人教A版（2019）必修第二册必杀技第6章2正弦定理、余弦定理的应用（含答案解析）

人教A版（2019）必修第二册必杀技第6章专题2正弦定理、

余弦定理的应用

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

一2TC

222

1.在/SABC中，内角A,5,C所对的边分别是a,b,c.若c+2ab=a+b+6JC=,

则AABC的面积是

A.3B.空C.也D.3y/3

22

2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=l,B=45°,SAABC=2,则

△ABC的外接圆的直径为（）

A.5B.4&C_5A/2D.642

3.在AABC中，角4氏C所对的边分别为a,dc,S表示AABC的面积，若

ccosB+bcosC=asinA,s=^-（b2+a2-c2^,则ZB=

A.90°B.60°C.45°D.30°

4.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c-acos3=（2a->）cosA,

则AABC为

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

5.AABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，6,C.①若A>8,贝。sinA>sin3；②

若sin2A=sin25,贝!j△ABC一定为等腰三角形；③若acos区-。cosA=c,则△ABC一

定为直角三角形；④若B=（a=2,且该三角形有两解，则b的范围是（代，+8）.

以上结论中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.在AMC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=4,6=7,8C边上的中

7

线AD的长为则边长〃=（）

9

A.3B.4C.-D.9

4

7.已知AABC是等腰直角三角形，点O在线段5C的延长线上，若BC=AD=2直,则

CD=

A.1B.叵C.^6—A/3D.V6-V2

8.在AABC中，角A,B,C的对边分别是〃,6,c,^bcosA+acosB=c2,a=b=2,

则AABC的周长为

A.5B.6C.7D.7.5

9.如图，为测量A,C两点间的距离，选取同一平面上的B,D两点，测出四边形ABCD各

边的长度（单位:km）分别为AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,若A,B,C,D四点共圆，

则AC的长为

A

A.5kmB.6kmC.7kmD.8km

二、填空题

10.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，6,J若°=,cosB=&cosC，

a=若，贝！JS〃BC=.

11.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，6,c若$皿4与118=应:1,

c2=b2+yf2bc，则三个内角A,B,C的度数依次是.

12.如图AABC中，已知点。在BC边上，ADYAC,sinZBAC==^,AB=3五,

3

AD=3,则3。的长为

13.三角形ABC中，。是边上一点，ZBAD=ZDAC=60°,BC=1,且三角形AB£>

与三角形ADC面积之比为:，则AD=.

14.如图，测量河对岸的塔高A8时,可以选与塔底8在同一水平面内的两个测点C与。，

现测得/BCD=75。，NBDC=45°,CD=500米，并在点C测得塔顶A的仰角为30。，

则塔高至=米・

试卷第2页，总4页

15.如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C,测得塔顶的仰角为凡由C向

塔前进30米后到点。，测得塔顶的仰角为2。，再由。向塔前进10店米后到点E后，

16.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15。，与灯塔S相距20海里，随

后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45。，则

货轮的速度为海里/时.

17.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗

产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径（即4

8两点间的距离），现取两点C,D,测得CO=80,ZADB=135°,ZBDC=ZDCA=

15°,ZACB=120°,则图中海洋蓝洞的口径为.

TT

18.在R/AABC中，。=不，且角A,B,C所对的边a,dc满足a+Z?=cx,则实数尤的取

2

值范围是—.

19.在AABC中，若2=（，AC=g,则AB+2BC的最大值为.

77_

20.如图，在AASC中，AC=5C,/C=',点。是AABC外一点，OA=2,03=1,

则平面四边形Q4CB面积的最大值是.

三、解答题

21.如图，在四边形ABCD中，已知NADC=75。,短》=5,AB=7,ZBDA=60°,

ZBCD=135°.

(1)求80的长；

(2)求8的长.

22.如图，在AABC中，AB=2,cosB=1,点。在线段BC上.

(1)若BD=2DC,AACD的面积为g及，求边AC的长；

2兀

(2)若NADC=y,求三角形配的面积与

23.设AABC的内角A,B,C所对的边分别为。，匕，c,且acosC-gc=6.

(1)求角A的大小；

(2)若"=3,求AABC的周长的取值范围

24.已知AABC的三个内角A,B,C的对边分别为。，b,c,若

cos2A+cos2C-cos2B=l-sinAsinC.

(1)求角5的大小；

(2)若b=6，求2a+c的最大值.

试卷第4页，总4页

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参考答案

1.C

【分析】

根据c?+2•=/+》2+6,C=y,结合余弦定理可得"，再利用三角形面积计算公式即

可得出结果.

【详解】

由+2ab="++6,可得。2=/+>2_2ab+6，

由余弦定理H="+〃2一2abeOSC=Q2+〃2，

a?+Z?2—2ab+6=a2+Z??+cib,

ab=2,

则^/Z\AADBC=_2ctbsinC=2,故选C.

