1）到3x-4y+a=0的距离大于等于半径，

|3-4+

BP.S1,解得；aW•或。26,

V9+16

当aWT时，3x-4y+a=0与3x—4y—9=0位于圆心的同一侧，不合要求，舍去；

当aN6时，3x-4y+a=0与3x-4y-9=0位于圆心的两侧，满足题意.

故选：D

二、多选题

9.已知椭圆C：16/+4丁=1,则下列结论正确的是（）

A.长轴长为JB.焦距为把

24

C.焦点坐标为：o,±-jD.离心率为乎

CD

X2y^__

先化简椭圆方程为标准方程了+了=1再求出椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标和离心率得解.

164

【详解】由椭圆方程1+4/=1化为标准方程可得[十丁一，

164

所以a=Lb=—,c=—>

244

所以长轴长为2a=1,焦距2c=g焦点坐标为（0,土g],

短轴长为费=（，离心率e=£=3.

2a2

故选：CD

10.已知方程/+产―"+2.+2/+〃-1=0,则下列选项中”的值能满足方程表示圆的有（）

A.-1B.0C.1D.-2

ABC

【分析】将圆的方程化为标准方程卜-费+（y+of=1-。一%,则1—"%>0,解得即可得出

答案.

【详解】解：x2+/-ar+2«>'+2a2+a-l=0,即方程1―卷）+（尸4=--#方程表示圆的

条件是l-a-Y>0，即-2<"弓.所以选项A,B,C能表示圆，选项D表示一个点，不能表示

43

圆.

故选：ABC.

11.衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一

道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心。距离水面2米，水轮每60秒按逆时针

转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中玲）开始计时，则（）

p

......

A.点P第一次达到最高点，需要20秒

B.当水轮转动155秒时，点尸距离水面2米

C.在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点尸距水面超过2米

D.点P距离水面的高度〃(米)与"秒)的函数解析式为万=4$/9-4+2

<306)

ABD

【分析】先根据题意求出点P距离水面的高度”(米)与/(秒)的函数解析式，再从解析式出发求

解ABC选项.

【详解】如图所示，过点。作。C,水面于点C,作。4平行于水面交圆于点A,过点尸作P8L0A

于点B,则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为刍=三(rad/s),且点P从水

6030

7T

中浮现时(图中《)开始计时，f(秒)后，可知又水轮半径为4米，水轮中心。距

7T7T7T

离水面2米，即OC=2m,O《=4m,所以NO4C=NAO?==,所以=因为。尸=4m,

6306

所以PB=4sin仔r-，］,故6=4sin依r-11+2,D选项正确；

1306J1306J

点P第一次达到最高点，此时sin(9/—4=1,令占=解得：/=20(s),A正确；

oJ3()62

令4sin仁/—工+2=2,解得：r=5+3(R,keZ,当人=5时，f=155(s),B选项正确；

(3。oJ

但T1+2>2,令0<白_£<兀，解得：5</<35,故有30s的时间点尸距水面超过2米,

13UoJ3()6

12.已知正四棱柱ABCO-ABCQI，43=2,点"为CG点的中点，点P为底面

上的动点，下列四个结论中正确的为()

A.当〃=石且点P位于底面AACQi的中心时，四棱锥P-A3CD外接球的表面积为亍

B.当a=2时，存在点P满足以+PM=4

C.当”=2时，存在唯一的点P满足NAPM=90。

D.当a=2时，满足8P_LAM的点尸的轨迹长度为近

ACD

【分析】根据给定条件，结合球的截面小圆性质求出球半径计算判断A；建立空间直角坐标系，利

用空间向量计算判断B,C,D作答.

【详解】在正四棱柱ABCO-ABCR中，取底面A8C。的中心”，即四边形ABC。外接圆圆心，连

接PH,BH,如图，

四棱锥P-43co是正四棱锥，P4_L底面ABC£),PH=6,BH=6,

显然四棱锥P-ABCD的外接球球心0在直线PH上，连80,令球半径为R,则0H=|R-&|,

由80?=O42+B"2得：片=(R-业2+(历,解得R=^.,

所以四棱锥P-45CD外接球的表面积为5=4万/?2=专，A正确；

在正四棱柱ABCO-4耳G"中，以点4为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，当。=2时，

Xf

则A(0,0,2),8(2,0,2),"(2,2』)，延长MG至点M',使CM="G=1,

连接AM，交底面ASG2于点尸'，连接PM,P'",PM’,则点”(2,2,-1),

因MM」平面A/CQ，则线段W被平面ABIGR垂直平分，即有PM=PA7,PM=PM',

PA+PM=PA+PM'>AM'=AP+P,M'=AP'+P'M,当且仅当点尸与P'重合时取等号，

因此(PA+PM)1rtli=AM'=，22+22+32=标>4,B不正确；

设尸(x,y,0),0<x<2,0<y<2,

AP=(x,y,-2),讲=(x-2,y-2,-1),丽=(x-2,y,-2),而=(2,2,-1),

因而・；wA=x(x-2)+y(y—2)+2=(x-l)2+(y-l)2,则当且仅当x=l,y=1,即点P(l,l,0)时，

丽•痔=0成立，

所以存在唯一的点尸满足NAPM=90。，C正确；

当时，BPAM=2x+2y-2=0,即x+y=l,而x20,yW。，

因此点尸的轨迹是以点(1,0,0)与点(。,1,0)为端点的线段，其长度为正，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13.已知同=4,忖=3,ab=-6,则］与万所成的夹角大小是.

