八年级上册数学 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明单元测试卷（沪科版）

第十三章三角形中的边角关系、命题与证明注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（

）A． B． C． D．3．（23-24七年级下·河北邢台·期中）对于命题“若，则．”下面四组关于的值中，能够作为反例说明这个命题是假命题的是（

）A． B． C． D．4．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于”时，应假设这个直角三角形中（

）A．有一个锐角小于 B．两个锐角都小于C．两个锐角都大于 D．有一个锐角大于5．（22-23九年级下·浙江·阶段练习）如图四个图形中，线段是的高的图是（

）A．

B．

C．

D．

6．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．若，，，则的值为（

）A．5 B．6 C．15 D．307．（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（）张A． B． C． D．8．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）如图，在四边形中，，延长至点，连接、，交于点．若，，，则的度数为（

）A． B． C． D．9．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为，则的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．1010．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）某次歌手大奖赛中，呼声最高的六名选手为a，b，c，d，e，f，他们顺利地进入决赛争夺前六名，甲预测比赛结果为，结果没有猜中任何一名选手的名次，乙预测比赛结果为，他猜中了两名选手的名次，丙预测比赛结果为，丁预测比赛结果为，丙和丁虽然没有猜中名次，但各猜对了两对相邻选手的名次顺序，那么实际的名次顺序是（

）A． B． C． D．二、填空题（6小题，每小题2分，共16分）11．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，于，那么图中以为高的三角形共有个．12．（2024·北京东城·二模）当，时，可以说明“若，则”是假命题（写出一组，的值即可）．13．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）三边长不等的的两条边长分别为2和3，则且第三边长为整数值，则这个三角形的第三边长为．14．（2024·陕西西安·模拟预测）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著．请写出命题“如果，那么”的逆命题：．15．（23-24七年级上·福建漳州·期中）容器中有“O、P、Q”三种颗粒，若相同种类的颗粒发生碰撞，则会变成1个“P颗粒；若不同种类的颗粒发生碰撞，则会变成另一种颗粒，例如：一个“O”颗粒和一个“P”颗粒进行碰撞，则会变成一个“Q”颗粒．现有“O”颗粒11个，“P”颗粒10个，“Q”颗粒12个，经过两两碰撞后，最后一个颗粒一定不是颗粒．16．（2024·湖北孝感·三模）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为．三、解答题（9小题，共64分）17．（22-23七年级下·全国·单元测试）“”是真命题还是假命题？请说明理由18．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知的周长为，(1)若，求的长；(2)若，求三条边的长．19．（2023八年级下·浙江·专题练习）用反证法证明：(1)已知：，求证：a必为负数．(2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．20．（22-23八年级上·安徽六安·期末）在中，，(1)求、、的度数；(2)按边分类，属于什么三角形？按角分类，属于什么三角形？21．（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，已知．

(1)若，，的长是偶数，请求出的值；(2)作分别交，的延长线于点，，若，，求的度数．22．（2023八年级上·全国·专题练习）用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”证明：假设所求证的结论不成立，即∠A60°，∠B60°，∠C60°，则∠A+∠B+∠C＞．这与相矛盾．∴不成立．∴．23．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下：证明：∵，∴>．∴．∵，，∴．∴．∴．【问题解决】(1)请将上面的证明过程填写完整；(2)有以下几个条件：①，②，③，④．请从中选择两个作为已知条件，得出结论．你选择的条件序号是，并给出证明过程．24．（2023七年级下·江苏·专题练习）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：第一题第二题第三题第四题第五题得分甲CCABB4乙CCBBC3丙BCCBB2丁BCCBA(1)则丁同学的得分是；(2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）25．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）发现与探究：三角形的重心三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点G，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，．(1)若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系，并证明你的猜想．(2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积，如果面积为m，用含有m的式子表示的面积为，=(3)图4中点D、E在的边上，交于G，G是重心，，，，求四边形的面积．

