专题2.8以旋转为载体的几何综合问题大题专练（培优强化30题）（解析版）

一、解答题12021·湖北武汉·九年级期中）【问题背景】如图1，P为△ABC内一点，连PB、PC．则PC+PB＜AB+AC.小明考虑到“三角形两边之和大于第三边”，延长BP交AC于E，就可以证明上面结论．请按小明的思路完成证明过程；【迁移应用】如图2，在△ABC中，∠BAC＞120°,P为△ABC内一点，求证：PA+PB+PC＞AB+AC.【拓展创新】已知△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，a+b＝4c，6a+3b＝19c，P为△ABC所在平面内一点，则PA+PB+PC的最小值为（用含c的式表示直接写出结果）【答案】【答案】问题背景：见解析；迁移应用：见解析；拓展创新：8C3【分析】问题背景：在△ABE中和△CPE中，分别利用两边之和大于第三边即可证明；迁移应用：将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△DAQ，连接PQ，BD，PD，可得△APQ是等边三角形，则∠BAC+∠CAD＞180°,则可证明；T=30°,将△APC绕点A逆时针旋转60°,则B、A、C'共线，从而解决问题.【详解】解：【问题背景】证明：如图1，延长BP交AC于点E，在△ABE中，AE+AB＞BE＝BP+PE，在△CPE中，PE+CE＞PC，∴AB+AE+CE+PE＞PB+PE+PC，∴AB+AC＞PB+PC，故：PC+PB＜AB+AC；【迁移应用】证明：如图2，将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△DAQ，连接PQ，BD，PD，∴△APQ是等边三角形，∴∠BAC+∠CAD＞180°,∴由问题背景可知：在△BPD中，PB+PD＞AB+AD，在△QPD中，PQ+QD＞PD，∴PB+PQ+QD＞AB+AD，故：PA+PB+PC＞AB+AC；【拓展创新】解：由问题背景知，作BT⊥CA，交CA的延长线于T，设AT＝d，2+d）2+c2﹣d2，化简得将△APC绕点A逆时针旋转60°,则B、A、C'共线，∴∴PA+PB+PC＝PB+PP'+P'C，∴PA+PB+PC的最小值为AB+AC＝c+=,故答案为：.【点睛】【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，熟练掌握三角形三边关系进行转化是解题的关键，有一定的难度.22022·福建·上杭县第三中学九年级阶段练习）如图，在边长为8的等边△ABC中，点D是AB的中点，点E是平面上△ABC外一点，且DE=2，连接BE，将线段EB绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接AF，CE.备用图(1)判断△BEF的形状，并说明理由；(2)求证：AF=CE；(3)当点D，E，F在同一直线上时，请你在备用图中画出符合条件的图形，并求出此时BE的长.【答案】【答案】(1)△BEF是等边三角形(2)证明见解析【分析】（1）根据旋转即可证明△BEF是等边三角形；进而可得AF=CE；（3）当点D，E，F在同一直线上时，过B作BM⊥EF于M，再在Rt△BMD中利用勾股定理列方程求解即∵将线段EB绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，∴EB=EF，∠FEB=60°∴△BEF是等边三角形∵等边△ABC和△BEF∴BF=BE，AB=BC，∠EBF=∠ABC=60°∴∠EBF+∠ABE=∠ABC+∠ABE即∠FBA=∠EBC∴△FBA≌△EBC（SAS）∴AF=CE图形如图所示：过B作BM⊥EF于M，∵△BEF是等边三角形∴BE=2EM，BM=3EM∵点D是AB的中点，∴BD=AB=4在Rt△BMD中，BM2+DM2=BD2∴(3EM)2+(EM+2)2=42解得或EM=【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解一元二次方程，利用手拉手模型构造全等三角形是解题的关键.32022·福建·福州立志中学九年级阶段练习）已知∠ABC=90°,BA=BC，在同一平面内将等腰直角△ABC绕顶点A逆时针旋转（旋转角小于180°)得△ADE.(1)若AE//BD如图（1求旋转角∠BAD度数；(2)当旋转角为60°时，延长ED与BC交于点F，如图（2求证：AC平分∠DAF(3)点P是边BC上动点，将AP绕点A逆时针旋转15°到AG，如图（3）示例，设AB=BC=α,求CG长度最小值（用含α式表示）【答案】(1)90°(2)证明过程见详解26a−2a(3)2【分析】（1）由AE//BD，推出∠ADB=45°,得△ABD为等腰直角三角形，即可得到答案.（2）由旋转60°可推出∠CAD=15°,再证△ABF≌△ADF，再推角，即可证出.（3）将AC绕点A逆时针旋转15°到AH，再证△APC≌△AGH，可知G在GM上动，由点到直线垂线段最短可知，CG最小值为CF长.∴∠BAC=45°由旋转可知AB=AD，∠BAC=∠DAE=45°又∵AE//BD∴∠DAE=∠ADB=45°∴△ABD为等腰直角三角形∴∠BAD=90°证：由旋转可知∠BAD=60°又∵∠BAC=45°∴∠CAD=15°∵∠ADE=90°∴∠ADF=90°在Rt△ABF和Rt△ADF中AB{AF{=AD=AF∴△ABF≌△ADF（HL）∴∠BAF=∠DAF=30°∴∠FAC=15°∴∠CAD=∠FAC∴AC平分∠DAF解：如图，将AC绕点A逆时针旋转15°到AH，连接GH过C作GH垂线，垂足为F由旋转，易证△APC≌△AGH∴∠H=∠ACB=45°∴∠HKC=15°+45°=60°过A作HG延长线垂线，垂足为M可得三角形AMH为等腰直角三角形∵AB=a∴AH=AC=∴AK=233a2a∴CG长度最小值为2a−a36a−2a.2【点睛】本题考查了图像旋转与三角形全等综合，还考查了瓜豆原理．瓜豆原理总结：两动点、两定值．两定值：主动点与定点距离和从动点与定点距离比值为定值；主动点与从动点分别和定点组成的线段夹角为定值．满足两定值时，两动点轨迹相同.42022·北京·清华附中九年级阶段练习）在△ABC中，∠C=90°,∠BAC=30°,点D是CB延长线上一点(∠ADC>30°),连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转60°,得到线段DE，连接EC.(1)依题意，补全图形；(2)若BD=BC=2，求CE的长.(3)延长EC交AB于F，用等式表示线段CE，CF之间的数量关系，并证明.【答案】【答案】(1)答案见解析(2)2(3)CE=CF，理由见解析【分析】（1）按照题意进行画图即可；（2）根据已知条件得到CD=AB，∠BAD=∠EDB，然后得到△ADB≌△DEC，从而求出CE=BD=2；（3）作△ABC关于AC所在直线的对称图形△AGC,并作点F关于AC所在直线的对称点为点H,连接CH,EG,由题意可证得△ADE、△ABG是等边三角形，利用等边三角形的性质以及等量代换可证得△DAB≌△EAG、△CGH≌△CGE，最后得到CE=CF.解：如图所示，解：如图所示，在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,∴AB=2BC=4,∵BD=BC=2,∴CD=4=AB,∵∠BAD+∠BDA=∠ABC=60°,∠EDB+∠BDA=60°,∴∠BAD=∠EDB,在△ADB和△DEC中,AB=DC,∠BAD=∠CDE,AD=DE∴△ADB≌△DEC,则CE=BD=2.