【点睛】

本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式:

2,2,„2_2

(1)a2^b2+c2-2bccosA;(2)cosA=0+C,同时还要熟练掌握运用两种形式的

2bc

条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30。,45。,60。等特殊角的三

角函数值，以便在解题中直接应用.

2.C

【解析】

分析：由三角形面积公式可得。，再由余弦定理可得匕，最后结合正弦定理即可得结果.

详解：根据三角形面积公式得，；」csin45o=2,得c=40,则廿=/+c2-2accos8=25,

2氏=三=5人

即6=5,变,故正确答案为C.

点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半

径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：

1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的

对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.

3.D

【分析】

答案第1页，总15页

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由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA=l,即A=90°,由余弦定理、

三角形面积公式可求角C,从而得到B的值.

【详解】

由正弦定理及ccosB+bcosC=asinA,得sinCcosB+sinBcosC=sin2A,

nsin(C+B)=sin2AnsinA=l,因为0。<A<180°,所以A=90°；

由余弦定理、三角形面积公式及5=也俨+〃2—，)，得LbsinC=3.2次osC,

41724

整理得tanC=7^,又0°<(7<90°,所以。=60°,故8=30°.

故选D

【点睛】

本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考

查计算能力和转化思想，属于中档题.

4.D

【详解】

余弦定理得cosA=f2+f-fl2,cosB=代入原式得

2bclac

c1-a1+b1_c1+b2-a2c2+b2-a2c1-a1+b2c2+b2-a2

--------------=2a-------------------------------------------------=---------------

2c2bc2c'lac2bc

解得a=b或/—/+次_Q

则形状为等腰或直角三角形，选D.

点睛：判断三角形形状的方法

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要

注意应用A+5+C=TI这个结论.

5.B

【分析】

由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误,

用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误.

【详解】

①由正弦定理及大边对大角可知①正确；

答案第2页，总15页

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TT

②可得A=5或4+5=5，△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；

③由正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC,

结合sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA

可知cosAsinB=0,因为sin3w0,所以cosA=0,

因为0<A<»,所以A=],因此③正确；

④由正弦定理—=—2—得b=竺@0=正，

sinAsinBsinAsinA

因为三角形有两解，所以看=

所以sinAe[#』），即此（石,2）,故④错误.

故选：B

【点睛】

本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技

巧,属于中档题.

6.D

【分析】

设CD=x,然后分别在三角形AACD和中用余弦定理算出cosC,然后利用他们相等

即可求出了,即可得到边长。

【详解】

如图，：AD是2C边上的中线，

：.^CD=DB=x,贝|CB=a=2x.

：c=4*=7,AD=L,在AACD中，八7+厂一（5）.

2cosC=------------

2x7xx

222

在人“小7+（2X）-4

在^ABC中,cosC=-------——-------，

2x7x2%

2

49+r--029

・・.矽十%4_49+4X-16,解得X==.

一/.

14x28%一

a=2x=9

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【点睛】

本题考查的是用余弦定理来解三角形，要善于观察图形当中角的关系，从而建立方程求解.

7.D

【分析】

画出图形，运用余弦定理求出C£）的长

【详解】

AB

由图可得NACD=135o,A,。=2

.-.COS1350=CD2+4-8=变

4C£)2，

CD2+2s/2CD-4=0,

解得cr>="-后或cr)=-布-母（舍去）

故选D

【点睛】

本题主要考查了运用余弦定理解三角形,画出图形后即可计算出结果，较为基础

8.A

【详解】

h24.r2-a1序12_72

由题意得，由余弦定理,得6Ta°Gm，即AABC的周长为5,

2bclac

故选A.

9.C

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【分析】

利用余弦定理，结合/8+/。=兀，即可求出AC的长.

【详解】

VA,B、C、。四点共圆，圆内接四边形的对角和为兀.

/B+/D=n,

：.由余弦定理可得AC2=52+32-2・5・3・cosO=34-30cos£>,

AC^—S^S2-2«5,8«cosB=89-80cos8,

ZB+Z£）=7i,即cosB=-cosD,

.34-AC289-AC2

••----------------------------9

3080

，可解得AC=7.

故选C

【点睛】

本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键，属于基本知识的考查.

10.比

2

【分析】

先根据余弦定理得"+02=",再根据直角三角形求结果.

【详解】

因为cos8=0cosC，所以片+-2/=后（/+/田,结合0=后

laclab

化简得a=®,从而有62+02=",即在AABC为直角三角形，

将°=也'6，。=6代入Z??+c?=a?,得6=1,于是c=0\所以5AAsc=）be=

【点睛】

解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化

边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

11.45°,30°,105°.