第十三章三角形中的边角关系、命题与证明注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题2分，共20分）1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】C【分析】本题主要考查了三角形三边关系，即“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”．根据三角形三边关系判断即可．【详解】解：A．，不能组成三角形，故本选项不符合题意；B．，不能组成三角形，故本选项不符合题意；C．，能组成三角形，故本选项符合题意；D．，不能组成三角形，故本选项不符合题意．故选：C．2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查反证法的应用，熟练掌握反证法的一般步骤，理解假设结论不成立即结论的反面成立是解题的关键．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立即结论的反面成立进行解答即可．【详解】解：用反证法证明“在中，若，则”时，应假设，故选：C．3．（23-24七年级下·河北邢台·期中）对于命题“若，则．”下面四组关于的值中，能够作为反例说明这个命题是假命题的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查举反例，根据反例满足条件，与结论矛盾，进行判断即可．【详解】解：A、，不能作为反例；B、，且，不能作为反例；C、，不能作为反例；D、，但，不满足，故可以作为反例；故选D．4．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于”时，应假设这个直角三角形中（

）A．有一个锐角小于 B．两个锐角都小于C．两个锐角都大于 D．有一个锐角大于【答案】B【分析】本题考查反证法．熟练掌握反证法的第一步，假设结论不成立，是解题的关键．根据反证法中假定结论不成立，进行判断即可．【详解】解：至少有一个锐角不小于的反面是两个锐角都小于故选B．5．（22-23九年级下·浙江·阶段练习）如图四个图形中，线段是的高的图是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形的高线的定义是解题的关键；三角形的高是从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段，据此求解即可．【详解】解：根据三角形高的定义可知四个选项中只有D选项中线段是的高，故选：D．6．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．若，，，则的值为（

）A．5 B．6 C．15 D．30【答案】A【分析】本题主要考查了三角形高的定义，直接根据公式代值计算即可．【详解】解：∵，，∴故选：A．7．（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（）张A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了以代数为背景的推理与论证．利用张红牌换张银牌和张蓝牌，张蓝牌换张银牌和张红牌，分别结合牌的张数表示出每次换取的银牌张数以及对应红或蓝牌的数量进而求出答案．【详解】解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌，此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌，利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌，此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌，利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌，此时还剩（张）蓝牌，利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌，此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌，此时还剩张蓝牌，则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌，此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束．故张浩手中最后有银牌：（张）．故选：D．8．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）如图，在四边形中，，延长至点，连接、，交于点．若，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，熟悉掌握平行线的性质是解题的关键．设，则，利用三角形的内角和运算出的值，再利用平行线的性质求解即可．【详解】解：设，则，∴在中，，即，解得：，∴，，∵，∴，∵，∴，故选：C．9．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为，则的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积；连接，利用三角形中线的性质依次求出，，与的面积间的关系，然后根据四边形的面积为求出的面积，进而可求出边上的高，即为的最小值．【详解】解：连接，如图，

