2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与相似三角形问题（课件）

在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋1与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线y＝ax2－x＋c与直线AC交于点B(4，3)．例1微技能——分类讨论思想确定对应关系一阶一题多设问微专题二次函数与相似三角形问题(含全等)一题多设问二阶见微专题相似三角形的对应关系不确定解：(1)∵直线y＝kx＋1与y轴交于点C，∴点C的坐标为(0，1)．∵抛物线y＝ax2－

x＋c过C(0，1)，B(4，3)，∴∴抛物线的表达式为y＝

x2－

x＋1；(1)求抛物线的表达式；例1题图①(2)已知x轴上一动点Q(m，0)，连接BQ，若△ABQ与△AOC相似，求m的值；【思维教练】已知点Q的坐标，即可用m表示出AQ的长，由于未说明两三角形相似的对应关系，要考虑两种情况：①当点C的对应点是点B时；②当点C的对应点是点Q时，然后利用三角形相似的性质得到对应边成比例，从而列关于m的方程即可求解．例1题图②(2)如解图①，分两种情况讨论，①当点C的对应点是点B时，过点B作BQ1⊥x轴于点Q1，∵BQ1∥CO，∴△AOC∽△AQ1B，此时点Q1的坐标为(4，0)，即m的值为4；②当点C的对应点是点Q2时，过点B作BQ2⊥AB，交x轴于点Q2，∵∠CAO＝∠Q2AB，∠AOC＝∠ABQ2＝90°，∴△AOC∽△ABQ2，∴

，例1题解图①由①知△AOC∽△AQ1B，∴，∴AO＝2，∴AC＝

，在Rt△AQ1B中，AQ1＝AO＋OQ1＝2＋4＝6，BQ1＝3，∴由勾股定理得AB＝

∴解得m＝.综上所述，若△ABQ与△AOC相似，m的值为4或

；例1题解图①(3)设抛物线的对称轴与BC相交于点Q，点P是抛物线对称轴上的动点，且点P不与点Q重合，是否存在点P，使得以P、B、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；例1题图③【思维教练】由已知条件可知△AOC是直角三角形，所以△BPQ一定也是直角三角形，故点P一定在点Q的上方．在△AOC和△BPQ中，∠ACO＝∠BQP，所以只需要在△BPQ中确定一个直角即可．分情况考虑：①∠BPQ＝90°；②∠QBP＝90°，再分别求解，点P的坐标即可求出．例1题图③例1题图③(3)存在，∵C(0，1)，B(4，3)在直线y＝kx＋1上，∴代入得k＝

，∴直线AC的表达式为y＝

x＋1，由抛物线的表达式y＝

x2－

x＋1得对称轴为直线x＝

，∵点Q在直线AC上，∴将x＝

代入y＝

x＋1中，得y＝

，∴点Q的坐标为(

，

)，如解图②，设直线x＝

与x轴的交点为点M，则OC∥QM，∴∠OCA＝∠MQA＝∠BQP，又∵∠AOC＝90°，∴要分为两种情况：①当∠BP1Q＝90°，即BP1∥x轴时，△BP1Q∽△AOC，∵点B的坐标为(4，3)，∴点P1的坐标为(，3)；例1题解图②②当∠QBP2＝90°，即BP2⊥BQ时，△QBP2∽△COA，∴由(2)得AC＝

，设P2(，p)，∵B(4，3)，Q(，)，P1(，3)，∴BP1＝4－

＝

，P1Q＝3－

＝

，P2Q＝p－

，在Rt△BQP1中，由勾股定理得BQ＝

例1题解图②例1题解图②∴∴点P2的坐标为(，).综上所述，满足条件的点P的坐标为(，3)或(，)；(4)连接BO，点S是抛物线CB段上的动点，过点S作SK∥x轴，交BO于点K，是否存在点S，使得△AOB∽△SKO？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．例1题图④【思维教练】由△AOB∽△SKO得∠AOB＝∠SKO，即点S在点K的右侧，再由△AOB∽△SKO，得∠ABO＝∠SOK，从而得到OS∥AB，由(2)可得AB的表达式，再平移得到OS的表达式，然后与抛物线表达式联立解方程即可求出点S的坐标．(4)存在．理由如下：∵△AOB∽△SKO，∴∠AOB＝∠SKO，∴点S在点K的右侧，由△AOB∽△SKO，得∠ABO＝∠SOK，∴OS∥AB，∴直线OS的表达式为y＝

x，例1题图④∴综上所述，满足条件的点S的坐标为(2－

，1－)或(2＋

，1＋)．例1题图④综合训练三阶1.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D.第1题图(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；解：(1)∵A(－1，0)，B(3，0)，a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴点D的坐标为(1，－4)；(2)连接BC、BD、CD，求△BCD的面积；(2)如解图，当x＝0时，y＝－3，∴C(0，－3)．∵D(1，－4)，∴BC＝

