2021年全国统一高考数学试卷(理科)新课标

2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{x|x2-5x+6>0}，B＝{x|x-1<0}，则A∩B＝（A.(-∞, 1)B.(-2, 1)C.(-3, -1)D.(3, +∞)

2.设z＝-3+2i，则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知AB→=(2, 3)，AC→=(3, t)，|BC→|A.-3B.-2C.2D.3

4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：M1(R+r)2+M2r2=(R+r)A.MB.MC.3D.3

5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A.中位数B.平均数C.方差D.极差

6.若a>b，则（）A.lnB.3C.aD.|a|>|b|

7.设α，β为两个平面，则α // β的充要条件是（）A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α，β平行于同一条直线D.α，β垂直于同一平面

8.若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2A.2B.3C.4D.8

9.下列函数中，以π2为周期且在区间(π4, A.f(x)＝|B.f(x)＝|C.f(x)＝cosD.f(x)＝sin

10.已知α∈(0, π2)，2sin2α＝cos2α+1A.1B.5C.3D.2

11.设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝aA.2B.3C.2D.5

12.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)＝2f(x)，且当x∈(0, 1]时，f(x)＝x(x-1)．若对任意x∈(-∞, m]，都有f(x)≥-89，则m的取值范围是（A.(-∞, B.(-∞, C.(-∞, D.(-∞, 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．

14.已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝-eax．若f(ln2)＝8，则a

15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B=π3，则△ABC的面积为________63

16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD（1）证明：BE⊥平面EB（2）若AE＝A1E，求二面角

18.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P(X＝2)；（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．

19.已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4(1)证明：{an+(2)求{an}

20.已知函数f(x)＝lnx-x+1（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A(x0, ln

21.已知点A(-2, 0)，B(2, 0)，动点M(x, y)满足直线AM与BM的斜率之积为-12．记M的轨迹为曲线C（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．

(i)证明：△PQG是直角三角形；

(ii)求△PQG面积的最大值．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22.在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0, θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ＝4sin（1）当θ0=π3时，求（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23.已知f(x)＝|x-a|x+|x-2|(x-a)．（1）当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；（2）当x∈(-∞, 1)时，f(x)<0，求a的取值范围．

参考答案与试题解析2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】根据题意，求出集合A、B，由交集的定义计算可得答案．【解答】根据题意，A＝{x|x2-5x+6>0}＝{x|x>3或x<2}，

B＝{x|x-1<0}＝{x|x<1}，

则A∩B2.【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】求出z的共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可．【解答】∵z＝-3+2i，

∴z=-3-2i，

∴在复平面内z对应的点为(-3, -2)3.【答案】C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】由BC→=AC→-AB→先求出BC【解答】∵AB→=(2, 3)，AC→=(3, t)，

∴BC→=AC→-AB→=(1, t-3)，

∵|BC4.【答案】D【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由α=rR．推导出M2M1【解答】∵α=rR．∴r＝αR，

r满足方程：M1(R+r)2+M2r5.【答案】A【考点】众数、中位数、平均数【解析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．【解答】根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，

7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，6.【答案】C【考点】不等式的基本性质【解析】取a＝0，b＝-1，利用特殊值法可得正确选项．【解答】取a＝0，b＝-1，则

ln(a-b)＝ln1＝0，排除A；

3a=30=1>3b=3-1=13，排除B；

a3＝03>(-17.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论【解答】对于A，α内有无数条直线与β平行，α∩β或α // β；

对于B，α内有两条相交直线与β平行，α // β；

对于C，α，β平行于同一条直线，α∩β或α // β；

对于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α // β．8.【答案】D【考点】圆锥曲线的综合问题【解析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．【解答】由题意可得：3p-p＝(p2)2，解得9.【答案】A【考点】正弦函数的单调性【解析】根据正弦函数，余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解．【解答】f(x)＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；

f(x)＝cos|x|的周期为2π，可排除C选项；

f(x)＝|sin2x|在π410.【答案】B【考点】二倍角的三角函数【解析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sinαcosα＝2cos2α，结合角的范围可求sinα>0，【解答】∵2sin2α＝cos2α+1，

∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，

∵α∈(0, π2)，sinα>0，cosα>0，

∴cosα11.【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C的离心率．【解答】如图，

以OF为直径的圆的方程为x2+y2-cx＝0，

又圆O的方程为x2+y2＝a2，

∴PQ所在直线方程为x=a2c．

把x=a2c代入x2+y2＝a2，得12.【答案】B【考点】函数与方程的综合运用【解析】因为f(x+1)＝2f(x)，∴f(x)＝2f(x-1)，分段求解析式，结合图象可得．【解答】因为f(x+1)＝2f(x)，∴f(x)＝2f(x-1)，

∵x∈(0, 1]时，f(x)＝x(x-1)∈[-14, 0]，

∴x∈(1, 2]时，x-1∈(0, 1],f(x)＝2f(x-1)＝2(x-1)(x-2)∈[-12, 0]；

∴x∈(2, 3]时，x-1∈(1, 2],f(x)＝2f(x-1)＝4(x-2)(x-3)∈[-1, 0]，

当x∈(2, 3]时，由4(x-2)(x-3)=-89解得x=73或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.【答案】0.98【考点】概率的基本性质【解析】利用加权平均数公式直接求解．【解答】∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，

有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，

∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：

x=110+20+1014.【答案】-3【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】奇函数的定义结合对数的运算可得结果【解答】∵f(x)是奇函数，∴f(-ln2)＝-8，

又∵当x<0时，f(x)＝-eax，

∴f(-ln2)＝-e-aln2＝-8，15.【答案】6【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】利用余弦定理得到c2，然后根据面积公式S△ABC=【解答】由余弦定理有b2＝a2+c2-2accosB，

