专题2.8以旋转为载体的几何综合问题大题专练（培优强化30题）（原卷版）

一、解答题12021·湖北武汉·九年级期中）【问题背景】如图1，P为△ABC内一点，连PB、PC．则PC+PB＜AB+AC.小明考虑到“三角形两边之和大于第三边”，延长BP交AC于E，就可以证明上面结论．请按小明的思路完成证明过程；【迁移应用】如图2，在△ABC中，∠BAC＞120°,P为△ABC内一点，求证：PA+PB+PC＞AB+AC.【拓展创新】已知△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，a+b＝4c，6a+3b＝19c，P为△ABC所在平面内一点，则PA+PB+PC的最小值为（用含c的式表示直接写出结果）22022·福建·上杭县第三中学九年级阶段练习）如图，在边长为8的等边△ABC中，点D是AB的中点，点E是平面上△ABC外一点，且DE=2，连接BE，将线段EB绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接AF，CE.备用图(1)判断△BEF的形状，并说明理由；(2)求证：AF=CE；(3)当点D，E，F在同一直线上时，请你在备用图中画出符合条件的图形，并求出此时BE的长.32022·福建·福州立志中学九年级阶段练习）已知∠ABC=90°,BA=BC，在同一平面内将等腰直角△ABC绕顶点A逆时针旋转（旋转角小于180°)得△ADE.(1)若AE//BD如图（1求旋转角∠BAD度数；(2)当旋转角为60°时，延长ED与BC交于点F，如图（2求证：AC平分∠DAF(3)点P是边BC上动点，将AP绕点A逆时针旋转15°到AG，如图（3）示例，设AB=BC=α,求CG长度最小值（用含α式表示）42022·北京·清华附中九年级阶段练习）在△ABC中，∠C=90°,∠BAC=30°,点D是CB延长线上一点(∠ADC>30°),连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转60°,得到线段DE，连接EC.(1)依题意，补全图形；(2)若BD=BC=2，求CE的长.(3)延长EC交AB于F，用等式表示线段CE，CF之间的数量关系，并证明.52022·福建·福州立志中学九年级阶段练习）在△ABC中，∠ACB=90°,BC=AC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°至△AB'C'的位置.(1)如图1，连接C'C与AB交于点M，则CC'=_____，BC'=_____；(2)如图2，连接BB'，延长CC'交BB'于点D，求CD的长.62022·湖北·武汉市武珞路中学九年级阶段练习）如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°,AB＝CE＝26，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD(1)为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系；(2)如图11）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，若∠ACD＝45°,求△PAD的72021·河南·睢县第二中学九年级期中）已知：∠AOB=∠COD＝90°,OA＝OB，OC＝OD．(OC＞OA)(1)如图1，连AC、BD，判断：AC与BD之间的关系；并说明理由.(2)若将△COD绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、OC之间数量关系；并说明理由.82021·黑龙江佳木斯·九年级期中）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时如图1易证BM+DN=MN.(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.92022·广东·广州市番禺区实验中学九年级期中）如图，已知直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD.(1)点C的坐标是，线段AD的长等于.(2)点M是CD的中点，抛物线y=x2+bx+c经过点C、M.①求b和c的值.②如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在抛物线y=x2+bx+c上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由.102020·北京房山·九年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D是△ABC内一动点（不包括△ABC的边界连接AD．将线段AD绕点A顺时针旋转90°,得到线段AE．连接CD，BE.(1)依据题意，补全图形；(2)求证：BE=CD；(3)延长CD交AB于F，交BE于G．连接BD，DE．当△BDE为等腰直角三角形时，请你直接写出=.PB=2，PC＝1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到了△BP′A（如图2然后连接PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1)如图2，猜想△APP′是否为直角三角形．并说明理由．并求出∠BPC的度数(2)如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=213，PB＝4，PC＝2，则求：①∠BPC的度数；②直接写出正六边形ABCDEF的边长.122020·湖北·公安县教学研究中心九年级期中）将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C＝30°.(1)固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F.①当旋转角等于45°时，求∠BCB1的度数；②当AB⊥A1B1时，试说明AD=CD.(2)将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，当AB⊥A1C时，试猜想A1D与CD的数量关系，并说明理由.132020·广东·惠州市惠城区第三十九学校九年级期中）【问题提出】如图①,四边形ABCD中，AD＝CD，【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题.(1)如图②,连接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°,因此可以将△DCB绕到△DAB'，则△BDB'的形状是；(2)在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积.【类比应用】的面积.142020·天津市红桥区教师发展中心九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE.