湖南省益阳市2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题（原卷版）

益阳市2024届高三9月教学质量检测数学注意事项：1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.2.答题前，考生备必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置.请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，.则中的元素个数是（）A.0 B.1 C.2 D.42.“”是“关于的一元二次方程有实数根”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知直线的倾斜角为，则的值是（）A. B. C. D.4.已知函数，则下列结论成立的是（）A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称C.的最小值与最大值之和为0 D.在上单调递增5.如图，在中，为上一点，，为上一点，，且，则的值为（）A. B. C. D.6.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若，则曲线在处的曲率是（）A.0 B. C.1 D.7.若，双曲线：与双曲线：离心率分别为，，则（）A.最小值为 B.的最小值为C.的最大值为 D.的最大值为8.给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（）A个 B.个 C.个 D.个二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设等差数列的前项和为，若，且，则（）A. B. C. D.最大10.已知数据的平均数是，中位数为，方差为，极差为.由这组数据得到新数据，其中，则（）A.新数据的平均数是 B.新数据的中位数是C.新数据的方差是 D.新数据的极差是11.已知函数，则（）A.有两个零点B.直线与的图象有两个交点C.直线与的图象有四个交点D.存在两点，同时在的图象上12.在棱长为2的正方体中，，分别是线段，上的点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积是B.线段的长的取值范围是C.若，分别是线段，的中点，则与平面所成的角为D.若，分别是线段，的中点，则与直线所成的角为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，其中为虚数单位，则_______.14.在正四棱锥中，为侧棱上一点，，，若平面过且平行于底面，则截此棱锥所得棱台的体积为________.15.已知直线：与抛物线：交于，两个不同的点，为的中点，为的焦点，直线与轴交于点，则的取值范围是_______.16.将3个4cm×4cm正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所示，将这6个部分接于一个边长为的正六边形上，如图（2）所示.若将该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为________；若在该七面体内放置一个小球，则小球半径的最大值为_________cm.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的内角，，的对边分别为，，，，且.（1）求；（2）求面积最大值.18.已知各项均为正数的数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若，求满足条件的最小正整数.19.某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9箱进行检测，其中有5箱为一等品.（1）若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；（2）若从这9箱产品中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.20.如图，在三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，点在侧棱上，且.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.21.已知椭圆：经过，两点，过的左焦点作一条直线交于，两