全国新高考1卷地区高三数学函数与导数解答题分类完整版编完整版析

2024届高三数学函数与导数解答题分类精编精析【题型目录】题型一：导数法研究函数的单调性题型二：导数法研究函数的极值、最值问题题型三：导数法研究函数的零点问题题型四：导数法证明不等式问题题型五：导数法研究函数中的隐零点问题题型六：导数中的同构问题题型七：导数中的极值点偏移问题题型八：导数中的双变量、多变量问题题型九：导数与数列不等式综合问题题型十：创新情境中函数与导数综合问题【题型分类精编精析】：题型一：导数法研究函数的单调性1.（辽宁省鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）已知函数，．（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求实数的值；（2）讨论函数的单调性．【解析】：（1）依题意，，则，因为在处的切线与轴垂直，所以，解得；（2）由（1）知，当时，由得，由得，所以的单调递增区间为，单调递减区间，当时，分以下三种情况：若，则在定义域内恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；若，令得或，令得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，若，令得或，令得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，综上所述，当时，在区间单调递增，在区间单调递减；当时，在区间单调递增，无递减区间；当时，在区间单调递增，在区间单调递减；当时，在区间单调递增，在区间单调递减.2.（萍乡市2023—2024学年度高三二模考试试卷）已知函数.（1）求的单调区间；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.【解析】：（1），令，解得，当时，单调递减；当时，单调递增，则的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）依题意，存在，使得，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，故，因此.3.（江西省新余市20232024学年高三年级第二次模拟考试）已知函数，.（1）当时，求函数的最小值；（2）若在上单调递减，求的取值范围.【解析】：（1）因为，所以，可得，令，显然在上单调逆增且因此当时，则有，当时，则，于是有当时，两数单调递减，当时，函数单调递增，所以.（2）化简得，即，因为在上单调递减，所以在上恒成立，由，设，则有，当时，，单调逆减，当时，，单调逆增，所以，要想在上恒成立，只需，经检验，当符合题意，因此的取值范围为.题型二：导数法研究函数的极值、最值问题1.（湖南省邵阳市2024届高三第二次联考）设函数.（1）求的极值；（2）若对任意，有恒成立，求的最大值.【解析】：（1）.令，得，令，得.故在单调递减，在单调递增.在处取得极小值，无极大值.（2）对恒成立，即对恒成立.令，则只需即可..易知均在上单调递增，故在上单调递增且.当时，单调递减；当时，单调递增..故，故的最大值为.2.（安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测）已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程；（2）若函数在上有2个极值点，求实数的取值范围.【解析】：（1）由题意得，，故，解得，而，故所求切线方程为，即.（2）令，则，故.令，，则，令，解得，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，当时，，当，，故实数的取值范围为.3．（新疆乌鲁木齐地区2024年高三年级第三次质量监测）已知函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若的最小值为m，求证．【解析】：（Ⅰ），当时，，所以在R上单调递增；当时，，，所以在上单调通减；在上单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，，所以，设，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以．4.（2024届明日之星高考数学精英模拟卷）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.【解析】：（1）由，得，①当时，，在R上单调递减；②当时，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.（2）证明：由（1）知，当时，，要证当时，，可证，因为，即证.设，则，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，即，所以当时，.5．（天域全国名校协作体20232024学年高三下学期联考）已知函数，．（1）若在定义域内是减函数，求a的取值范围；（2）当时，求的极值点．