解：CE=CF，理由如下，如图所示，作△ABC关于AC所在直线的对称图形△AGC,并作点F关于AC所在直线的对称点为点H,连接CH,EG,∵AD=DE,∠ADE=60°,∴△ADE是等边三角形,AD=AE,∠DAE=60°,∴△ABG是等边三角形，∠BAG=∠AGB=60°,∵∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAG=60°,∴∠DAB=∠EAG,在△DAB和△EAG中，DA=EA,∠DAB=EAG,AB=AG∴△DAB≌△EAG，∴∠AGE=∠ABD=180°−60°=120°,∠CGE=∠AGE−∠AGC=60°=∠CGH,∵∠BCF=∠GCE,∠GCH=∠BCF,∴∠GCE=∠GCH,在△CGH和△CGE中，∠GCH=∠GCE,GC=GC,∠CGH=∠CGE∴△CGH≌△CGE，∴CH=CE,∵CH=CF,【点睛】本题考查了图形旋转性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、特殊角三角函数等知识，牢固掌握全等三角形的判定与性质，采用等量代换的方法是解题关键.52022·福建·福州立志中学九年级阶段练习）在△ABC中，∠ACB=90°,BC=AC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°至△AB'C'的位置.(1)如图1，连接C'C与AB交于点M，则CC'=_____，BC'=_____；(2)如图2，连接BB'，延长CC'交BB'于点D，求CD的长.【答案】(1)2，6−2连接BB'，延长BC'交AB'于点E．由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出AB=2BC=22．又易证△ABB'为等边三角形，即得出AB=BB'=22，∠ABB'=60°.由“SSS”可证△ABC'≅△B'BC'，得出∠ABC'=∠BBC=∠BBC=22，最后由BC'=BE−EC'即可求解；（2）过点B作BF⊥CD于点F．由等边三角形的性质可知∠DBM=∠ACM=60°.又易证∠BDM=∠CAM=45°,即得出△BDF为等腰直角三角形，从而得出DF=BF．再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出BF=1BC=1，CF=3BF=3，最后由CD=DF+CF求解即可.2解：由旋转的性质可知AC'=AC=2，∠CAC'=60°,∴△CAC'为等边三角形，∴CC'=AC'=AC=2；如图，连接BB'，延长BC'交AB'于点E.“上ACB=90°,BC=AC=2，:AB=2BC=22.由旋转可知AB=AB'=22，∠CAC'=60:△ABB'为等边三角形，:AB=BB'=22，∠ABB'=60°,又“BC'=BC'，AC'=B'C'，:△ABC'≅△B'BC'(SSS)，:BE⊥AB'，:AE=:BE=3AE=6.“∠EAC'=45°,:∠EAC'=∠EC'A=45°,:EC'=AE=2，:BC'=BE−EC'=6−2.故答案为：2，6−2如图，过点B作BF⊥CD于点F.∵△ABB'为等边三角形，∴∠DBM=∠ACM=60°.又∵∠DMB=∠AMC，∴∠BDM=∠CAM=45°,∴△BDF为等腰直角三角形，∴DF=BF.∴BF=BC=1，【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，较难．正确的作出辅助线是解题关键.62022·湖北·武汉市武珞路中学九年级阶段练习）如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°,AB＝CE＝26，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD(1)为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系；(2)如图11）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，若∠ACD＝45°,求△PAD的【答案】(1)AD＝2PD(2)成立，证明见解析(3)S△PAD=43−32【分析】（1）利用直角三角形30度角的性质即可解决问题.（2）结论成立．如图1中，延长ED到F，使得DF＝DE，连接BF，CF．利用三角形的中位线定理证明BF＝2PD，再证明AD＝BF即可解决问题.（3）如图1中，延长BF交AD于G，由（2）得到∠FBC=∠DAC，首先证明∠ADP＝60°,解直角三角形求出AD2即可解决问题.解：如图2中，∵△ABC是等边三角形，结论成立.理由：如图1中，延长ED到F，使得DF＝DE，连接BF，CF.∴△DFC是等边三角形，∴∠BCF=∠ACD，∵CF＝CD，∴△BCF≌△ACD（SAS如图1中，延长BF交AD于G，由（2）得到∠FBC=∠DAC，∵DP∥BG，∴∠ADP=∠AGB＝60°,如图3中，作DM⊥AC于M，PN⊥AD于N．设DN＝a，则PD＝2a，AD＝2PD＝4a，PN＝3a，可得PN=AD，:CE=3CD∴CM＝DM＝2．AM＝26-2，在Rt△ADM中，AD2=(26-2)2+22=32-86.在Rt△PAD中，S△PAD=.AD.PN=AD2=43-32.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.72021·河南·睢县第二中学九年级期中）已知：∠AOB=∠COD＝90°,OA＝OB，OC＝OD．(OC＞OA)(1)如图1，连AC、BD，判断：AC与BD之间的关系；并说明理由.(2)若将△COD绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、OC之间数量关系；并说明理由.【答案】(1)AC=BD，AC⊥BD，理由见解析(2)BC2+AC2=2OC2，理由见解析【分析】（1）由“SAS”可证△AOC≌△BOD，可得AC=BD，∠CAO=∠DBO，可证AC⊥BD；（2）连接BD，由“SAS”可证△AOC≌△BOD，可得AC=BD，∠CAO=∠DBO=45°,由勾股定理可得结论.解：AC=BD，AC⊥BD，理由如下：设AC与BO交于N，交BD于E，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD，CO=DO∴△AOC≌△BOD（SAS∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，又∵∠BNE=∠ANO，∴AC⊥BD；BC2+AC2=2OC2，理由如下：如图2，连接BD，∵∠AOB=∠COD=90°,OA=OB，在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD，CO=DO∴△AOC≌△BOD（SAS∴AC=BD，∠CAO=∠DBO=45°,【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键.82021·黑龙江佳木斯·九年级期中）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时如图1易证BM+DN=MN.