8.1.1-2020中考数学复习：《归纳与猜想》2019年全国中考题型大全(含答案)

班级班级_______________________姓名_____________考场号__________考号_________密封线PAGE３０8.1.1归纳与猜想2019一、选择题1.(2019湖北省鄂州市)（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为（）A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣32.(2019湖北省十堰市)（3分）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（）A．50 B．60 C．62 D．713.(2019湖南省娄底市)（3分）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点从为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点的纵坐标为A． B． C．0 D．14.(2019湖南省张家界市)（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）5.(2019内蒙古赤峰市)（3分）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019 B． C． D．二、填空题6.(2019甘肃省白银九市)（4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．7.(2019甘肃省)（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝．8.(2019贵州省安顺市)（4分）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4行的数是12，则位于第45行、第7列的数是．9.(2019贵州省黔南州)（3分）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案与第1个至第4个中的第个箭头方向相同（填序号）．10.(2019黑龙江省鸡西市)（3分）如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到△；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到△；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到△记△、△、△的面积分别为、、，如此下去，则．11.(2019黑龙江省齐齐哈尔市)（3分）如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则Sn＝．12.(2019黑龙江省绥化市)（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2019的坐标是．13.(2019湖北省黄石市)（3分）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是．14.(2019湖北省仙桃潜江天门江汉油田)（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x+上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是．15.(2019湖北省咸宁市)（3分）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．16.(2019湖南省怀化市)（4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是．17.(2019江苏省扬州市)（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4、…；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1；过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3…，则4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝．18.(2019辽宁省本溪市)（3分）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为（结果用含正整数n的代数式表示）19.(2019山东省德州市)（4分）如图，点、、在反比例函数的图象上，点、、在反比例函数的图象上，，且，则为正整数）的纵坐标为．（用含的式子表示）20.(2019山东省潍坊市)（3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为．（n为正整数）21.(2019四川省攀枝花市)（4分）正方形，，，按如图所示的方式放置，点，，，和点，，，分别在直线和轴上．已知点，点，则的坐标是．三、解答题22.(2019内蒙古赤峰市)（14分）问题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．探究发现（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；数学思考（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程；拓展引申（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM＝BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC＝BC＝4，请你直接写出BQ的最大值．23.(2019安徽省)（8分）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第个等式：（用含的等式表示），并证明．参考答案一、选择题1.分析直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，再由面积公式即可求解；解答解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，∴B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，Sn＝×2n﹣1×2n＝；故选：D．点评本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键．2.分析根据题目中的数据可以发现，分子变化是1，（1，2），（1，2，3），…，分母变化是1，（2，1），（3，2，1），…，从而可以求得第n个数为时n的值，本题得意解决．解答解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…，∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，故选：B．点评本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．3.分析先计算点走一个的时间，得到点纵坐标的规律：以1，0，，0四个数为一个周期依次循环，再用，得出在第2019秒时点的纵坐标为是．解答解：点运动一个用时为秒．如图，作于，与交于点．在中，，，，，，第1秒时点运动到点，纵坐标为1；第2秒时点运动到点，纵坐标为0；第3秒时点运动到点，纵坐标为；第4秒时点运动到点，纵坐标为0；第5秒时点运动到点，纵坐标为1；，点的纵坐标以1，0，，0四个数为一个周期依次循环，，第2019秒时点的纵坐标为是．故选：．点评本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点纵坐标的规律：以1，0，，0四个数为一个周期依次循环．也考查了垂径定理．4.分析探究规律，利用规律解决问题即可．解答解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3，∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．点评本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．5.分析根据将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，余下面积为原来面积的一半即可解答．解答解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，第一次：余下面积，第二次：余下面积，第三次：余下面积，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，故选：C．点评本题考查图形的变化，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．二、填空题6.分析由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．解答解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．点评本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．7.分析根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．解答解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n﹣1＝2019，n＝1010，故答案为：1010．点评本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．8.分析观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019解答解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019，故答案为2019点评本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．9.分析根据图形可以看出4个图形一循环，然后再2019÷4＝504…3，从而确定是第3个图形．解答解：2019÷4＝504…3，故第2019个图案中的指针指向与第3个图案相同，故答案为：3点评主要考查了图形的变化类，学生通过特例分析从而归纳总结出规律是解决问题的关键．10.分析首先求出、、，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．解答解：四边形是正方形，，，，，，，同理可求：，，，，故答案为：．点评本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到的规律是解题的关键．11.分析由直线l：y＝x+1可求出与x轴交点A的坐标，与y轴交点A1的坐标，进而得到OA，OA1的长，也可求出Rt△OAA1的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是含有30°角的直角三角形，然后这个求出S1、S2、S3、S4、……根据规律得出Sn．解答解：直线l：y＝x+1，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣∴A（﹣，0）A1（0，1）∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l，∴∠OA1B1＝30°，在Rt△OA1B1中，OB1＝•OA1＝，∴S1＝；同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，∴S2＝＝＝；依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……因此：Sn＝故答案为：．点评考查一次函数的图象和性质、解直角三角形、三角形的面积、以及找规律归纳总结结论的能力，由于数据较繁琐、计算量交点，容易出现错误；因此在方法正确的前提下，认真正确的计算则显得尤为重要．12.分析通过观察可知，纵坐标每6个进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果便可．解答解：由题意知，A1（，）A2（1，0）A3（，）A4（2，0）A5（，﹣）A6（3，0）A7（，）…由上可知，每个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：，0，，0，﹣这样循环，∴A2019（，），故答案为：（，）．点评本题是一个规律题，根据题意求出点的坐标，从中找出规律来，这是解题的关键所在．13.分析根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第20行第19个数是多少，本题得以解决．解答解：由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628，∴第20行第19个数是：628﹣3＝625，故答案为：625．点评本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道第n个数可以表示为1+3（n﹣1）．14.分析根据菱形的边长求得A1、A2、A3…的坐标然后分别表示出C1、C2、C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．解答解：∵OA1＝1，∴OC1＝1，∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝，横坐标为cos60°•OC1＝，∴C1（，），∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…，∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝，代入y＝x+求得横坐标为2，∴C2（，2，），C3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝4，代入y＝x+求得横坐标为11，∴C3（11，4），∴C4（23，8），C5（47，16），∴C6（97，32）；故答案为（97，32）．点评本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列C点的坐标，找出规律是解题的关键．15.分析根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．解答解：∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1、（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384，故答案为：﹣384．点评本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．16.分析由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1．解答解：由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1，故答案为n﹣1．点评本题考查规律型问题，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17.分析∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，可得，因为AB＝5，BC＝4，则有4D1E1+5D1F1＝20；同理有如下规律4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20；解答解：∵D1F1∥AC，D1E1∥AB，∴，即，∵AB＝5，BC＝4，∴4D1E1+5D1F1＝20，同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20，∴4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2019＝40380；故答案为40380．点评本题考查平行线的性质，探索规律；能够根据平行线的性质和等量代换得到4D1E1+5D1F1＝20是解题的关键．18.分析根据点B1的横坐标为2，在直线l：y＝x上，可求出点B1的坐标，由作图可知图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，然后依次利用相似三角形的性质计算出C1、C2、C3、C4……的横坐标，根据规律得出答案．解答解：过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，∴点B1的纵坐标为1，即：OD＝2，B1D＝1，图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，∴点C1的横坐标为：2++（）0，点C2的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1＝+（）0×+（）1点C3的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1+（）1×+（）2＝+（）0×+（）1×++（）2点C4的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3……点∁n的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3×+（）4×……+（）n﹣1＝+[（）0+（）1×+（）2+（）3+（）4……]+（）n﹣1＝故答案为：点评考查一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质、在计算探索的过程中发现规律，得出一般性的结论．19.答案（-1）n+13（n-n-1解：过A1作A1D1⊥x轴于D1，