-##-?!##120°

33

【分析】根据向量夹角公式，由题中条件，即可直接求解.

【详解】因为同=4,忖=3,&出=-6,记1与5所成的夹角为。，

ca2b61

所以3"丽=乃="，

因此，=4.

故答案为.2奇万

14.空间向量但=(1,1,1)3=(1,0,1),1=(1,2,⑼,若三个向量量瓦白共面,则实数加的值为

【分析】利用空间向量共面定理即得.

【详解】因为三个向量。，反E共面,

可设万=+〃},BP(1,1,1)=4(1,0,1)+〃(L2,m),

1=2+//

・，・＜1=2〃,

1=几+相〃

解得4=〃=;,相=1.

故1.

15.在四面体尸-ABC中，PCJ_平面ABC,PA=PB=5,PC=4,AB=3无，则四面体P-ABC

外接球的表面积为.

347c

【分析】根据线面垂直的性质定理及勾股定理，结合长方体的体对角线为外接球的直径，求出半径,

再利用球的表面积公式即可求解.

【详解】如图所示，

PC_L平面ABC,PA=PB=5,PC=4,由勾股定理得，AC=BC=3,

又A8=3&,得AC?+BC?=AB?,则AC13C.

设外接球的半径为R,则（2R）2=PC2+AC2+BC2=42+32+32=34,解得R=理，

所以外接球的表面积为S=4TC7?2=34兀.

故34兀

22

16.山工是柳圆6£+3=1（〃＞匕＞0）的左、右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，

满足N4MV=NKA/N=60。，若3而+5瓶及=如丽,则椭圆E的离心率为.

7

-##0.875

8

【分析】根据给定条件，结合向量加法的平行四边形法则确定IM片I与1胡乙1的关系，再利用椭圆定

义结合余弦定理求解作答.

【详解】由3砥+5近=/1丽得：以3砥、5而冗为一组邻边的平行四边形的以点M为起点的对

角线对应的向量与砺共线，

由NKMN=Nf；MN=60。知，MN平分NF\MF”因此这个平行四边形是菱形，有3|加片|=51M行|,

53

又|M6l+|MEh=2a,于是得|吟|=]〃,|加工|=14,令椭圆E的半焦距为c,

在△片M8中，/44%=120。,由余弦定理得:\F,F^=\MF^+\MF^ZF,MF,

2-2\MFX^MF2\COS2

即402=(；<7)2+《4)2+_|夕14=学4;:,贝!]有e?=：=竺，品箪得e=(,

444416a2648

7

所以椭圆E的离心率为

O

四、解答题

17.求经过点A(-2,G)和点B(l,2@的椭圆的标准方程.

【分析】根据给定条件，设出椭圆的方程，利用待定系数法计算作答.

【详解】设椭圆的方程为：nvc+ny2=l(m>0,〃>0,机#〃)，因该椭圆经过点9-2,句和B(l,26),

4m+3H=111x22

于是得m+⑵=1,解得"§，〃=百'即有二+rv=1，

所以椭圆的标准方程为.蒋+：=1

18.已知圆0:/+(、_])2=5,直线/:如—>+]_〃?=0

(1)求证：对〃2£/?,直线/与圆C总有两个不同的交点；

(2)若直线/与圆。交于两点，当|A8|二J万时，求加的值.

(1)略

(2)m=±5/3

【详解】试题分析：

(1)先证明直线/恒过定点尸(U),再证明点P在圆。内即可.(2)将直线方程与圆方程联立消元

后得到一个二次方程，运用根据系数的关系及弦长公式求得机=±G,进而得到直线/的倾斜角为3

2乃

或P—

-乂3.

试题解析:

（1）证明：直线/的方程可化为y-l=〃?（x-1）,

fx-l=Ofx=l

令1n'解得,•

ly-l=O［y=l

•••直线/恒过定点P（U）.

V|PC|=l<>/5,

...点尸在圆C内，

直线/与圆C总有两个不同的交点.

⑵由］1+（k1）=5'消去y整理得

iwc-y+l-m=O,

（机2+1）%2-2m2工+机2-5=0,

22

显然△=（—2加2）2-4（/n+l）（m-5）=4（4裙+5）>0.

设4（%,3）3（%2，%），

则为,々是一元二次方程的两个实根，

.2m2m2—5

•,占+%=-T—；，*W=，

m4-1m+1

2

,**\AB\=yj\+m|Xj-x2\=J（1+M）［（X］+々）2-4%々］'

:.历二■等,

1+〃7

解得加2=3,

：.m=±^3,即直线/的斜率为±6

直线/的倾斜角为？或富.