【解析】：（1）∵，∴，若在定义域内是减函数，则对恒成立，即恒成立，所以，，解得（2）当时，，∴在上单调递增，∴无极值点；当时，，令，解得，令，解得，则在上是单调递减，在上是单调递增，在上是单调递减，∴的极小值点为，极大值点为．综上，当时，无极值点；当时，的极小值点为，极大值点为．题型三：导数中的零点问题1．（2023学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．【解析】：（1）因为，（ⅰ）当时，在单调递减；（ⅱ）当时，当．当．当．所以在单调递减，在单调递增，在单调递减；（ⅲ）当时，在单调递增，单调递减．（2）（ⅰ）由（1）知．（ⅱ）由（1）知极大值为，因为，又因为．所以函数有且只有一个零点．2.（湖南省2024届高三九校联盟第二次联考）已函数，其图象的对称中心为.（1）求的值；（2）判断函数的零点个数.【解析】：（1）因为函数的图象关于点中心对称，故为奇函数，从而有，即，，，所以，解得，所以；（2）由（1）可知，，，，①当时，，，所以在上单调递增，，，函数有且仅有一个零点；②当时，，，有两个正根，不妨设，则，函数在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，函数有且仅有一个零点；③当时，，令，解得或，有两个零点；④当时，，，有一个正根和一个负根，不妨设，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，函数有且仅有三个零点；综上，当时，函数有三个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点.3.（江西省上饶市2024届第二次高考模拟考试）已知函数的图象在处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）若函数在上无零点，求的取值范围.【解析】：（1）由函数，，，所以可得，解得.（2）若函数在上无零点，即在上无解，即在上无解，令，，，在上，所以在上单调递增，所以，即，若在上无解，则或，即或.所以的取值范围为4.（华娇教育2024年广东省普通高中毕业班综合能力检测）设函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，讨论函数的零点的个数.【解析】：（1）函数定义域为，求导得，若，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增；若，由，得或，①当时，，则函数在上单调递增；②当时，，当或时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减；③当时，，当或时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在单调递增.（2）当时，函数只有一个零点，当时，由（1）知函数在上递减，在上递增，且，，取且，则，因此函数有两个零点；当时，由（1）知函数在上递增，且，，而时，恒有，因此函数只有一个零点，当时，由（1）知函数在上递减，在上递增，且，而时，恒有，因此函数只有一个零点，所以，函数有一个零点，当时，函数有两个零点.5.（山东省“齐鲁名校联盟”2023—2024学年高三年级第七次联考）已知函数及其导函数满足，且．（1）求的解析式，并比较，，的大小；（2）试讨论函数在区间上的零点的个数．【解析】：（1）由，可得，可设且为常数，令，可得，所以，则，当时，，所以在单调递增，因为均小于，只需比较这三个数的大小即可，设，因为当时，，所以，所以，又，所以，设函数，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，所以，所以.（2）由题意知，函数，当时，；当时，，（i）令，当时，，所以在上单调递减，因为，所以存在唯一的，使得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减；（ii）当时，令，则，所以在上单调递减，所以，又因为在上，，所以，在上单调递减；（iii）当时，，在上单调递减，由（i）（ii）（iii）可得，在上单调递增，在在上单调递减，因为，所以存在唯一的，使得，故在区间上仅有两个零点.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数或；②，构造函数或；③，构造函数或.题型四：导数中证明不等式问题1.（湖南省益阳市2024届高三下学期4月教学质量检测）已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为．（1）求的值；（2）求证：．【解析】：（1）因为，所以，又因为，所以曲线在点处的切线方程为.由题意可知曲线在点处的切线方程为，所以，解得(负值舍去)，所以.（2）由第1问可知，.要证，即要证，只需证.构造函数，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，所以，所以2.（2024年大连市高三第一次模拟考试）已知函数．（1）若恒成立，求a的取值范围；（2）当时，证明：．