人教A版普通高中数学一轮复习第二章第六节对数与对数函数学案

第六节对数与对数函数考试要求：1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．2．通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．3．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．自查自测知识点一对数1．在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为(B)A．(－∞，3]B．(3，4)∪(4，＋∞)C．(4，＋∞)D．(3，4)2．(教材改编题)设lg2＝a，lg3＝b，则log1210＝()A．12a+b B．C．2a＋b D．2b＋aA解析：log1210＝1lg12＝1lg3．计算：log62＋log63＝1．4．计算：log92·log43＝14核心回扣1.对数的概念一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质①loga1＝0．②logaa＝1．③alogaN＝N．④logaan＝n(a＞0，且a≠1)．(2)对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN．②logaMN＝logaM－logaN③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)对数的换底公式logab＝logcblogca(a＞0，且a≠1；c＞0，且c自查自测知识点二对数函数与反函数1．函数f(x)＝lg(2x－1)的定义域为()A．(1，2)B．12，1∪C．12D．(2，＋∞)C解析：根据对数函数的性质，得2x－1＞0，解得x＞12，所以函数f(x)＝lg(2x－1)的定义域为12．已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log210，则有(A)A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．c＜b＜a3．函数f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)的图象必不过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A解析：函数f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)的图象如图所示．故选A．4．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(4，－1)．5．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f12＝－log32核心回扣1．对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质0＜a＜1a＞1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0减函数增函数3.反函数指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝x对称．【常用结论】1．换底公式的变形(1)logab·logba＝1，即logab＝1/(a，b均大于0且不等于1)．(2)＝nmlogab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)．(3)logNM＝logaMlogaN＝logbMlogbN(2．换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0)．应用求值：(log32＋log92)(log43＋log83)＝．54解析：原式＝lg2lg3+lg2lg9对数的运算1．(2024·莆田模拟)已知2x＝3，log483＝y，则x＋2yA．32 C．4 D．3D解析：由2x＝3，得x＝log23，又log483＝y，故x＋2y＝log23＋2log483＝log2．已知声强级(单位：分贝)L＝10lgII0，其中常数I0(I0＞0)是能够引起听觉的最弱的声强，A．110 B．C．10-10 D．10D解析：L1－L2＝1，即10lgI1I0－10lgI2I0＝1，所以I1I2＝3．计算：log381-log98×0解析：原式＝log334－32×log32×log23－3＋lg10＝4－32－3＋4．(2024·德州模拟)已知2m＝3n＝6，则m+nmn＝1解析：由2m＝3n＝6，得m＝log26，n＝log36，所以1m＝log62，1n＝log63，所以m+nmn＝1n＋1m＝log6对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法：①“收”：将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数．②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)．对数函数的图象及应用【例1】(1)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的大致图象为()B解析：由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a＞1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增．又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称，因此y＝loga|x|的大致图象为选项B.(2)当0＜x≤12时，4x＜logax，则实数aA．0，22 C．(1，2) D．(2，2)B解析：易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图所示．