点睛：圆的弦长的求法

⑴几何法：设圆的半径为『，弦心距为d,弦长为/,则（夕=尸-八

y=kx-^m

⑵代数法：设直线与圆相交于&X“X）,832,%）两点，由方程组/\212消y后得到

（x-a）+［y-b）=r,

关于x的一元二次方程，从而求得不+%,西々，则弦长为

|，（1+炉）［（芭+王尸-4x㈤伙为直线斜率）.在代数法中，由于涉及到大量的计算，所以在解题中

要注意计算的准确性，同时也要注意整体代换的运用，以减少运算量.

19.如图，四棱锥尸中，底面ABC3为边长为2的菱形且对角线AC与8。交于点0,

ND4B=60°,PO_L底面48C。，点E是PC的中点.

A

⑴求证：AP〃平面应出；

(2)若三棱锥P-%见的体积为白，求OP的长.

(1)证明见解析

⑵OP=6

【分析】(1)由中位线证得EO〃AP,即可证得AP〃平面BDE；

(2)取OC中点F,证得平面A8C。，再由％一皿=%.皿=%一皿结合棱锥的体积公式即可求解.

【详解】(1)证明：连接OE.

•.•点。，E分别为AC,CP的中点，EO〃AP,；OEu平面平面BOE,〃平面

BDE；

(2)取OC中点F,连接EF.

E

为PC中点，，£尸为△POC的中位线，EF〃QP,且=由菱形的性质知，ABCD

为边长为2的等边三角形.

又。尸，平面ABC。，平面ABC。，S48=；x2xG=6,点E是PC的中点，

X

VfDE=Vc-BDE~VE-BCD=3乂3后=6'。尸=6.

22

20.dBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A为锐角，sinB—cosC=U二二.

(1)求A；

(2)^b=—c,且BC边上的高为2石，求AABC的面积.

(1)—;(2)7>/3.

6

【分析】(1)先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得A;

(2)由余弦定理用c表示。，然后把三角形的面积用两种方法表示求得c,从而可计算出面积.

2_2

【详解】(1)由sinB-cosC=^——得2"sin8-2abcosC=c2

2ab

由余弦定理得2absinB+c2-a2-b2=c^-a2>所以2nsin3=〃，

由正弦定理得2sinAsin8=sin8,8是三角形内角，sinB0,

JT

所以sinA=1又A为锐角，所以A=f.

26

(2)由(1)a2=b2+c2-2bccosA=—c2+c2-2x—c-c-cos—=~~^»a=^-c，

1646164

所以S/^ABC=!〃csinA=!〃x26,即正c?x-=-x—cx2>/3，c=4>/7,

2224224

b=^-c=V2T,

4

思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式.利用正弦定理和余弦定理进行边角互

化是解题关键.三角形的面积采取了二次计算，通过不同的计算方法得出等式，从而求解.这是一

种解题技巧.

21.如图，半圆所在的平面与矩形所在平面ABCO垂直，P是半圆弧上一点(端点除外)，A。是半

圆的直径，AB=i,4)=2.

(1)求证：平面附8_L平面PDC；

(2)是否存在尸点，使得二面角的正弦值为正？若存在，求四棱锥P-ABCO的体积；若不

2

存在，说明理由，

(1)证明见解析

*

【分析】(1)根据矩形性质和面面垂直性质定理可证CO_L平面AOP,结合直径所对圆周角为直角

可证API平面PDC,然后由面面垂直判定定理可证；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法可得二面角B-PC-。为正弦值为且时点尸坐标，然后计算

2

可得体积.

【详解】(1)在矩形48。中，CDLAD,

又平面A58/平面ADP,平面ABCDC平面ADP=A£>,CDu平面ABCD,

所以，C£>_L平面ADP,

又APu平面ADP,所以C£)_LAP,

P是为直径的半圆上一点，所以小,"，

又CDCDP=P,CD,OPu平面PDC,

所以，API平面尸DC,

又APu平面则平面R4B_L平面?DC

(2)取BC中点E,以AO的中点O为坐标原点，为x轴，OE为了轴建立如图所示空间直角坐

标系，由平面ABCD1平面AOP可知，半圆在平面xOz平面内，设P(a,0,6),

则a2+h2=l,b>0,又A(1,O,O),B(1,1,O),C(-1,1,0),£>(-1,0,0),

由(1)可知，平面POC的一个法向量为而,Q=(a-1,0,8),

设平面PBC的法向量为为=(x,y,z),又丽=(a_l,-l,b),BC=(-2,0,0),

BP-n=(a-\)x-y+bz=0„

则〈—.，取z=l,贝=

Z?Cw=-2x=0

设二面角B-PC-。的大小为。,

|cosa|=|cos(AP,@|=h

,(a-if+b~\Jb"+i

A\_____

若sina=/-,则|cosa|=],又b=\!l-a1，

4i-a2+a1

所以，=