【解析】：（1）由已知得，在上恒成立，设，解得，，解得，在上为减函数，在上为增函数，，即，；（2）法一：由（1）知时，恒成立，取，得成立，时取等号．所以当时，，设，故时，，在上为增函数，，．所以时，，即．由此可证，当时，，结论得证．法二：当时，若证成立．即证，设，，设，当时，在上为增函数．，在上为增函数，，由此可证，当时，成立．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.题型五：导数中的隐零点问题1.（湖南省2024届高三“一起考”大联考）已知函数，.（1）若的极大值为1，求实数a的值；（2）若，求证：.【解析】：（1）的定义域为，.当时，，在上单调递增，函数无极值；当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得极大值，极大值为，解得.经验证符合题意，故实数a的值为.（2）当时，，故要证，即证.令，则，.令，，则，所以在上单调递增，又因为，，所以，使得，即，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.又因为，即，所以，所以，即，故得证.2.（2024届河北省名校联盟高三下学期4月第二次联考）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，，求实数的取值范围.【解析】：（1）设切线斜率为，因为，所以，又，所以，切线方程是.（2）①当时，因为，所以，所以.记，则，.因为当时，，所以在区间上单调递增，所以，，所以，在区间上单调递增，所以，，所以.②当时，，因为当时，，所以，所以在区间上单调递增.因为，，所以，存在，使得，所以，当时，，即在区间上单调递减，所以，不满足题意.综上可知，.3.（2024届河北省承德市部分高中二模）已知（其中为自然对数的底数）.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，判断是否存在极值，并说明理由；（3）求的取值范围.【解析】：（1）当时则.因为所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时定义域为则.令则当时；当时所以在内单调递减，在内单调递增，.存在使得；存在使得当时单调递增；当时单调递减；当时单调递增，所以当时有一个极大值，一个极小值.（3）由因为得.令则在上单调递减，当时所以所以又使得即当时即当时即所以在内单调递增，在内单调递减，所以.由由得即由得所以因为所以设则可知在内单调递增故的取值范围是.题型六：导数中的同构问题1.(2024年江西省南昌市高考数学二模)已知f(x)=ax−x(1)当a=e时，求证：f(x)在(e,+∞)上单调递增；(2)设a>e，已知∀x∈[e22lna,+∞)，有不等式f(x)≥0【解析】：(1)证明：当a=e时，f(x)=e则f′(x)=e令f′(x)>0，则ex−1>x设g(x)=x−1−(e−1)lnx(x>e)，则g′(x)=1−e−1所以g(x)在(c,+∞)单调递增，所以x∈(e,+∞)时，g(x)>g(e)=0，即x∈(e,+∞)时，x−1>(e−1)lnx，所以x∈(e,+∞)时，ex−1>x所以f(x)在(e,+∞)上单调递增；(2)f(x)≥0⇔ax≥xa设h(x)=lnxx，则令h(x)=0，得x=e，当x>e时，h′(x)<0，h(x)单调递减，又因为a>e，所以x≥e22lna≥e由lnxx≤lnaa，则即a≤e上式等价于lnaa由h(x)在(e,+∞)单调递减，所以e<a≤e即实数a的取值范围为(e,e【解析】(1)当a=e时，f(x)=ex−xe，求导可得f′(x)=e(ex−1−xe−1)，令f′(x)>0，则ex−1>xe−1，两边取对数得x−1>(e−1)lnx，设g(x)=x−1−(e−1)lnx(x>e)(2)由题意可得∀x∈[e22lna,+∞),lnxx≤lnaa本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．2．（2024届辽宁省抚顺市六校协作体高三下学期第三次模拟）设函数．（1）讨论的单调性．（2）证明：．（3）当时，证明：．【解析】：（1）解：，令，解得或．当时，；当时，；当时，．故在和上单调递减，在上单调递增．（2）证明：的定义域为．当时，；当时，．所以的最小值为，故．（3）证明：当时，．要证，即证．设，则，当时，，则在上单调递增，且，当时，，故只需证明．由（2）知，在上成立，故，即成立．题型七：导数中的极值点偏移问题1.（湖南省永州市20232024学年高三下学期联考）已知函数.（1）求函数的最值（2）函数图像在点处的切线斜率为有两个零点，求证：【解析】：（1），当时，在上单调递减，在上单调递增，有最小值，无最大值当时，在上单调递增，在上单调递减，有最大值，无最小值（2）依题知，即，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增因为是的两个零点，必然一个小于，一个大于，不妨设因为，所以变形为欲证，只需证即证令，则只需证对任意的都成立令，则所以在上单增，即对任意的都成立所以2.