(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.【答案】(1)BM+DN=MN，理由见解析；(2)DN−BM=MN，理由见解析【分析】（1）把ΔADN绕点A顺时针旋转90°,得到ΔABE，然可得结论；（2）首先证明ΔADQ≌ΔABM，得DQ=BM，再证明ΔAMN≌ΔAQN，得MN=QN，可得结论；解：BM+DN=MN.理由如下：如图2，把ΔADN绕点A顺时针旋转90°,得到ΔABE，∴∠ABE=∠ADN=90°,AE=AN，BE=DN，∴∠ABE+∠ABC=180°,∴点E，点B，点C三点共线，∴∠EAM=90°−∠NAM=90°−45°=45°,又∵∠NAM=45°,在ΔAEM与ΔANM中，AE=AN∠EAM=∠NAM，AM=AM∴ΔAEM≌ΔANM（SAS∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；解：DN−BM=MN.理由如下：在线段DN上截取DQ=BM，在ΔADQ与ΔABM中，AD=AB∠ADQ=∠ABM，DQ=BM∴ΔADQ≌ΔABM（SAS∴∠DAQ=∠BAM，在ΔAMN和ΔAQN中，AQ=AM∠QAN=∠MAN，AN=AN∴ΔAMN≌ΔAQN（SAS∴MN=QN，∴DN−BM=MN.【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题.92022·广东·广州市番禺区实验中学九年级期中）如图，已知直线x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD.(1)点C的坐标是，线段AD的长等于.(2)点M是CD的中点，抛物线y=x2+bx+c经过点C、M.①求b和c的值.②如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在抛物线y=x2+bx+c上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由.【答案】(1)（0，34(2)①b=−，c=3②存在，菱形CFEP的周长l为102或182−8【分析】（1）先利用一次函数解析式确定A(−3，0)，B(0，1)，则OA=3，OB=1，再利用旋转的性质得OC=OA=3，OD=OB=1，从而得到C(0，3)，AD=4；（2）①先确定M(，)，然后把M点和C点坐标代入y=x2+bx+c得{1+1b+c=3，再解方程组可确定b、c的值；②抛物线的解析式为y=x2−x+3，易得直线AC的解析式为y=x+3，讨论：当CE为对角线时，如图1，利用菱形的性质得点F与点P关于y轴对称，设F(t,t+3)，则P(−t,t+3)，再把P(−t,t+3)代入y=x2−72x+3得t2+7t+3=t+3，解方程求出t得到F点坐标，然后计算CF的长，从而得到菱形CFEP的周长l7222t)，再把P(t,t+3−2t)代入y=x2−x+3得t2−t+3=t+3−2t，解方程求出t，然后计算42t可得到此时菱形CFEP的周长l.1313∵△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD，故答案为(0，3)，4；①∵C(0，3)，D(1，0)，而点M是CD的中点，把C(0,3)，M(，)代入y=x2+bx+c得{②存在.抛物线的解析式为y=x2−x+3，∵A(−3,0),C(0,3),∴直线AC的解析式为y=x+3，当CE为对角线时，如图1，∵C、E点在y轴上，四边形CFEP为菱形，∴点F与点P关于y轴对称，设F(t,t+3)，则P(−t,t+3)，把P(−t,t+3)代入y=x2−x+3得t2此时∴菱形CFEP的周长l=102；当CE为边时，如图2，设F(t,t+3)，则CF=t2+(t+3−3)2=2t，∵四边形CEPF为菱形，∵PF∥CE，PF=CF，∴P(t,t+3−2t)，把P(t,t+3−2t)代入y=x2−x+3得t2−t+3=t+3−2t，解得t1=0(舍去)，t2=−2，∴此时菱形CFEP的周长l=42t=42(−2)=182−8，综上所述，菱形CFEP的周长l为102或182−8.【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握旋转的性质、二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式.102020·北京房山·九年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D是△ABC内一动点（不包括△ABC的边界连接AD．将线段AD绕点A顺时针旋转90°,得到线段AE．连接CD，BE.(1)依据题意，补全图形；(2)求证：BE=CD；(3)延长CD交AB于F，交BE于G．连接BD，DE．当△BDE为等腰直角三角形时，请你直接写出=.【答案】【答案】(1)图见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）利用SAS即可证明△EAB≌△DAC，即可得到结论；（3）①根据两角相等的两个三角形相似即可判断；②分两种情形分别求解即可.解：图形如图所示：证明：∵线段AD绕点A顺时针旋转90°,得到线段AE，∴AD=AE，∠DAE=90°,∵∠BAC=90°,∴∠CAD+∠BAD=∠BAE+∠BAD=90°,∴∠CAD=∠BAE.在△EAB和△DAC中，AE=AD∠EAB=∠DAC，AB=AC∴△EAB≌△DACSAS，∴BE=CD.解：或①当∠EDB=90°时，如图，设AD=a，∵AD=AE，∠DAE=90°,∴AE=AD=a，∠AED=45°∴DE=AE2+AD2=a2+a2=2a，∵△BDE为等腰直角三角形，∴BD=DE=2a，∠BED=45°,∠AEB=∠BED+∠AED=45°+45°=90°,∴AB=BE2+AE2=((2+a2②当∠BED=90°时，如图，设AD=a，∵AD=AE，∠DAE=90°,∴AE=AD=a，∠ADE=45°∴DE=AE2+AD2=a2+a2=2a，∵△BDE为等腰直角三角形，∴BE=DE=2a，∠EDB=45°,∠ADB=∠EDB+∠ADE=45°+45°=90°,∴AB=BE2+AE2=2a2+a2=5a，BD2a2故答案为：或.【点睛】本题几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质、【点睛】本题几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想方法．解题的关键是利用参数解决问题.PB=2，PC＝1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到了△BP′A（如图2然后连接PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1)如图2，猜想△APP′是否为直角三角形．并说明理由．并求出∠BPC的度数(2)如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=213，PB＝4，PC＝2，则求：①∠BPC的度数；②直接写出正六边形ABCDEF的边长.