∵OA1=2，∠OA1A2=∠α=60°，

∴△OA1E是等边三角形，

∴A1（1，），

∴k=，

∴y=和y=-，

过A2作A2D2⊥x轴于D2，

∵∠A2EF=∠A1A2A3=60°，

∴△A2EF是等边三角形，

设A2（x，-），则A2D2=，

Rt△EA2D2中，∠EA2D2=30°，

∴ED2=，

∵OD2=2+=x，

解得：x1=1-（舍），x2=1+，

∴EF====2（-1）=2-2，

A2D2===，

即A2的纵坐标为-；

过A3作A3D3⊥x轴于D3，

同理得：△A3FG是等边三角形，

设A3（x，），则A3D3=，

Rt△FA3D3中，∠FA3D3=30°，

∴FD3=，

∵OD3=2+2-2+=x，

解得：x1=（舍），x2=+；

∴GF===2（-）=2-2，

A3D3===（-），

即A3的纵坐标为（-）；

…

∴An（n为正整数）的纵坐标为：（-1）n+1（）；

故答案为：（-1）n+1（）；

先证明△OA1E是等边三角形，求出A1的坐标，作高线A1D1，再证明△A2EF是等边三角形，作高线A2D2，设A2（x，-），根据OD2=2+=x，解方程可得等边三角形的边长和A2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A1、A3、A5…在x轴的上方，纵坐标为正数，点A2、A4、A6……在x轴的下方，纵坐标为负数，可以利用（-1）n+1来解决这个问题．

本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形30度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题．20.分析连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，由勾股定理得出A1P1＝＝，同理：A2P2＝，A3P3＝，……，得出P1的坐标为（1，），P2的坐标为（2，），P3的坐标为（3，），……，得出规律，即可得出结果．解答解：连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，∴A1P1＝＝＝，同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，∴P1的坐标为（1，），P2的坐标为（2，），P3的坐标为（3，），……，…按照此规律可得点Pn的坐标是（n，），即（n，）故答案为：（n，）．点评本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理；由题意得出规律是解题的关键．21.分析由题意可知纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为4，的纵坐标为8，，即可得到，，，，的纵坐标，根据图象得出，，，即可得到，，，，在一条直线上，直线的解析式为，把的纵坐标代入即可求得横坐标．解答解：由题意可知纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为4，的纵坐标为8，，和，和，和，和的纵坐标相同，，，，，的纵坐标分别为