【分析】

由sinA:sinB=A/^:l可得。=06，用余弦定理结合c?=尸+"7c可求出进而可

求出A,B,C

答案第5页，总15页

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【详解】

由题意及正弦定理，得〃=

22

由余弦定理/=b2+/-2》CCOSA,得2)2=Z?+c—2bccosA.

又•：#=及+®c，/.cosA=^.V00<A<180°,/.A=45°.

..1

..sinBR=—.

2

VB<A,0°<B<135°,；.3=30°,AC=105°.

故答案为：45°,30°,105°

【点睛】

本题考查的是正余弦定理的知识，较简单.

12.73

【分析】

通过诱导公式易知cosN3AO=述，利用余弦定理计算即得结论.

3

【详解】

解：-.-AD1AC,:.ZDAC=90°,

sinABAC=sin(ZBA£>+90°)=cosABAD=,

又,：AB=3屈,AD=3,

BD?=AB2+AD2-2AB.ADcosABAD

=18+9-2x3&x3x^^

3

=3,

BD=6,

故答案为：y/3.

【点睛】

本题考查求三角形中某条线段的长度，利用三角函数的诱导公式、余弦定理是解决本题

的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.

13.—

8

【解析】

答案第6页，总15页

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分析：AD为的C的平分线，从而*=整=[,根据余弦定理可得到

13

AB2+AC2+ABAC=49,两者结合可解出A8=5,AC=3并求出COSB"”，在AABD中，

14

由余弦定理可求出AD的长度.

详解：因为AD为44c的平分线，故当=黑=；.

XAB2+AC2-a^OOC49°=,AB2+AC2+ABAC=49,

所以A3=5,AC=3,故上.

2BAxBC14

17?S351377515

又A。？=AB2+BD--2.BAxBDcosB=25+--------2x5x—x—=—,故AZ）=—.

64814648

填”.

8

点睛：（1）在AABC中，若AD为N&4C的平分线（。为BC上一点），则有与=黑；

ziCz

（2）在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通

分散在不同三角形的几何量.

100

14.

【分析】

△BCD中,由三角形内角和定理求出NCB£>=60。，利用正弦定理求得BC的值，在直角AABC

中求出A8的值.

【详解】

因为ZBCD=75°,ZBDC=45°,

所以/C3£>=60。，

CDBC

在ABCD中，根据正弦定理可知

sinZCBD-sinZBDC

日n50A/2BC,解得8C=詈,

即-----------=-----------

sin60°sin45

tan30嘤

在直角44BC中,

„=翠x旦吗

V333

所以塔高42=寸（米）.故答案为刀.

【点睛】

本题主要考查正弦定理的实际应用，以及直角三角形的边角关系应用问题，是基础题.正弦

答案第7页，总15页

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定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一

边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对

边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

15.15

【分析】

在三角形PDE中由余弦定理得cos20=无，可求出4。=£,最后在放APE4中，即可求解，

得到答案.

【详解】

由题意，因为NCPD=NEDP-NDCP=29-。=9,：.PD=CD=30,

ZDPE=ZAEP-NEDP=40-20=20,：.PE=DE=W日

在三角形PDE中由余弦定理得cos26=+-PE?=*(1叫一(1叫=走,

2PDDE2x30x10百2

：.20=-,：.40=-,

63

PALG

sin40=—,PA=尸片•sin46=10近x=15.

故答案为15米.

本题主要考查了正、余弦定理解三角形的实际应用问题,其中解答中根据图形，在APDE中，

合理应用正弦定理、余弦定理，以及直角三角形的性质求解是解答的关键，着重考查了分析

问题和解答问题的能力，属于基础题.

16.206

【分析】

根据题意，画出示意图，利用正弦定理求出MN的长，即可求解货轮的速度，得到答案.

【详解】

由题意，如图所示，可知/SMN=15o+9（F=105。，ZSNM=45°,SM=20,AZNSM=30°,

答案第8页，总15页

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MNSM

在ASMN中，由正弦定理可得:

smZNSMsinNSNM

MN20

即1一枝,解得：MN=wV2>

22

MN

.••货轮的速度为工=20五海里/时.

2

故答案为2072.

NM

【点睛】

本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中根据题设条件画出示意图，合理应用

正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础

题.

17.80小

【分析】

在AACD中，由正弦定理求得AC；在ABCD中，由正弦定理求得BC；再在AABC中，由

余弦定理求得A2.

【详解】

由已知得，在AACD中，ZAC£>=15°,ZADC=150°,

所以ND4C=15。，

,。40

由正弦定理得AC==而一应=40("+0).

sin15:

4

在△BCD中，ZBDC=15°,ZBCD=135°,所以NZ)3C=30。，

由正弦定理———=———，

sinZCBDsinZBDC

•/DM80xsin15°

CDsin/SDC--------------r-r-

得3C=------------------=1=160sin15°=40(逐一夜).

sinZCBD-

2

在△ABC中，由余弦定理，

得Ag2=i600x(8+473)+1600x(8-473)+2x1600x(而+拒)x(逐一④)xg

答案第9页，总15页

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=1600x16+1600x4=1600x20=32000,

解得A3=806.