由题意可知只需满足loga12＞412，解得[变式]若将本例(2)中的条件“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为．0，22解析：若方程4x＝logax在0，12上有解，则函数y＝4x与y＝logax的图象在0，12上有交点，所以0＜a研究对数型函数图象的思路(1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等，通过排除法求解．(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．1．在同一个坐标系中，函数f(x)＝1ax与g(x)＝lgA解析：由题意，得a＞0且a≠1，所以函数g(x)＝lgax单调递减，故排除B，D.对于A，C，由函数f(x)＝1ax的图象，可知0＜a＜1，对于函数g(x)＝lgax，g2．已知函数f(x)＝|lnx|.若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则2a＋b的取值范围是()A．(22，＋∞) B．[22，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)B解析：f(x)＝|lnx|的图象如图所示，因为0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，所以|lna|＝|lnb|，且0＜a＜1，b＞1，即－lna＝lnb，即ab＝1.所以2a＋b≥22ab＝22，当且仅当2a＝b，即a＝22，b＝2时，等号成立，所以2a＋b的取值范围为[22，＋∞对数函数的性质及应用考向1比较大小【例2】(1)已知a＝log62，b＝log124，c＝log186，则()A．c＞b＞a B．a＞b＞cC．c＞a＞b D．a＞c＞bA解析：由对数运算公式，得1a＝log26＝1＋log23，1b＝log412＝1＋log43，1c＝log618＝1＋log63.易知log23＞log43＞log63＞0，则1a＞1b＞(2)已知a＝log315，b＝log420，2c＝1.9，则()A．a＞c＞b B．c＞a＞bC．b＞a＞c D．a＞b＞cD解析：a＝log315＝log3(3×5)＝1＋log35＞1，b＝log420＝log4(4×5)＝1＋log45＞1，c＝log21.9＜1.因为log35＝lg5lg3＞lg5lg4＝log比较对数函数值大小的方法单调性法在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底中间量过渡法寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系考向2解对数方程或不等式【例3】(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为x＝．5解析：原方程变形可得log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±5.又由题知x＞1，所以x＝5.(2)已知函数f(x)＝log2x，x＞0，log12-x，x＜(－1，0)∪(1，＋∞)解析：由题意，得a＞0，log2a＞-log2a或a＜0，简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．考向3对数函数性质的综合应用【例4】(2024·泰安模拟)已知f(x)＝log1(1)若a＝2，求f(x)的值域；解：若a＝2，则f(x)＝log1因为x2－2x＋10＝(x－1)2＋9≥9＞0，当且仅当x＝1时，等号成立，可知f(x)的定义域为R，且y＝log13x所以f(x)的值域为(－∞，－2].(2)若f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解：因为y＝log1由题意，可知y＝x2－ax＋5a在[1，＋∞)上单调递增，且x2－ax＋5a＞0在[1，＋∞)上恒成立，故a2≤1，1-a+5a＞所以a的取值范围为-1解决对数函数性质的综合问题的注意点(1)要分清函数的底数是a∈(0，1)，还是a∈(1，＋∞)．(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．(3)在转化时一定要注意对数问题转化的等价性．1．已知函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)满足f2a＜f3a，则f(2x－1)A．(0，1) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)C解析：(方法一)因为函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a＜3a，且f2a＜f3a，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，结合对数函数的图象与性质，可得f(2x－1)＞0，即2x(方法二)由f2a＜f3a，知loga2a＜loga3a，所以loga2－1＜loga3－1，所以loga2＜loga3，所以a＞1.由f(2x－1)＞0，得loga(2x－1)＞0，所以2x－1＞2．(多选题)设函数y＝ln(x2－x＋1)，则下列命题中正确的是()A．函数的定义域为RB．函数是增函数C．函数的值域为RD．函数的图象关于直线x＝12AD解析：因为x2－x＋1＝x-122＋34＞0恒成立，所以函数的定义域为R，A正确；由复合函数的单调性，知函数y＝ln(x2－x＋1)在12，+∞上单调递增，在-∞，12上单调递减，B错误；由x2－x＋1＝x-122＋34≥34，得y＝ln(3．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1)．若f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是．