【答案】【答案】(1)△APP′是直角三角形，理由见解析，135°【分析】(1)由旋转的性质得出∠P′BP=90°,BP′=BP=2，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，则得出△BPP′为等腰直角三角形，∠BP′P=45°,证出AP2=P'P2+P'A2，可得出△APP′为直角三角形，据此即可求得∠BPC的度数；(2)①把△BPC绕点B逆时针旋转120°,得到了△BP′A，根据旋转的性质得到∠P′BP=120°,BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，则∠BP′P=∠BPP′=30°,得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三边的关系得到BH=BP′=2，P'H=23，得到P'P=2P'H=43，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°,即可求得∠BPC的度数；②过A作AG⊥BP′于G点，利用含30°的直角三角形三边的关系得到GP′=1，AG=3，然后在Rt△AGB中利用勾股定理计算出AB的长即可.解：猜想△APP′是直角三角形.理由如下：如图2，“△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A，:上P′BP=90°，BP′=BP=2，P′A=PC=1，上BP′A=上BPC，:△BPP′为等腰直角三角形，:PP′=2PB=2，上BP′P=45°，在△APP′中，AP=5，PP′=2，AP′=1，“(5)2=22+12，:AP2=P'P2+P'A2，:△APP′为直角三角形，上AP′P=90°，:上BP′A=上BPC=45°+90°=135°；解：①.“六边形ABCDEF为正六边形，:上ABC=120°，“把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，:上P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，上BP′A=上BPC，:上BP′P=上BPP′=30°，如图3：过B作BH丄PP′于H，“BP′=BP，:P′H=PH，在Rt△BP′H中，上BP′H=30°，BP′=4，:BH=BP'=2，P'H=P'B2−BH2=42−22=23，:P'P=2P'H=43，在△APP′中，AP=213，PP'=43，AP′=2，∴AP2=P'P2+P'A2，∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°,∴∠BP′A=30°+90°=120°,②过A作AG⊥BP′于G点，在Rt△AGP′中，AP′=2，∴GP'=AP'=1，AG=P'A2−P'G2=22−12=3，在Rt△AGB中，GB=GP′+P′B=1+4=5，即正六边形ABCDEF的边长为27.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理以及含30°的直角三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握旋转的性质.122020·湖北·公安县教学研究中心九年级期中）将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C＝30°.(1)固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F.①当旋转角等于45°时，求∠BCB1的度数；②当AB⊥A1B1时，试说明AD=CD.(2)将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，当AB⊥A1C时，试猜想A1D与CD的数量关系，并说明理由.【答案】【答案】(1)①135°;②见解析(2)A1D=CD，理由见解析【分析】（1）①根据旋转的性质可得；②根据题意证明△DAC为等腰三角形即可得到解答；（2）利用含30°的直角三角形的性质和旋转的性质证明即可.①由旋转的性质得，上ACA1＝45°:上BCD＝上ACB-上ACA1＝90°-45°=45°:上BCB1＝上BCD+上A1CB1＝45°+90＝135°②“AB丄A1B1:上A1ED＝90°“上B1A1C＝30°:上A1DE＝90°-上A1＝90°-30°=60°:上BDC＝上A1DE＝60°:上B＝60°:上DCB＝180°-上BDC-上B＝60°:上ACA1＝30°“上A＝30°:上ACA1＝上A:△DAC为等腰三角形:AD=CD结论：A1D=CD，理由如下：“AB丄A1C:上ADC＝90°“上A＝30°由旋转的性质得，A1C＝AC∴∴CD＝A1C=A1D.【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质和含30°直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握以上的性质进行求解即可.132020·广东·惠州市惠城区第三十九学校九年级期中）【问题提出】如图①,四边形ABCD中，AD＝CD，【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题.(1)如图②,连接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°,因此可以将△DCB绕到△DAB'，则△BDB'的形状是；(2)在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积.【类比应用】的面积.【答案】【答案】(1)等边三角形(2)【分析】（1）根据旋转的性质得出BD=DB'，∠BDB'=60°,所以△BDB′是等边三角形；（2）根据旋转的性质知等边三角形的边长为3，过点B'作B'M⊥BD，利用等边三角形的性质及勾股定理得出三角形的高，求出△BDB'的面积即可；（3）类比（1连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°,得到△DAB'，连接BB'，延长BA，作B'E⊥BE；易证△AFB'是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE=B'E=1，BB'=10，求△ABB'和△BDB'的面积差即可.4解：如图2，连接BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°,得到△DAB'，∵BD=B'D，∠BDB'=60°∴△BDB'是等边三角形，故答案为：等边三角形；由旋转的性质得：△BCD≌△B'AD，∴四边形ABCD的面积=等边△BDB'的面积，∵BC=AB'=1∴BB'=AB+AB'=2+1=3，∴BB'=BD=3，过点B'作B'M⊥BD，如图2所示：∴BM，∴S四边形ABCD=S△BDB'=×3×=；如图3，连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°,得到△DAB'，连接BB'，延长BA，作B'E⊥BE；∴由旋转得△BCD≌△B'AD∴∴S四边形ABCD=S四边形BDB'A，∴∠BCD+∠BAD=360°-∠ABC-∠ADC=225°,∴∠B'AD+∠BAD=∠BCD+∠BAD=225°,∴∠BAB'=360°-(∠B'AD+∠BAD)=135°∴∠B'AE=45°,∴∆B'AE为等腰直角三角形，∵B'A=BC=2，∴B'E=AE=1，∴BE=AB+AE=2+1=3，∴BB'=BE2+B'E2=10，∴S△ABB'=×AB×B'E=1，∴∆BDB'为等边三角形，同（2）中方法一致，得∆BDB'得高为30，2∴S△BDB'=×10×0=523，∴S四边形ABCD=S四边形BDB'A=S△BDB'−S△ABB'=523−1.