，CD＝

，BD＝∵BC2＋CD2＝18＋2＝20＝BD2，∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°.∴S△BCD＝

BC·CD＝×3×＝3；第1题图(3)点E在y轴上，且DE＝EB，点P在直线DE上，当△BEP与△BOE相似时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．【解法提示】设点E的坐标为(0，m)，∴BE2＝OE2＋OB2＝m2＋9.如解图②，过点D作DF⊥y轴于点F，∴DE2＝EF2＋DF2＝(m＋4)2＋1.∵DE＝EB，∴(m＋4)2＋1＝m2＋9，第1题解图②第1题图解得m＝－1，∴点E的坐标为(0，－1)．∵D(1，－4)∴DE所在的直线表达式为y＝－3x－1，∵点B(3，0)，∴BO＝EF＝3，EO＝DF＝1，根据勾股定理，得BE＝

，∵∠BOE＝∠EFD＝90°，∴△BOE≌△EFD，第1题解图②∴∠DEF＝∠EBO.又∵∠EBO＋∠BEO＝90°，∴∠DEF＋∠BEO＝90°，∴∠BED＝180°－90°＝90°，∴DE⊥BE.①当OB与EB是对应边时，∵△BOE∽△BEP，∴∴EP＝.第1题解图②如解图②，过点P作PG⊥y轴于点G，易得△EGP∽△EFD，

∴EG＝

EF＝1，PG＝

DF＝

.当点P在点E的左边时，OG＝EG－EO＝1－1＝0，∴代入直线DE∶y＝－3x－1，得x＝－

，∴点P(－

，0)；当点P在点E的右边时，OG＝EO＋EG＝1＋1＝2，∴代入直线DE∶y＝－3x－1，得x＝

，∴点P(

，－2)；第1题解图②②当OB与EP是对应边时，∵△BOE∽△PEB，∴∴EP＝.过点P作PG⊥y轴于点G，∵△EPG∽△EDF，∴∴EG＝3EF＝9，PG＝3DF＝3.当点P在点E的左边时，OG＝EG－OE＝9－1＝8，第1题解图②(3)点P的坐标为(－

，0)或(，－2)或(－3，8)或(3，－10)．∴代入直线DE：y＝－3x－1，得x＝－3，∴点P(－3，8)；当点P在点E的右边时，OG＝OE＋EG＝1＋9＝10，∴代入直线DE得：y＝－3x－1，x＝3，∴点P(3，－10)．综上所述，满足条件的点P的坐标为(－

，0)或(，－2)或(－3，8)或(3，－10)．第1题解图②2.如图，抛物线y＝

x2＋bx＋c与x轴交于A(－8，0)、B(2，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线上第三象限内的一个动点，连接AC，AD，DC，BC.第2题图(1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标；解：(1)将A(－8，0)、B(2，0)代入y＝

x2＋bx＋c中，∴抛物线的表达式为y＝

x2＋

x－4.当x＝0时，y＝－4，∴点C的坐标为(0，－4)；第2题图(2)当四边形ABCD的面积为36时，求点D的坐标；∵A(－8，0)，B(2，0)，C(0，－4)，∴AB＝10，OC＝4.∴S△ABC＝

AB·OC＝×10×4＝20.∴S△ADC＝S四边形ABCD－S△ABC＝36－20＝16.第2题图GH(2)如解图，过点D作DG⊥AB交AB于点G，交AC于点H.设直线AC的表达式为y＝kx＋d(k≠0)，将A(－8，0)，C(0，－4)代入，得∴直线AC的表达式为y＝－

x－4.第2题图GH设D(x，

x2＋

x－4)(－8＜x＜0)，则H(x，－

x－4)，∴DH＝yH－yD＝(－

x－4)－(x2＋

x－4)＝－

x2－2x，∴S△ADC＝

DH·OA＝×(－

x2－2x)×8＝－x2－8x＝16，解得x1＝x2＝－4，代入抛物线得y＝－6，∴点D的坐标为(－4，－6)；第2题图GH(3)在(2)的条件下，平面内是否存在点M(不与点C重合)，使得以点A，D，M为顶点的三角形与△ACD全等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解法提示】由题意，当以点A，D，M为顶点的三角形与△ACD全等时，可分两种情况进行讨论：①当△ACD△AMD时，CD＝MD，AC＝AM.∵A(－8，0)，C(0，－4)，D(－4，－6)≌第2题图GH∴直线AD的表达式为y＝－

x－12.∵△ACD△AMD，∴点C与点M关于直线AD对称，∴直线CM⊥AD.∴直线CM的表达式y＝

x－4.≌设直线AD的表达式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，将A(－