（山东省潍坊市2024届高三年级质量检测）已知函数有两个极值点（1）求实数的取值范围（2）求证：（3）求证：【解析】：（1），设，则，令，解得当时，；当时，当时，，函数单调递增，没有极值点当时，，且当时，；当时，当时，有两个零点，，不妨设，则当函数有两个极值点时，的取值范围为．（2）不妨设，要证，即证，而在上单调递减，所以即证，即证，即，，设，则令，则，当，则，即在上单调递增，在上单调递减，所以，即，，单调递增，，所以原不等式成立（3）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，为两个实数根，，在上单调递减且函数在，上也单调递减，要证，只需证，即证设函数，，则设，则在上单调递增，，即在上单调递增，当时，，则，题型八：导数中的双变量、多变量问题1.（河北省沧衡名校联盟高三年级模拟考试）已知函数（1）若函数，证明：在上恒成立；（2）若，且，证明：.【解析】：（1）由题，，当时，令，则，易知在上单调递增，则，所以在上单调递增，所以，即在上恒成立.（2）因为当时，，则，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，，又当时，，所以.当时，，则，所以在上单调递减，且，此时，如图，由题意，设，设与交点的横坐标为，则，有，因为，所以，所以，又，所以，令，则令，则，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，则，所以在上单调递增.所以，所以，即.[命题意图]本题考查不等式恒成立､函数与方程；考查逻辑思维能力､运算求解能力和创新能力；考查数学抽象､逻辑推理､直观想象､数学运算的核心素养.题型九：导数与数列不等式问题1.（2024届湖北省高中毕业生四月模拟考试）已知函数，，（1）若对定义域内任意非零实数，，均有，求a；（2）记，证明：.【解析】：（1）解：的定义域为，且；，因此；i.时，，则此时令有，令有，则在上单调递增，上单调递减，又，于是，此时令，有，不符合题意；ii.时，有零点0和，若，即，此时令有，在上单调递减，又，则，令，，有，不符合题意；若，即，此时令有，在上单调递减，又，则，令，有，不符合题意；若，即，此时，在上单调递增，又，则时，时；则时，也即对，，综上，.（2）证：由（1）问的结论可知，时，；且时，；则时，，令，有，即，于是将上述n个式子相加，欲证，只需证，只需证；因为，所以，得证：于是得证.题型十：创新情境中函数与导数综合问题1.（湖南省2024届新高考教学教研联盟高三第二次联考）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．（1）运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．（2）已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．（3）证明：当时，有．【解析】：（1）令，则，令函数，则，显然在上连续，且在上可导，由罗尔定理，存在，使得，即，所以.（2）依题意，，不妨令，则恒成立，由（1）得，于是，即，因此，令，求导得，函数在上单调递增，则，而函数在上单调递增，其值域为，则，所以实数的取值范围是.（3）令函数，显然函数在上可导，由（1），存在，使得，又，则，因此，而，则，即，所以.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答.2.（2024届河北省名校联盟高三下学期4月第二次联考）设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称：为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作.例如：对于集合，，存在一一对应关系，因此.（1）已知集合，，试判断是否成立?请说明理由；（2）证明：①；②.【解析】：（1）设，，令则C与D存在一一对应，所以集合.（2）①取函数，其中，，两个集合之间存在一一对应，故.备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为，值域为即可，如：或等等均给满分，【若直接利用等势的自反性，未交待反函数关系，而给出定义域为R，值域为（0，1）的函数.如，，扣1分，交传了反函数关系不加分】②设，，假设，即存在对应关系：为一一对应，对于集合B中的元素，，，至少存在一个（，且）与这三个集合中的某一个对应，所以集合A中必存在.记，则，故，从而存在，使得；若，则，矛盾；若，则，矛盾.因此，不存在A到B的一一对应，所以.3.（安徽省黄山市2024届高中毕业班第二次质量检测）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数,，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，……，注：，，，，……已知函数.（1）求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数（精确到0.