【点睛】题目主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点并作出相应图形是解题关键.142020·天津市红桥区教师发展中心九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE.(1)求证：DC平分∠ADE；(2)试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；(3)若BE=BD，求∠ABC的大小（直接写出结果即可【答案】(1)见解析(2)BE⊥AB，理由见解析(3)∠ABC的大小为22.5°【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可；（2）结论：AB丄BE．证明上DBE+上DCE=180°，即可解决问题；（3）连接AF．过点B作BH丄CD交CD的延长线于H，作BT丄CE于T，证明△BHD纟△BTE，推出CB是上DCE的角平分线，得到上ACD=45°，据此求解即可解决问题．证明：“△DCE是由△ACB旋转得到，:CA=CD，上A=上CDE，:上A=上CDA，:上CDA=上CDE，:CD平分上ADE；解：结论：BE丄AB．由旋转的性质可知，上ACD=上BCE，“CA=CD，CB=CE，:上CAD=上CDA=上CBE=上CEB，“上ABC+上CAB+上ACD+上DCB=180°，:上ABC+上CBE+上DCB+上BCE=180°，:上DCE+上DBE=180°，:BE丄AB；解：如图，连接AF，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于H，作BT⊥CE于T，∴∠HBT=∠DBE=90°,∴∠DBH=∠EBT，∴△BHD≌△BTE（AAS∴BH=BT，∵BH⊥CH，BT⊥CE，∴CB是∠DCE的角平分线，∴∠DCB=∠ECB∠DCE=45°,∵AC=CD，∴∠ABC=90°-∠CAD=22.5°.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明△BHD≌△BTE.152021·黑龙江·海林市朝鲜族中学九年级期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°,D为BC边上一点（不与点B，C重合将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：(1)①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是.拓展探究：(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°,D为BC边上一点（不与点B，C重合将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；【答案】【答案】(1)60°,AC＝DC＋EC；(2)∠ACE＝45°,BD2+CD2=2AD2【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE＝90°,根据勾股定理计算即可；∴∠BAC=∠DAE＝60°,∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD，∴AC＝BC＝EC＋CD；理由如下：由（由（1）得，△BAD≌△CAE，∴CE2+CD2=ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2=2AD2.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.162022·全国·九年级期中1）如图1，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点，∠EAF=45°,求证：EF=BE+DF小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图1证明上述结论.(2）如图2，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF=45°,那么线段EF、DF、BE之间有怎样的数量关系？请证明你的结论.【答案】（【答案】（1）见解析2）DF=EF+BE，理由见解析【分析】（1）根据旋转的性质及全等三角形的判定和性质证明即可；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，结合（1）中证明方法进行证明即可.【详解】证明1）∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∵∠ADC=∠B=90°,∴∠DAG=∠BAE，AE=AG，∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠EAE=90°−45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG.∵AF=AF，AE=AG∴△AFG≌△AFE∴EF=FG.∴EF=DF+DG=DF+BE，即EF=BE+DF（2）DF=EF+BE.理由：如图2所示.∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∵∠ADC=∠ABE=90°∴点C、D、G在一条直线上.∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD.∵∠BAG+∠GAD=90°∵∠EAF=45°∴∠FAG=∠EAG−∠EAF=90°−45°=45°∴∠EAF=∠GAF.∴△EAF≌△GAF∴EF=FG∵∵FD=FG+DG【点睛】题目主要考查旋转的性质及全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键.172022·全国·九年级期中1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为.（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90∘,点A，D，E三点在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之前的数量关系．并说明理由.（3）图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转中当点A，D，E在不同一直线上时，设AD与BE相交于点O，旋转角θ(0∘<θ<180∘)尝试在图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由.