江西省九江市都昌县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

2023—2024学年度下学期第二次阶段性学情评估八年级数学一、选择题．（每小题3分，共18分）1.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．理解中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．2.点关于原点的对称点是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标；根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得答案．解：点关于原点的对称点是，故选：D．3.下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中分式有（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】B【解析】【分析】根据分式的定义分别进行判断，即可得到答案．解：根据题意，①；③；分母中不含字母，不是分式；是分式的有：②；④；⑤；⑥；共4个．故选：B．【点睛】本题考查了分式的定义，解题的关键是掌握分式的定义进行判断．4.某班同学在学完平行四边形的判定后,开展了一次课外活动课,课上探索出如下结论,其中正确的是（）A.当四边形的一组邻角相等且一组对角互补时,此四边形一定为平行四边形B.当四边形的一组对角相等且一组对边相等时,此四边形一定为平行四边形C.当四边形的一组邻角相等且一组对边平行时,此四边形一定为平行四边形D.当四边形的一组对角相等且一组邻角互补时,此四边形一定为平行四边形【答案】D【解析】【分析】根据给出的条件，利用平行四边形的判定定理判定即可．A、等腰梯形满足此条件，但不是平行四边形，故此选项错误；B、根据条件“一组对边相等，一组对角相等”证不出是平行四边形，故此选项错误；C、等腰梯形也满足此条件，但不是平行四边形，故此选项错误；D、一组邻角互补，一组对角相等，可得到任意两对邻角互补，那么可得到两组对边分别平行，为平行四边形，故此选项正确；故选D．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定．关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．5.如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，则，即可得到．解：∵，∴，∵的垂直平分线交于点D，交于点E，∴，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，正确求出的度数是解题的关键．6.如图，是等边三角形，是的平分线上一点，于点，线段的垂直平分线交于点，垂足为点．若，则的长为（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】先求出，再求出，根据所对的直角边等于斜边的一半，求出的长．解：∵是等边三角形，是平分线上一点，∴，∵，为线段的垂直平分线，∴，∴，∴，在中，，∴．故选：C．【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角函数，所对的直角边等于斜边的一半的知识，解题的关键是熟练利用相应的定理进行推理．二、填空题（每小题3分，共18分）7.因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=_____．【答案】【解析】mn(n-m)-n(m-n)=mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1)，故答案为n(n-m)(m+1).8.分式有意义的条件是___．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．根据分式有意义的条件列不等式计算即可．解：∵分式有意义，∴，即．故答案为：．9.若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______．【答案】6##六【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用．熟练掌握多边形的内角和，一元一次方程的应用是解题的关键．设多边形的边数为，依题意得，，计算求解即可．解：设多边形的边数为，依题意得，，解得，，故答案为：6．10.某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同若设乙工人每小时搬运件电子产品，可列方程为__________．【答案】【解析】【分析】设乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲每小时搬运（x+30）件电子产品，根据300÷甲的工效＝200÷乙的工效，列出方程．解：设乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲每小时搬运（x+30）件电子产品，依题意得：故答案为：．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．11.如图所示，图①是一个三角形，分别连接三边中点得图②，再分别连接图②中的小三角形三边中点，得图③……按此方法继续下去．在第个图形中有______个三角形（用含的式子表示）【答案】【解析】【分析】分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．如图③中三角形的个数为9=4×3-3．按照这个规律即可求出第n各图形中有多少三角形．分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，图①中三角形的个数为1=4×1-3；图②中三角形的个数为5=4×2-3；图③中三角形的个数为9=4×3-3；…可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3．按照这个规律，如果设图形的个数为n，那么其中三角形的个数为4n-3．故答案为4n-3．【点睛】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题．12.如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正确的是_____．【答案】①②④．【解析】【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．解：①∵F是BC的中点，∴BF＝FC，∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，∴∠AFB＝∠BAF，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠DAF，∴∠BAF＝∠DAF，∴2∠BAF＝∠BAD，∵∠BAD＝∠C，∴∠BAF＝2∠C故①正确；②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MBF＝∠C，∵F为BC中点，∴BF＝CF，在△MBF和△ECF中，∠MBF=∠C，BF=CF,∠BFM=∠CFE，∴△MBF≌△ECF（ASA），∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠BAE＝90°，∵FM＝EF，∴EF＝AF，故②正确；③∵EF＝FM，∴S△AEF＝S△AFM，∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，∴∠EFA＝180°﹣2x，∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，∵∠CEF＝90°﹣x，∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，故答案为①②④．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．三、解答题（第13-17题每题6分，第18-20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题12分，共84分．）13.（1）解不等式组（2）解分式方程：．【答案】（1）；（2）原分式方程无解【解析】【分析】此题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．