高三数学一轮复习第二章函数培优专题2指数式、对数式、幂式的大小比较学案

指数式、对数式、幂式的大小比较[培优技法]指数、对数、幂大小的比较(1)常用方法①底数相同，指数不同时，如ax1和ax2，利用指数函数y②指数相同，底数不同，如x1α和x2α，利用幂函数y③底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或其他能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．(2)利用函数与方程的思想①构造函数，结合函数的单调性(常利用基本初等函数性质、导数等方法判断函数单调性)、奇偶性比较大小．②数形结合法．③作差法、作商法、平方法是构造函数的几种最常用的方法．【教师备用】1．同构是构造函数的一种常用方法，常利用x＝lnex(x∈R)，x＝elnx(x>0)将要比较的三个数化为结构相同的式子．常见指数、对数的同构函数有：y＝xex与y＝xlnx；y＝exx与y＝y＝x＋ex与y＝lnx＋x；y＝ex－x与y＝x－lnx．2．放缩法是比较大小的一种常用方法，常见放缩法有：(1)lnx≤x－1(x>0)；lnx≥1－1x(x(2)ex≥x＋1(x∈R)；ex>x>lnx(x>0)；(1－x)ex≤1(x∈R)．(3)sinx<x<tanx0<x<π[培优案例][例1](2024·苏州实验学校月考)已知函数f(x)＝1x－x，若a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.5-0.5A．f(b)<f(a)<f(c) B．f(c)<f(b)<f(a)C．f(b)<f(c)<f(a) D．f(a)<f(b)<f(c)C[由a＝log52<log55＝1，且a＝log52>log51＝0，故0<a<1；b＝log0.50.2>log0.50.25＝2，c＝0.5-0.5＝10.50.5＝2，故b>c>又因为函数f(x)＝1x－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(b)<f(c)<f(a[例2](2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则()A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<bA[由题意可知a，b，c∈(0，1)，ab＝log53log85＝lg3lg5·lg8由b＝log85，得8b＝5，由55<84，得85b<84，∴5b<4，可得b<45由c＝log138，得13c＝8，由134<85，得134<135c，∴5c>4，可得c>45综上所述，a<b<c．故选A．][例3]已知a＝log32，b＝20.2，c＝log0.22，则()A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>b>aB[a＝log32<log33＝1，log32>log31＝0，∴0<a<1，b＝20.2>20＝1，c＝log0.22<log0.21＝0，∴b>a>c．故选B．]培优训练(二)指数式、对数式、幂式的大小比较1．已知实数a，b满足log2a<log2b<0，则下列各项中一定成立的是()A．a>b B．sin2a<sin2bC．logae<logbe D．ab<baD[因为log2a<log2b<0，所以0<a<b<1，则a<b，故A错误；当a＝π4，b＝1112时，2a＝π2<2b所以sin2a>sin2b，故B错误；因为0<a<b<1，所以lna<lnb<0，所以1lna>即logae>logbe，故C错误；因为0<a<b<1，所以ab<bb，bb<ba，即ab<ba，故D正确．故选D．]2．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．3y＜2x＜5z B．2x＜3y＜5zC．3y＜5z＜2x D．5z＜2x＜3yA[法一：令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1，则x＝lgklg2，y＝lgklg因为2x3y＝23×lg3所以2x>3y，又5z2x＝52×lg2所以5z>2x．所以5z>2x>3y．法二：∵x>0，y>0，z>0，且2x＝3y＝5z，∴令2x＝3y＝5z＝t>1，∴x＝log2t＝lntln2，y＝log3t＝lntln3，z∴2x＝2lntln2＝4lntln4，3构造函数y＝xlnx(y′＝xlnx'＝lnx-1lnx∴y＝xlnx在(e，＋∴3ln3<4ln又t>1，∴lnt>0，∴3lntln3<4lntln4<3．设函数f(x)＝32x＋x2，若a＝f(ln3)，b＝f(－log52)，c＝fA．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．a>c>bD[由题意可知，函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，又ln3>1，0<log52<log55＝12，1>1e>12，所以f(ln3)>f1e>f(－log52)，故a>4．已知f(x)＝12x－x－2，g(x)＝log12x－x－2，h(x)＝x3－x－2的零点分别是a，b，c，则a，A．a>b>c B．c>b>aC．b>c>a D．b>a>cB[函数f(x)＝12x－x－2，g(x)＝log12x－x－2，h(x)＝x即为函数y＝x＋2分别与函数y＝12x，y＝log12x，y如图所示，由图可得a<b<c．故选B．]5．(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则()A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0A[由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－13x<2y－13y．设f(x)＝2x－13x，则f(x)<f(y)．因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－13x在R上为增函数，所以f(x)＝2x－13x在R上为增函数，则由f(x)<f(y)，得x<y，所以y－x6．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A．a>2b B．a<2bC．a>b2 D．a<b2B[令f(x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，所以f(a)<f(2b)，所以a<2b．故选B．]7．(2021·天津卷)设a＝log20.3，b＝log120.4，c＝0.40.3，则a，b，A．a<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．a<c<bD[∵log20.3<log21＝0，∴a<0，∵log120.4＝－log20.4＝log252∴b>1，∵0<0.40.3<0.40＝1，∴0<c<1，∴a<c<b．故选D．]8．(2024·河南省名校联盟高三大联考)下列不等关系中正确的个数为()①32ln2>2ln32；②2>eln2；③32<eln32；④A．1 B．2C．3 D．4B[设f(x)＝xlnx，则f′(x)＝所以x∈(1，e)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f32>f(2)>f52>即有32ln32>2ln2>52ln52>elne，从而得到329．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则()A．a>