【答案】（【答案】（1）①60°;②AD=BE2）∠AEB=90°;AE=BE+2CM3）∠AOE的度数是60°或120°.【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；（2）由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠ADC=∠BEC，根据直角三角形中线的性质及各角之间的关系求解即可；（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°,可知∠EAB+∠ABE=120°,根据三角形的内角和定理可知∠AOE=60°.【详解】解1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC{∠ACD=∠BCE，CD=CE:△:△ACD纟△BCE（SAS:上ADC=上BEC．“△DCE为等边三角形，:上CDE=上CED=60°，“点A，D，E在同一直线上，:上AEB=上BEC-上CED=60°，故答案为：60°；②“△ACD纟△BCE，:AD=BE，故答案为：AD=BE；（2）“△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，:CA=CB，CD=CE，上ACB=上DCE=90°．:上ACD=上BCE，:△ACD纟△BCE（SAS:BE=AD，上ADC=上BEC，“△DCE为等腰直角三角形，:上CDE=上CED=45°．“点A，D，E在同一直线上，:上ADC=135°．:上BEC=135°，:上AEB=上BEC-上CED=90°，“△DCE为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，:CM为△DCE的中线，:CM=1DE，2由图可得：AE=AD+DE=BE+2CM；即AE=BE+2CM；（3）如图3，由（1）知△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAB=∠CBA=60°,如图4，【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.182021·河南周口·九年级期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=α,点D，E分别是腰AB，AC的中点，点M，N是射线DE上的动点，且DM=EN.(1)求证：△ADM≥△CEN；(2)在（1）的基础上，△CEN可以看作由△ADM经过两次几何变换得到的，请画出示意图（不写画法，保留画图痕迹并描述变换过程；(3)若α=60°,BC=2，连接AN，当△ACN是直角三角形时，求AN的长.【答案】(1)见详解(2)图见详解，描述见详解（答案不唯一）(3)AN=7或3【分析】（1）由中点及等腰三角形的性质可得AD=AE=CE，及∠ADM=∠AEM=∠CEN，从而由SAS可证明△ADM与△CEN全等；（2）作AB，AC边的垂直平分线，交于点O，将△ADM绕着点O顺时针旋转角(180°−α)，得到△CEF，再把△CEF以EC为对称轴作对称变换，即得△CEN；（3）分两种情况考虑：∠ACN=90°;∠ANC=90°.分别利用勾股定理即可求得AN的长.(1)∵D、E分别是AB、AC的中点，12∵AB=AC12AB，AE=EC=AC，∴AD=AE=CE.∴∠ADM=∠AEM=∠CEN.在△ADM，△CEN中，(2)所画示意图如下：描述：作AB，AC边的垂直平分线，交于点O，将△ADM绕着点O顺时针旋转角(180°−α)，得到△CEF，再把△CEF以EC为对称轴作对称变换，即得△CEN答案不唯一）(3)∴△ADE是等边三角形，当∠ACN=90°时，如图所示，则∠CNE=30°,∴EN=2CE=2，由勾股定理得：CN=3.当∠ANC=90°时，如图所示，∵E是AC的中点，∴∴EN是Rt△ANC斜边AC上的中线，∴EN=AE=EC=1AC=1.2∵∠CEN=60°,∴△CEN是等边三角形，∴当△CAN是直角三角形时，AN=7或3.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的相关性质等知识，涉及分类讨论，利用变换作图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.192021·山西阳泉·九年级期中）综合与实践【问题情境】如图①,在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,点D为AB上一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到的对应线段为CE，连接BE.【问题解决】(1)试判断AD与BE的位置关系和数量关系，并直接写出你的结论；(2)如图②,将△ACD沿AB的垂直平分线对折，得到△BCG，连接EG，过点E作EH∥AB，交BC于点F，交AC于点H，连接HD，FG.①试判断线段EG与EF的数量关系，并证明你的结论；②试判断四边形DGFH的形状，并证明你的结论.【答案】【答案】(1)AD⊥BE，AD=BE(2)①EG=2EF，证明见解析；②四边形DGFH是矩形，证明见解析【分析】(1)利用SAS证明△ACD≌△ECB，得AD=BE，∠CBE=∠CAD=45°,即可得到结论；(2)(2)①通过全等三角形证明∠FGB=∠FEB=∠EBG=90°,且BG=BE，得出四边形FGBE为正方形，从而得出答案；②利用SAS证明△HAD≌△FGB，得∠HDA=∠FGB=90°,利用三个角是直角的四边形是矩形，证结论.（1）解：AD与BE的位置关系为AD丄BE，数量关系为AD=BE；∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°,得AC=BC:匕ACD=匕BCE，匕CAB=匕CBA=45O在△ACD与△BCE中，匕ACE:△ACD≥△BCESAS，:EB丄AD，∴AD与BE的位置关系为AD丄BE，数量关系为AD=BE；:CH=CF，由对折知：CD=CG=CE，匕ACD=匕GCB=匕BCE，BG=BE，:△HCD≥△GCF≥△FCESAS，∴HD=FG=EF，:匕FGB=匕FEB=匕EBG=90O，又∵BG=BE，∴四边形FGBE为正方形，∴EG=2E形.【点睛】本题是几何变换的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，证明四边形FGBE为正方形是解题的关键.202021·辽宁·盘锦市双台区第一中学九年级期中）△ABC与△DCE都是等边三角形，△DCE绕点C逆时针旋转，直线BD，AE交于点F.(2)将图1中的△DCE绕着点C逆时针旋转到如图2的位置，CE与DF交于点H，求∠AFB的度数，判断线段AE与BD的数量关系，并证明你的结论.(3)若AC=2，CD=4，当△DCE绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围.【答案】【答案】(1)60°,AE=BD；(2)∠AFB=120°,AE=BD；【分析】（1）先判断出∠ACE=∠BCD，进而判断出△ACE≌△BCD，得出AE=BD，∠CAE=∠CBD，再用三角形的内角和求出∠AFB的度数；（2）先判断出∠ACE=∠BCD，进而判断出△ACE≌△BCD，得出AE=BD，∠CAE=∠CBD，再用三角形的内角和求出∠AFB的度数；（3）利用三角形的三边关系判断出CB+CD＞BD，CD−BC>BD，即可得出结论(1)解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°.