∵点为的中点，∴，∵为的中线，∴，，∵点为中点，∴，∵四边形的面积为，∴，即，解得，作于点，如图，

∵，∴，∴，∵，∴的最小值是；故选：C．10．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）某次歌手大奖赛中，呼声最高的六名选手为a，b，c，d，e，f，他们顺利地进入决赛争夺前六名，甲预测比赛结果为，结果没有猜中任何一名选手的名次，乙预测比赛结果为，他猜中了两名选手的名次，丙预测比赛结果为，丁预测比赛结果为，丙和丁虽然没有猜中名次，但各猜对了两对相邻选手的名次顺序，那么实际的名次顺序是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了推理与论证，解决本题的关键，是要综合考虑甲乙丙丁的猜测情况，利用排除法解答．根据丙预测比赛结果为，丁预测比赛结果为，丙和丁没有猜中名次，可排除B和D，根据丙预测比赛结果为，丁预测比赛结果为，丙和丁虽然没有猜中名次，但各猜对了两对相邻选手的名次顺序，可判断正确的顺序有组合且不是第四名和第五名，不是第三名，根据甲预测比赛结果为，结果没有猜中任何一名选手的名次，可判断不是第四名，排除C．【详解】解：丙预测比赛结果为，丁预测比赛结果为，丙和丁没有猜中名次，可排除B和D，丙预测比赛结果为，丁预测比赛结果为，丙和丁虽然没有猜中名次，但各猜对了两对相邻选手的名次顺序，正确的顺序有组合且不是第四名和第五名，不是第三名，甲预测比赛结果为，结果没有猜中任何一名选手的名次，不是第四名，排除C．故选：A．二、填空题（6小题，每小题2分，共16分）11．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，于，那么图中以为高的三角形共有个．【答案】6【分析】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．由于于，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线上，由此即可确定以为高的三角形的个数．【详解】解：于，而图中有一边在直线上，且以为顶点的三角形有6个，以为高的三角形有6个．故答案为：6．12．（2024·北京东城·二模）当，时，可以说明“若，则”是假命题（写出一组，的值即可）．【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）【分析】本题考查了举例说明命题的真假，由当，时，得出，但，，即，即可得解．【详解】解：当，时，，但，，即，故当，时，可以说明“若，则”是假命题，故答案为：，（答案不唯一）．13．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）三边长不等的的两条边长分别为2和3，则且第三边长为整数值，则这个三角形的第三边长为．【答案】【分析】此题考查三角形三边关系．根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．【详解】解：设第三边长为，由题可得，则，又∵c为不等于和的整数，∴为，故答案为：．14．（2024·陕西西安·模拟预测）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著．请写出命题“如果，那么”的逆命题：．【答案】如果，那么【分析】本题考查了命题的逆命题，掌握逆命题的定义是解题的关键．根据逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换即可．互逆命题的定义：如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题，如把其中一个称为原命题，那么另一个称为它的逆命题．【详解】“如果，那么”的逆命题是：如果，那么．故答案为：如果，那么．15．（23-24七年级上·福建漳州·期中）容器中有“O、P、Q”三种颗粒，若相同种类的颗粒发生碰撞，则会变成1个“P颗粒；若不同种类的颗粒发生碰撞，则会变成另一种颗粒，例如：一个“O”颗粒和一个“P”颗粒进行碰撞，则会变成一个“Q”颗粒．现有“O”颗粒11个，“P”颗粒10个，“Q”颗粒12个，经过两两碰撞后，最后一个颗粒一定不是颗粒．【答案】P【分析】本题主要考查了分类思想，逻辑推理，分析问题解决问题的能力，解题的关键是读懂题意写出六种可能的碰撞，且每碰撞一次颗粒总数减少一个，33个颗粒经过32次碰撞后将变为1个．【详解】解：O、P、Q三种颗粒每一次碰撞会产生以下6种可能的情况：O与O碰撞，会产生一个P颗粒，减少两个O颗粒，增加1个P颗粒，O、Q总数共减少2个，P与P碰撞，会产生一个P颗粒，减少两个P颗粒，减少1个P颗粒，O、Q总数不变，Q与Q碰撞，会产生一个P颗粒，减少两个Q颗粒，增加1个P颗粒，O、Q总数共减少2个，O与P碰撞，会产生一个Q颗粒，O与P各减少1个，减少1个P颗粒，O、Q总数不变，O与Q碰撞，会产生一个P颗粒，O与Q各减少1个，增加1个P颗粒，O、Q总数减少2个，Q与P碰撞，会产生一个O颗粒，Q与P各减少1个，减少1个P颗粒，O、Q总数不变，从P颗粒角度看，每碰撞1次，P颗粒增加或减少1个，共有个颗粒，经过次碰撞后，剩余1个颗粒，整个过程变化了偶数次，由于开始时P颗粒为10个，因此经过次碰撞后，剩余的P颗粒一定为偶数，所以最后一个颗粒一定不是P颗粒．故答案为：P．16．（2024·湖北孝感·三模）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为．【答案】/度【分析】本题考查的知识点是三角形内角和定理的应用，解题关键是理解反射角等于入射角．根据题意得到后，结合三角形内角和定理即可求解．【详解】解：依题得：，，，中，．故答案为：．三、解答题（9小题，共64分）17．（22-23七年级下·全国·单元测试）“”是真命题还是假命题？请说明理由【答案】假命题，理由见解析【分析】举出一个反例即可说明“”是假命题．【详解】解：“”是假命题，理由如下：∵当时，，∴“”是假命题．【点睛】本题主要考查了命题的概念，要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可．18．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知的周长为，(1)若，求的长；(2)若，求三条边的长．【答案】(1)的长是(2)，，【分析】（1）根据三角形的周长公式列出关于的方程并解答即可求得答案；（2）设，则，根据三角形的周长公式列出方程并解答．【详解】（1）由题意，得，解得．即的长是．（2）设，则，，由题意，得，解得．故，，．所以，，．【点睛】本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形的周长公式．19．（2023八年级下·浙江·专题练习）用反证法证明：(1)已知：，求证：a必为负数．(2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）首先假设，则，与已知矛盾，因此a必为负数．（2）假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，设这两个整数为，则有，因为，可得前后矛盾，因此假设结论不成立，进而得出答案．【详解】（1）证明：假设，则，这与已知相矛盾，∴假设不成立，∴a必为负数；（2）证明：假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为，则，∵，∴假设不成立，∴的整数k不能化为两个整数的平方和．【点睛】本题考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系是解题关键．20．（22-23八年级上·安徽六安·期末）在中，，(1)求、、的度数；(2)按边分类，属于什么三角形？按角分类，属于什么三角形？【答案】(1)；(2)按边分类，属于等腰三角形；按角分类，属于直角三角形【分析】（1）设∠A=∠B=x，则∠C=2x，根据三角形内角和定理列方程求解即可；（2）根据三角形按边分类和按角分类即可．【详解】（1）解：∠A=∠B=x，则∠C=2x，根据三角形内角和定理，得x+x+2x=180°,解得：x=45°，∴∠A=∠B=x=45°，∠C=2x=90°；（2）解：∵∠A=∠B=x=45°，∴AC=BC，∴△ABC按边分类是等腰三角形；∵∠C=90°，∴△ABC按角分类是直角三角形．【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形分类，掌握三角形内角和定理和三角形分类方法是解题的关键．21．（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，已知．