(1)求证：DC平分∠ADE；(2)试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；(3)若BE=BD，求∠ABC的大小（直接写出结果即可）.152021·黑龙江·海林市朝鲜族中学九年级期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°,D为BC边上一点（不与点B，C重合将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：(1)①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是.拓展探究：(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°,D为BC边上一点（不与点B，C重合将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；162022·全国·九年级期中1）如图1，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点，∠EAF=45°,求证：EF=BE+DF小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图1证明上述结论.(2）如图2，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，∠EAF=45°,那么线段EF、DF、BE之间有怎样的数量关系？请证明你的结论.172022·全国·九年级期中1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为.（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90∘,点A，D，E三点在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之前的数量关系．并说明理由.（3）图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转中当点A，D，E在不同一直线上时，设AD与BE相交于点O，旋转角θ(0∘<θ<180∘)尝试在图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由.182021·河南周口·九年级期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=α,点D，E分别是腰AB，AC的中点，点M，N是射线DE上的动点，且DM=EN.(1)求证：△ADM≌△CEN；(2)在（1）的基础上，△CEN可以看作由△ADM经过两次几何变换得到的，请画出示意图（不写画法，保留画图痕迹并描述变换过程；(3)若α=60°,BC=2，连接AN，当△ACN是直角三角形时，求AN的长.192021·山西阳泉·九年级期中）综合与实践【问题情境】如图①,在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,点D为AB上一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到的对应线段为CE，连接BE.【问题解决】(1)试判断AD与BE的位置关系和数量关系，并直接写出你的结论；(2)如图②,将△ACD沿AB的垂直平分线对折，得到△BCG，连接EG，过点E作EH∥AB，交BC于点F，交AC于点H，连接HD，FG.①试判断线段EG与EF的数量关系，并证明你的结论；②试判断四边形DGFH的形状，并证明你的结论.202021·辽宁·盘锦市双台区第一中学九年级期中）△ABC与△DCE都是等边三角形，△DCE绕点C逆时针旋转，直线BD，AE交于点F.(2)将图1中的△DCE绕着点C逆时针旋转到如图2的位置，CE与DF交于点H，求∠AFB的度数，判断线段AE与BD的数量关系，并证明你的结论.(3)若AC=2，CD=4，当△DCE绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围.212022·福建省福州第八中学九年级期中）已知正方形ABCD的边长为22，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与直线AD交于点F.(1)连接CQ，证明：CQ=AP；(2)若PC=3AP，求的值；(3)设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求y的最大值.222016·辽宁营口·九年级期中）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°,①当点D在线段BC上时（与点B不重合如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为.②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由.232022·山东烟台·九年级期中）如图，正方形ABCD中∠PAQ分别交BC，CD于点E，F，连接EF.(2)如图②,以点A为旋转中心，旋转∠PAQ，旋转时保持∠PAQ=45°.当点E，F分别在边BC，CD上时，AE和AF是角平分线吗？如果是，请说出是哪两个角的平分线并给予证明；如果不是，请说明理由；(3)如图③,在②的条件下，当点E，F分别在BC，CD的延长线上时，②中的结论是否成立？只需回答结论，不需说明理由.242022·福建省福州第十九中学九年级阶段练习）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针方向旋转得到矩形AEFG，使点G落在BC边上.(1)连接DG，求证：GD平分∠AGC；(2)连接DE交AG于点H，求证：H为DE中点.252022·陕西·西安市西光中学九年级阶段练习1）数学兴趣小组同学将制作的Rt△ACB和Rt△DCE摆放成如图①所示的位置，且CA=CB，CD=CE，则AD和BE的数量关系为；（2）如图②,在Rt△ABC中，AC=BC，将线段CA绕点C顺时针旋转α（0°<α<90°),得到线段CD，连接AD、BD．小组同学发现无论α为何值，∠ADB的大小不变，请你计算这个定值，并写出计算过程；（3）在第（2）问的基础上，在图③中作∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连接BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系；并证明.262022·湖北·宜昌市长江中学九年级开学考试）如图为正方形ABCD中，点M、N在直线BD上，连接AM，AN并延长交BC、CD于点E、F，连接EN.(1)如图1，若M，N都在线段BD上，且AN=NE，求∠MAN；(2)如图2，当点M在线段DB延长线上时，AN=NE1）中∠MAN的度数不变，判断BM，DN，MN之间的数量关系并证明；(3)如图3，若点M在DB的延长线上，N在BD的延长线上，且∠MAN=135°,AB=6，MB=3，求DN.272022·福建·宁德市博雅培文学校九年级阶段练习）如图1，边长为4的正方形ABCD与边长为a（1<a<4）的正方形CFEG的顶点C重合点E在对角线AC上.(1)【问题发现】如图1，AE与BF的数量关系为.(2)【类比探究】如图2，将正方形CFEG绕点C顺时针旋转α度（0<α<45问题发现中的结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由.(3)【