1，83解析：当a＞1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上单调递减，由f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)＞1，且8－2a＞0，解得1＜a＜83．当0＜a＜1时，f(x)在[1，2]上单调递增，由f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)＞1，且8－2a＞0，解得a∈∅.综上可知，实数课时质量评价(十一)1．函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是()A．0 B．1C．2 D．aC解析：因为0＜a＜1，所以f(x)＝logax在[a2，a]上单调递减，所以f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.故选C.2．函数y＝f(x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，则f13＋fA．1 B．2C．3 D．4A解析：因为函数y＝f(x)的图象与函数y＝3x的图象关于直线y＝x对称，所以f(x)＝log3x，所以f13＋f(9)＝log313＋log3．(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)＝1-2x，x≤1，A．－14 B．C．34 D．B解析：因为f(0)＝1－20＝0，f(log25)＝f(log25－1)＝flog252＝flog252-1＝flog254＝1-2log2544．某公司开发的小程序发布经过t天后，用户人数A(t)＝500ekt，其中k为常数．已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过500000名至少经过的天数为(参考数据：lg2≈0.301)()A．31 B．32C．40 D．50D解析：由题意，得当t＝10时，A(10)＝500e10k＝2000，即e10k＝4.令A(t)＝500ekt＞500000，得ekt＞1000，即4t10＞1000，两边取常用对数，得t10lg4＞3，即t＞15lg5．已知函数f(x)＝3x，x≤0，19解析：因为f(x)＝3x，x≤0，log4x，x＞0，所以f16．函数f(x)＝log2x－2log2(x＋1)的值域为．(－∞，－2]解析：函数f(x)＝log2x－2log2(x＋1)的定义域为(0，＋∞)，又f(x)＝log2x－2log2(x＋1)＝log2xx+12＝log21x+1x+2≤log212x·1x+2＝log27．若函数f(x)＝ln4-mx4-2x的图象关于原点对称，则实数m的值为－2解析：依题意，得f(－x)＝－f(x)，即ln4+mx4+2x＝－ln4-mx4-2x，所以4+mx4+2x＝4-2x4-mx，解得m＝±2.当m＝2时，f(x)＝ln4-2x4-2x，定义域{xx≠2}不关于原点对称，故舍去；当m＝－2时，f(x)＝ln8．(2024·武汉模拟)已知函数f(x)＝lgx＋1-x1+x．若f(a)＝2，则f1a＝－2解析：因为f1x＝lg1x＋1-1x1+1x＝－lgx＋x-1x+1，所以f(x)＋f1x＝lgx＋1-x1+x－lgx＋x-1x+1＝0，故f(a9．已知函数f(x)＝loga(1－x)，g(x)＝loga(x＋1)，其中a＞0且a≠1.(1)求函数f(x)＋g(x)的定义域；解：由1-x＞0，x+1＞所以函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1，1)．(2)若f(x)＞g(x)，求x的取值范围．解：当a＞1时，由f(x)＞g(x)，得1－x＞x＋1＞0，解得－1＜x＜0；当0＜a＜1时，由f(x)＞g(x)，得0＜1－x＜x＋1，解得0＜x＜1.综上可知，当a＞1时，x的取值范围为(－1，0)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(0，1)．10．已知一个15位正整数N＝a×1014(1≤a＜10)，且30N仍是一个整数，则30N的值为(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48，lg5A．3 B．4C．5 D．6A解析：令x＝30N(x＞0)，则x30＝N＝a×1014(1≤a＜10)，故30lgx＝lga＋14，lgx＝lga+1430，lga∈[0，1)，所以lgx∈715，12．又lg2＜715≈11．我国5G技术遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog21+SN．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S以及信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则CA．43% B．33%C．23% D．13%C解析：由题意，得Wlog25000Wlog21000－1＝lg5000lg12．已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，则f(x)＝．(写出一个即可)log2x(答案不唯一)解析：符合对数运算法则，可选择一个对数函数，如f(x)＝log2x，nf(x)＝nlog2x＝log2xn＝f(xn)．13．(2024·昆明模拟)设函数f(x)＝log22x·log2x16(1)解方程f(x)＋6＝0；(2)设不等式2x2＋x≤43x-2的解集为M，求函数f(x)(x∈M)的值域．解：f(x)＝(log22＋log2x)·(log2x－log216)＝(1＋log2x)·(log2x－4)＝(log2x)2－3log2x－4.(1)由f(x)＋6＝0，得(log2x)2－3log2x＋2＝0，解得log2x＝1或log2x＝2，所以x＝2或x＝4.所以方程f(x)＋6＝0的解是x＝2或x＝4.（2）由2x2＋x≤43x-2，得2x2＋x≤26x-4，即x2＋x≤6x－4，解得1≤x≤4，故M＝{x|1≤x≤4