∵△ECD是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，AC＝BC∠ACE=∠BCD，CE＝CD∴△ACE≌△BCD（SAS∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，在△ABF中，∠AFB=180°−∠BAF+∠ABF=180°−∠BAF+∠CBF+∠ABC=180°−∠BAC+∠ABC∴∠AFB=60°.(2)解：120°,AE=BD。∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°.∵△ECD是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，AC＝BC∠ACE=∠BCD，CE＝CD∴△ACE≌△BCD（SAS∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，在△ABF中，∠AFB=180°−∠BAF+∠ABF=180°−∠BAF+180°−∠ABC−∠CBD=−∠BAF+∠ABC+∠ABC+∠BAF=2∠ABC(3)解：在△BCD中，CD−BC<BD，BC+CD>BD，∵当△DCE绕点C逆时针旋转一周时，AC=2，CD=4，∴当点D在CB的延长线上时，BD最小，最小为4−2，当点D在BC的延长线上时，BD最大，最大为4+2，即即BD长的取值范围为4−2≤BD≤4+2.【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，判断出△ACE≌△BCD是解本题的关键.212022·福建省福州第八中学九年级期中）已知正方形ABCD的边长为22，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与直线AD交于点F.(1)连接CQ，证明：CQ=AP；(2)若PC=3AP，求的值；(3)设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求y的最大值.【答案】【答案】(1)证明见解析(2)(3)y=−2x2+2x，y的最大值为2【分析】（1）证明△ABP≌△CBQ即可.（2）利用正方形的性质和全等的性质以及面积关系求出CE和EB的长即可.（3）用含y的式表示出EN后，用面积关系建立关于x和y的等式，化简即可，再利用二次函数的图象与性质求最大值即可.解:∵正方形ABCD,∴AB=CB,∠ABC=90°,∵BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，∴BP=BQ,∠PBQ=90°,∴∠ABP=∠CBQ,4:△ABP纟△CBQ,:CQ=AP.“正方形ABCD的边长为22，“PC=3AP，:PC=3，AP=1，:CQ=1，由正方形可知上ACB=45°,上PAB=4由（1）中△ABP纟△CBQ可知上QCB=上PAB=45°,:上PCQ=90°,上PCB=上QCB=45°,作EM丄AC于M，EN丄CQ于N，:EM=EN，:四边形MENC是正方形，:CN=EN，:CE=CN2+EN2=2EN:S△PCQ=CQ⋅PC=PC⋅EM+QC⋅EN=PC+QC,⋅EN:EN=，:CE=2，:BE=22−2=2，:=.由（2）可得CE=2EN，12CQ⋅PC1212PC+QC⋅EN12PC+AP⋅EN=2EN，CQ=AP=x，PC=4-x，【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的图象与性质，解题关键是能用面积法建立方程.222016·辽宁营口·九年级期中）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°,①当点D在线段BC上时（与点B不重合如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为.②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由.【答案】【答案】(1)①垂直，相等；②成立，理由见解析(2)∠ACB＝45°【分析】（1）①证明△DAB纟△FAC，即可得到CF丄BD，CF＝BD.②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB纟△FAC，所以CF=BD，上ACF＝上ABD．结合上BAC＝90°,AB＝AC，得到上BCF＝上ACB+上ACF＝90度．即CF丄BD.（2）当上ACB＝45°时，过点A作AG丄AC交CB或CB的延长线于点G，则上GAC＝90°,可推出上ACB=上AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF丄BD.①CF丄BD，CF＝BD“上FAD＝上BAC＝90°:上BAD＝上CAF在△BAD与△CAF中，BA=CA“∠BAD=∠CAFAD=AF:△BAD纟△CAF（SAS）:CF＝BD，上ACF＝上ABD，“∠ABD+∠ACD=90°:上BCF＝90°:CF丄BD；故答案为：垂直，相等；②成立，理由如下：“上FAD＝上BAC＝90°:上BAD＝上CAF在△BAD与△CAF中，BA=CA“∠BAD=∠CAF，AD=AF:△BAD纟△CAF（SAS）:CF＝BD，上ACF＝上ACB＝45°,:上BCF＝90°,:CF丄BD；当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G∴AG＝AC，∠AGC=∠ACG＝45°∵AG＝AC，AD＝AF，∵∠GAD=∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC=∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∴∠GAD=∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS∴∠ACF=∠AGD＝45°,∴∠GCF=∠GCA+∠ACF＝90°,∴CF⊥BC.【点睛】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.232022·山东烟台·九年级期中）如图，正方形ABCD中∠PAQ分别交BC，CD于点E，F，连接EF.(2)如图②,以点A为旋转中心，旋转∠PAQ，旋转时保持∠PAQ=45°.当点E，F分别在边BC，CD上时，AE和AF是角平分线吗？如果是，请说出是哪两个角的平分线并给予证明；如果不是，请说明理由；(3)如图③,在②的条件下，当点E，F分别在BC，CD的延长线上时，②中的结论是否成立？只需回答结论，不需说明理由.【答案】(1)62°(2)AE是∠FEB的平分线，AF是∠EFD的平分线，理由见解析(3)AE仍然是∠FEB的平分线，AF不是∠EFD的平分线【分析】（1）延长DH至点H，使DH＝BE，连接AH．先证明△ABE≌△ADH，再证明△FAE≌△FAH，即可得解；（2）延长DH至点H，使DH＝BE，连接AH．