（1）不等式组整理后，求出解集即可；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．解：（1）由①得，即．解得．由②得，即．解得．∴原不等式组的解集是．（2）方程两边同乘以，得，，解得，经检验：是增根，原分式方程无解．14.化简分式（+）÷，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．【答案】7.【解析】【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的的值代入计算可得．原式=[﹣]÷=（﹣）•=•=a+3，∵a≠﹣3、2、3，∴a=4或a=5，则a=4时，原式=7．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．15.已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点，连接DF，FG，EG，DE，求证：DF＝EG．【答案】证明见解析．【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DEBC，DE=BC，FGBC，FG=BC，从而得到DEFG且DE=FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形DEGF是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证明即可．试题解析：证明：由题意得点E，D分别是AC，AB的中点，∴ED是△ABC的中位线．∴DEBC，DE=BC．∵F，G分别是BO，CO的中点，∴FG是△OBC中位线．∴FGBC，FG=BC，．∴DEFG，DE=FG．∴四边形EDFG是平行四边形．∴DF＝EG．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定与性质，熟记定理并判断出四边形DEGF是平行四边形是解题的关键．16.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：（1）在甲图中，画出一个平行四边形，使其面积为3；（2）在乙图中，画出一个正方形，使其面积为5；（3）在丙图中，画出一个菱形，使其面积为6．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，解此类题目首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．（1）平行四边形面积为3，则可以为底边长为3，高为1；（2）要使正方形面积为5，则正方形的边长为；（3）菱形面积为6，则对角线长度为2和6，据此可画出菱形．【小问1】解：图形如下：；【小问2】解：图形如下：；【小问3】解：图形如下：．17.贵成高铁开通后极大地方便了人们的出行，甲、乙两个城市相距450千米，加开高铁列车后，高铁列车行驶时间比原特快列车行驶时间缩短了3小时，已知高铁列车平均行驶速度是原特快列车平均行驶速度的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．【答案】高铁列车平均速度为300km/h．【解析】【分析】设原特快列车平均速度为xkm/h，则高铁列车平均速度为2.8xkm/h，利用高铁列车行驶时间比原特快列车行驶时间缩短了3小时，这一等量关系列出方程解题即可设原特快列车平均速度为xkm/h，则高铁列车平均速度为2.8xkm/h，由题意得：+3＝，解得：x＝100，经检验：x＝100是原方程的解，则3×100＝300（km/h）；答：高铁列车平均速度为300km/h．【点睛】本题考查分式方程的简单应用，本题关键在于读懂题意列出方程，特别注意分式方程求解之后需要检验18.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【答案】（1）见解析，（2）41【解析】【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论．（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．】（1）证明：∵BN⊥AN于点N，∴，△ABN和△ADN中，

∵，∴△ABN≌△ADN（ASA）．∴BN=DN．（2）∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB．又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线．∴CD=2MN=6．∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．19.如图所示，在平行四边形中，延长到点E，延长到点F，使得，连接，分别交，于点M，N，连接，．（1）求证：；（2）求证：与互相平分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质：（1）根据平行四边形的性质得，，再利用即可求证结论；（2）根据平行四边形的性质得，且，由（1）得：，可证，进而可证得，，进而可证四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求证结论；熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．【小问1】证明：∵四边形是平行四边形，，，，，在和中，，．【小问2】四边形是平行四边形，，且，又由（1）得：，，，且，四边形是平行四边形，与互相平分．20.某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？【答案】（1）篮球、足球各买了20个，40个；（2）最多可购买篮球32个.【解析】【分析】(1)设篮球、足球各买了，个，根据等量关系：篮球、足球共60个，篮球、足球共用4600元，列出方程组，解方程组即可得；(2)设购买了个篮球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，列出不等式进行求解即可.(1)设篮球、足球各买了，个，根据题意，得，解得，答：篮球、足球各买了20个，40个；(2)设购买了个篮球，根据题意，得，解得，∴最多可购买篮球32个.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系或不等关系列出方程或不等式是解题的关键.21.【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．（1）【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．（2）【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形．（3）【拓展迁移】事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把进行因式分解并写出因式分解结果．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案；（2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案；（3）我们可以把看做是一个高为a，底面积为的长方体的体积，只需要仿照题意画出的示意图得到其因式分解的结果即可得到答案．【小问1】解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的，∴图3的面积为，又∵图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积，∴；【小问2】解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的，∴同理可得；【小问3】解：观察可知，∴我们可以把看做是一个高为a，底面积为的长方体的体积，如下图所示，是由1张A卡片，4张B卡片，3张C卡片拼成的，∴，∴．【点睛】本题考查因式分解的实际运用，借助长方形的面积，把因式分解直观化是解题的关键．22.如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为，．（1）求证：；（2）若，求的长；（3）若，，当时，求的面积．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理．（1）由平行四边形的性质得到，由，，可得，，证明，根据全等三角形的性质即可解答；（2）根据求出的长度，然后根据勾股定理求出的长度，即可根据平行四边形