∵b＝6，a＝2c，B=π3，

∴36＝16.【答案】26,2【考点】球内接多面体【解析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有8+1，个面，下层也有8+1个面，故共有26个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的cos45【解答】该半正多面体共有8+8+8+2＝26个面，设其棱长为x，则x+22x+22三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.【答案】长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C1⊥平面AB以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AE＝A1E＝1，∵BE⊥平面EB1C1，∴BE⊥EB1，∴AB＝1，

则E(1, 1, 1)，A(1, 1, 0)，B1(0, 1, 2)，C1(0, 0, 2)，C(0, 0, 0)，

∵BC⊥EB1，∴EB1⊥面EBC，

故取平面EBC的法向量为m→=EB1→=(-1, 0, 1)，

设平面ECC1【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直【解析】（1）推导出B1C1⊥BE，BE⊥EC1，由此能证明BE⊥平面EB1C【解答】长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C1⊥平面AB以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AE＝A1E＝1，∵BE⊥平面EB1C1，∴BE⊥EB1，∴AB＝1，

则E(1, 1, 1)，A(1, 1, 0)，B1(0, 1, 2)，C1(0, 0, 2)，C(0, 0, 0)，

∵BC⊥EB1，∴EB1⊥面EBC，

故取平面EBC的法向量为m→=EB1→=(-1, 0, 1)，

设平面ECC1

18.【答案】设双方10:10平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k＝1, 2, 3,…)，

则P(X＝2)＝P(A1A2)+P(A1P（X＝4且甲获胜）＝P(A1A2A3A4)+P(【考点】相互独立事件的概率乘法公式相互独立事件【解析】（1）设双方10:10平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k＝1, 2, 3,…)，则P(X＝2)＝P(A1A2)+P(A1A2)＝P(A1)P(A2)+P(A1)P(A【解答】设双方10:10平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k＝1, 2, 3,…)，

则P(X＝2)＝P(A1A2)+P(A1P（X＝4且甲获胜）＝P(A1A2A3A4)+P(19.【答案】(1)证明：∵4an+1＝3an-bn+4，4bn+1＝3bn-an-4，

∴4(an+1+bn+1)＝2(an+bn)，4(an+1-bn+1)＝4((2)解：由(1)可得：an+bn＝(12)n-1，

an-bn＝1+2(n-1)＝【考点】数列递推式等比数列的通项公式等差数列的通项公式【解析】（1）定义法证明即可；

（2）由（1）结合等差、等比的通项公式可得【解答】(1)证明：∵4an+1＝3an-bn+4，4bn+1＝3bn-an-4，

∴4(an+1+bn+1)＝2(an+bn)，4(an+1-bn+1)＝4((2)解：由(1)可得：an+bn＝(12)n-1，

an-bn＝1+2(n-1)＝20.【答案】函数f(x)＝lnx-x+1x-1．定义域为：(0, 1)∪(1, +∞)；

f'(x)=1x+2(x-1)2>0，(x>0且x≠1)，

∴f(x)在(0, 1)和(1, +∞)上单调递增，

①在(0, 1)区间取值有1e2，1e代入函数，由函数零点的定义得，

∵f(1e2)<0，f(1e)>0，f(1e2)⋅f(1e)<0，

∴f(x)在x0是f(x)的一个零点，则有lnx0=x0+1x0-1，

曲线y＝lnx，则有y'=1x；

由直线的点斜式可得曲线的切线方程，

曲线y＝lnx在点A(x0, lnx0)处的切线方程为：y-lnx0=1x0(x-x0)，

即：y=1x0x-1+ln【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）讨论f(x)的单调性，求函数导数，在定义域内根据函数零点大致区间求零点个数，

（2）运用曲线的切线方程定义可证明．【解答】函数f(x)＝lnx-x+1x-1．定义域为：(0, 1)∪(1, +∞)；

f'(x)=1x+2(x-1)2>0，(x>0且x≠1)，

∴f(x)在(0, 1)和(1, +∞)上单调递增，

①在(0, 1)区间取值有1e2，1e代入函数，由函数零点的定义得，

∵f(1e2)<0，f(1e)>0，f(1e2)⋅f(1e)<0，

∴f(x)在x0是f(x)的一个零点，则有lnx0=x0+1x0-1，

曲线y＝lnx，则有y'=1x；

由直线的点斜式可得曲线的切线方程，

曲线y＝lnx在点A(x0, lnx0)处的切线方程为：y-lnx0=1x0(x-x0)，

即：y=1x0x-1+ln21.【答案】由题意得yx+2×yx-2=-12，

整理得曲线C的方程：x

(i)设P(x0, y0)，则Q(-x0, -y0)，

E(x0, 0)，G(xG, yG)，

∴直线QE的方程为：y=y02x0(x-x0)，

与x24+y22=1联立消去y，

得(2x02+y02)x2-2x0y02x+x02y02-8x02=0，

∴-x0xG=【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）利用直接法不难得到方程；

(2)(i)设P(x0, y0)，则Q(-x0, -y0)，E(x0, 0)，利用直线QE的方程与椭圆方程联立求得G点坐标，去证PQ，【解答】由题意得yx+2×yx-2=-12，

整理得曲线C的方程：x

(i)设P(x0, y0)，则Q(-x0, -y0)，

E(x0, 0)，G(xG, yG)，

∴直线QE的方程为：y=y02x0(x-x0)，

与x24+y22=1联立消去y，

得(2x02+y02)x2-2x0y02x+x02y02-8x02=0，

∴-x0xG=（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.【答案】当θ0=π3时，ρ0=4sinπ3=23，

在