同（1）可证△ABE≌△ADH，在证△FAE≌△FAH即可得解；（3）在BC上取一点M，使得BM=DF，连接AM，设AE与FC交于点N，连接MN，先证明△ABM≌△ADF，再设法证明△AFN≌△AMN，即可证明△NFE≌△NME，则有∠FEN=∠MEN，结论得证.延长DH至点H，使DH＝BE，连接AH，∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠ADH＝90°,∴∠BAE＝90°-∠2＝17°,在△ABE和△ADH中，AB=AD，∠B=∠ADH=90°,BE=DH，∴△ABE≌△ADH，∴AE＝AH，∠2=∠H＝73°,∠BAE=∠DAH＝17°,∴∠HAF=∠DAH+∠1＝17°+28°=45°,∵∠EAF＝90°-∠1-∠BAE＝45°,∴∠EAF=∠HAF，又∵AE＝AH，AF＝AF，∴△FAE≌△FAH，∴∠3=∠AFH，∵∠AFH＝90°-∠1＝90°-28°=62°,AE是∠FEB的平分线，AF是∠EFD的平分线，理由：延长DH至点H，使DH＝BE，连接AH，同（1）可证△ABE≌△ADH，∴AE＝AH，∠AEB=∠H，∠1=∠4，∴∠1+∠3＝90°-∠2＝45°,∴∠4+∠3＝90°-∠2＝45°,即∠HAF＝45°,∴∠2=∠HAF，又∵AE＝AH，AF＝AF，∴△FAE≌△FAH，∴∠AFE=∠AFH，∠AEF=∠H，∴∠AEB=∠AEF，∴AE平分∠FEB，AF平分∠EFD；AE仍然是∠FEB的平分线，AF不是∠EFD的平分线，理由如下：在BC上取一点M，使得BM=DF，连接AM，设AE与FC交于点N，连接MN，如图，∵BM=DF，AB=AD，∠ABM=∠ADF，∴△ABM≌△ADF，∴∠MAB=∠DAF，AF=AM，∵∠BAM+∠MAD=90°,∴∠FAN=∠MAN，∵AF=AM，AN=AN，∴△AFN≌△AMN，∴∠FNA=∠MNA，FN=MN，∴∠FNE=180°-∠FNA=180°-∠MNA=∠MNE，∵EN=EN，∴∠FEN=∠MEN，∴AE平分∠FEB，通过对图形的观察可以明显发现，AF不是∠EFD的平分线.即结论得证.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，作辅助线构造出全等三角形是解答本题的关键.242022·福建省福州第十九中学九年级阶段练习）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针方向旋转得到矩形AEFG，使点G落在BC边上.(2)连接DE交AG于点H，求证：H为DE中点.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先根据性质的性质得到AD=AG，则∠ADG=∠AGD，再由矩形的性质推出∠CGD=∠ADG，则∠CGD=∠AGD，由此即可证明结论；（2）如图所示，过点D作DM⊥AG于M，只需要证明△DMH≌△EAH得到DH=EH，即可证明结论.解：由旋转的性质可知AD=AG，∴∠ADG=∠AGD，∵四边形ABCD是矩形，∴DG平分∠AGC；解：如图所示，过点D作DM⊥AG于M，∵四边形ABCD是矩形，由旋转的性质可得∠GAE=∠BAD=90°,AE=AB，∴CD=AE，∴DC=DM=AE，在△DMH和△EAH中，∠DMH=∠EAH=90°∠DHM=∠EHA，DM=EA∴△DMH≌△EAH（AAS∴DH=EH，∴H是DE的中点.【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.252022·陕西·西安市西光中学九年级阶段练习1）数学兴趣小组同学将制作的Rt△ACB和Rt△DCE摆放成如图①所示的位置，且CA=CB，CD=CE，则AD和BE的数量关系为；（2）如图②,在Rt△ABC中，AC=BC，将线段CA绕点C顺时针旋转α（0°<α<90°),得到线段CD，连接AD、BD．小组同学发现无论α为何值，∠ADB的大小不变，请你计算这个定值，并写出计算过程；（3）在第（2）问的基础上，在图③中作∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连接BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系；并证明.【答案】（1）AD=BE，理由见解析2）∠ADB=45°,过程见解析3）2CE+AD=2BE，证明见解析【分析】（1）只需要利用SAS证明△BCE≌△ACD即可得到AD=BE；（2）由旋转的性质可得AC=DC，∠ACD=α,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ADC=90°-1α,2∠BDC=45°-1α,由此求解即可；2（3）如图所示，将△ACE绕点E旋转90度得到△BCM，设CE=a，EF=b，由（2）得BC=CD，根据三线和一定理得到CE垂直平分BD，则BE=DE，∠EFD=∠EFB=90°,BF=DF，证明△BFE≌△DFE进而得到EF=BF=DF，∠BED=90°,证明∠EBC+∠MBC=180°,得到E、B、M三点共线，利用勾股定理求出EM=2a，DE=2b，则AE=2a-2b，AD=22b-2a，即可证明2CE+AD=2BE；【详解】解1）AD=BE，理由如下：∵在Rt△ACB和Rt△DCE中CA=CB，CD=CE，∴∠ACB=∠DCE=90°,∴∠DCE-∠DCB=∠ACB-∠DCB，即∠BCE=∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS∴AD=BE；（2）∠ADB=45°,过程如下：由旋转的性质可得AC=DC，∠ACD=α,∵AC=BC，∴AC=BC=CD，∴∠ADC=∠CAD=180°-∠ACD=90°-1∵在Rt△ABC中，AC=BC，∴∠ACB=90°,=45°-2∴∠BDC=∠CBD==45°-2∴∠ADB=∠ADC-∠BDC=90°-1222（3）2CE+AD=2BE，理由如下：如图所示，将△ACE绕点E旋转90度得到△BCM，设CE=a，EF=b，由（2）得BC=CD，∴∠EAC=∠MBC，∠ECM=90°,EC=CM，AE=BM，∵CE平分∠BCD，∴CE垂直平分BD，∵EF=EF，∴△BFE≌△DFE（SAS）∴∠EBF=∠EDF=∠BEF=∠DEF=45°,∴EF=BF=DF，∠BED=90°,∵∠BEA+∠EAC+∠ACB+∠EBC=360°,∴∠EAC+∠EBC=180°,∴∠EBC+∠MBC=180°,即E、在Rt△ECM中，由勾股定理得：EM=在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE=EF2+DF2=2EF=2b，∴BE=DE=2b，∴AE=BM=EM-BE=2a-2b，∴AD=DE-AE=22b-2a，∴2CE+AD=2a+22b-2a=22b=2BE；【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，四边形内角和定理，三角形内角和定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.262022·湖北·宜昌市长江中学九年级开学考试）如图为正方形ABCD中，点M、N在直线BD上，连接AM，AN并延长交BC、CD于点E、F，连接EN.(1)如图1，若M，N