山东省青岛市莱西市2023-2024学年高一下学期学业水平阶段性检测（四）（期末）数学试题

高一学业水平阶段性检测（四）数学试题本试卷共19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将答题卡上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（）A． B． C． D．02．若，则与的夹角为（）A． B． C． D．3．（）A．1 B． C． D．4．底面边长为3的正四棱锥被平行底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A． B． C．13 D．265．寒假期间，甲、乙、丙、丁4名同学相约到A，B，C，D4个不同的社区参加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件“4个人去的社区各不相同”，事件“甲独自去一个社区”，则（）A． B． C． D．6．已知一组样本数据满足：，则去掉后，下列数字特征中一定变化的是（）A．平均数 B．中位数 C．极差 D．方差7．若z是复数，，则的最大值是（）A． B． C． D．8．如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，，，三棱柱外接球的球心为O，点E是侧棱上的一动点．下列说法正确的个数是（）①直线AC与直线是异面直线②若，则与一定不垂直③若，则三棱锥的体积为④三棱柱外接球的表面积的最大值为12πA．1 B．2 C．3 D．4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．9．如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（）A． B． C． D．10．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．用x表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件为偶数，为偶数，，则（）A． B．A与B相互独立 C．A与C相互独立 D．B与C相互独立11．某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（）A．甲企业：均值为5，中位数为8B．乙企业：众数为6，中位数为6C．丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8D．丁企业：均值为5，方差为6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则在方向上的投影向量是___________．13．某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215．则在这次测试中全班学生方差为___________．14．一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数和大于，则算过关．游戏者可以随意挑战某一关．若直接挑战第三关，则通关的概率为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．某工厂每月最后1个工作日为本月“技术竞赛日”，竞赛获奖结果有四种：未获奖、三等奖、二等奖、一等奖，在以往的技术竞赛记录中随机抽取了200人，统计制成了如下获奖人次条形图．现有甲、乙、丙、丁4人要参加本月“技术竞赛日”的竞赛，以条形图中获奖情况的频率为每人获奖的概率．（1）估计在本月“技术竞赛日”的竞赛中，甲获一等奖且乙未获奖的概率；（2）若获三等奖、二等奖、一等奖所对应的奖金逐级增高，未获奖则没有奖金，估计丙所得奖金低于丁所得奖金的概率．16．如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1．（1）求该圆台的表面积；（2）求四棱锥的体积的最大值．17．已知甲、乙两名学生每天上午、下午都进行体育锻炼，近50天选择体育项目情况统计如下：体育煅炼目的情况（上午，下午）（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天10天乙10天10天5天25天假设甲、乙上午、下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为．（1）请将表格内容补充完整；（写出计算过程）（2）已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率．18．某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形ABCD某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若P，Q分别为边AB，DA上的动点，当的周长为2时，PQ有最小值（图1）、为定值（图2）、C到PQ的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题．（1）如图1，求PQ的最小值；（2）如图2，证明：为定值；（3）如图3，证明：C到PQ的距离为定值．19．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题：（1）求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）；（2）设，若存在满足，那么这样的n有多少个？高一学业水平阶段性检测（四）数学答案一．选择题（共8小题）1．A2．A3．D4．A5．A6．D7．D8．B二．多选题（共3小题）9．ABC10．ACD11．ABD三．填空题（共3小题）12．13．26514．四．解答题（共5小题）15．解；（1）依题意每人未获奖的概率为，获三等奖的概率为，获二等奖的概率为，获一等奖的概率为，所以甲获一等奖且乙未获奖的概率．（2）依题意有以下三种情形：①丁获一等奖，丙获二等奖或三等奖或未获奖，则概率，②丁获二等奖，丙获三等奖或未获奖，则概率，③丁获三等奖，丙获未获奖，则概率，综上可得丙所得奖金低于丁所得奖金的概率．16．解：（1），所以，在中，由余弦定理得，得，由正弦定理可知外接圆直径，所以下底面半径，上底面半径，圆台侧面积，，所以圆台表面积．（2）在四边形ABCD中，，在中，由余弦定理，得，所以，，48，当且仅当时“=”成立，所以的面积，底面ABCD面积的最大值为，在轴截面中，由勾股定理可得，所以四棱锥的体积的最大值为．17．解：（1）设事件C为“甲上午选择足球”，事件D为“甲下午选择足球”，设甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）的天数为x，事件E为“甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）”，则，解得，所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为：．（2）记事件A为“上午室外温度在20度以下”，事件B为“甲上午打羽毛球”，由题意知，，，则：18．