故图中海洋蓝洞的口径为80乖.

故答案为：8075.

【点睛】

本题考查利用正余弦定理求解距离问题，属综合基础题.

18.(1,0]

【分析】

兀

在直角三角形中，利用。=。5山46=0$由8,将4+/7=5化成*=$也4+8$4(0<4<5),再变

成x=&sin(A+f)后,根据三角函数的性质可得.

4

【详解】

JT

在HAABC中，。=万,所以々=。511146=八1口5,

所以由a-\-b=cx^^csmA+csinB=cx,

又。>0,所以x=sinA+sin5,

因为C=所以B=]—A,所以sin5=si呜—A)=cosA,

所以光=sinA+cosA

=0sin(A+2),

4

因为0<A<g,所以?<A+q<苧，

2444

所以<sin(A+?)<1,

所以xe(l,应].

所以实数无的取值范围是(L友].

【点睛】

本题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，利用正玄定理将已知条件中的边化成角，然后

利用正弦函数的性质来解是解题一般思路，属中档题.

19.277

答案第10页，总15页

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【详解】

A_nAB_BC_A/3_(2\

设―^一叔一耳二A8=2sin1乃-。，

UJ2

BC=2sin0■-AB+2BC=2sin—0J+4sin0=2asin(0+。)，最大值为277

考点：解三角形与三角函数化简

点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需

将三角函数化简为asin6+6cos0=J/+b2sin(e+°)的形式

20.V2+-

4

【分析】

根据AMC为等腰直角三角形，OA=2OB=2,利用余弦定理，不妨设AC=3C=机，则

AB=&jn，由余弦定理把机表示出来，利用四边形Q4CB面积为

n?2

S=S△0LzA/4B£>=sin△0/ID+LxSABC=一+sin,转化为三角形函数问题求解最值•

【详解】

△ABC为等腰直角三角形，•••Q4=2C®=2,不妨设AC=8C=〃z,则=

।Aao9八.95—4COS0

由余弦7E理，1+2—2m=4cos6,.•根=---------,

2

sn0

^oAB=^S^ABC=—,记平面四边形Q4cB面积为S,

贝S=--cos3+sin0=y[lsin\|+—<A/2+—,

4V4J44

当。=学时，平面四边形。4cB面积的最大值是拒+J,故答案为女+3.

444

【点睛】

此题考查了余弦定理，三角形的面积公式的应用，熟练掌握余弦定理和三角形函数的化简是

解本题的关键.

21.(1)8。=8；(2)60=472.

【分析】

(1)在△ASD中，由余弦定理求BD.

⑵在ABCD中，由正弦定理求CO.

【详解】

答案第11页，总15页

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(1)在AABD中，AD=5,AB=7,Z8r)A=60。，

由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD.BD.cosABDA,

即49=25+BD2-2x5-BD.cos60°,

贝-58£>-24=0,

解得3。=8（3。=-3舍去）.

(2)在ABCD中，ZBDC=ZADC-ZBDA=75°-60°=15°,

又ZBCD=135。，则ZCBD=180°一135°-15°=30°.

CDBD

由⑴得3。=8,由正弦定理得

sin/CBDsinZBCD

即蒜=舄芳

解得CD=40.

【点睛】

本题考查由正弦定理、余弦定理解三角形，解题的关键是根据题意得出相应三角形的边与角,

再选择正弦定理、余弦定理或综合运用两个定理来求解.

22.（1）AC=40;（2）16—+12应

27

【解析】

【分析】

（1）由。B=2OC得SAABC=3SA4DC,进而得2ABe=4逝，求得BC=6,在AABC中，由

余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC即可；（2）在^ABD中，由正弦定理得

ABAD得=sinABAD=sin(—~B]=+,利用面积公

sinAADBsinB9I3J6

式求解即可.

【详解】

(1)-：BD=2DC一^AAB£>=2sADC，SAA§C=3sADC，

又5MBe=逑，在三角形中，・•・cosB=!，「.SinB=迪

ZV1Z7C333

=4夜，。=6,

在MBC中，由余弦定理得AC?=AB-+BC1-2AB-BCcosZABC.

AC=4A/2.

答案第12页，总15页

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ABAD

(2)在AABD中，由正弦定理得

sinZADBsinB

又AB=2,ZADB=；,sinB=—.：.AD=^-，又NBAD=^-B,

3393

./R,n.。q)g+2血

/.sinZBAD=sin-TI-B=-----------

(3)6

5BD=-ABAD-sinZBAD=①

AABD2'227+'2

【点睛】

本题考查了正余弦定理的应用，考查两角差的正弦公式，面积公式，考查了计算能