(1)若，，的长是偶数，请求出的值；(2)作分别交，的延长线于点，，若，，求的度数．【答案】(1)4或6(2)【分析】（1）根据题意，得，结合长是偶数，计算即可．（2）根据两直线平行，同旁内角互补，得到，再利用三角形内角和定理计算即可．本题考查了三角形的三边关系定理，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握三边关系定理，平行线的性质定理是解题的关键．【详解】（1）∵，，∴，∴，∵的长是偶数，∴的长是4或6．（2）∵，∴，∴，∵，∴．22．（2023八年级上·全国·专题练习）用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”证明：假设所求证的结论不成立，即∠A60°，∠B60°，∠C60°，则∠A+∠B+∠C＞．这与相矛盾．∴不成立．∴．【答案】，，，，内角和为，假设，求证的命题正确．【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．【详解】证明：假设所求证的结论不成立，即，，，则．这与内角和为相矛盾．∴假设不成立．∴求证的命题正确．故答案为：【点睛】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．23．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下：证明：∵，∴>．∴．∵，，∴．∴．∴．【问题解决】(1)请将上面的证明过程填写完整；(2)有以下几个条件：①，②，③，④．请从中选择两个作为已知条件，得出结论．你选择的条件序号是，并给出证明过程．【答案】(1)见解析(2)②④，证明见解析【分析】（1）根据，可得>ab．从而得到．再由，，可得ac．从而得到．即可求证；（2）选择②④．理由：根据a<b，b<0，可得a<0．再由绝对值的性质可得，．然后根据a<b，可得，即可．【详解】（1）证明：∵，∴>ab．∴．∵，，∴ac．∴．∴．（2）解∶选择②④．证明如下：∵a<b，b<0，∴a<0．∴，．∵a<b，∴．∴．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键．24．（2023七年级下·江苏·专题练习）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：第一题第二题第三题第四题第五题得分甲CCABB4乙CCBBC3丙BCCBB2丁BCCBA(1)则丁同学的得分是；(2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）【答案】(1)3(2)（答案不唯一）【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；（2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论．【详解】（1）解：当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，当甲选错了第2题，那么其余四道全对，针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合