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微专题4圆锥曲线的离心率第三章

圆锥曲线的方程椭圆和双曲线的离心率是最重要的几何性质之一，离心率的考查是高考的一个热点，下面就离心率的求法做一个简单的总结.一、定义法√解析因为△F1MF2是等边三角形，解析不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，反思感悟根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程.二、几何法√解析如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线.所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，(2)设F1，F2是双曲线C：

＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点.若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为_____.(2)设F1，F2是双曲线C：

＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点.若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为_____.解析根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小.在△PF1F2中，由余弦定理，反思感悟涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得

的值.三、寻求齐次方程求离心率由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，2又2|AB|＝3|BC|，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去).又2|AB|＝3|BC|，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去).反思感悟利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解.四、求离心率的取值范围√解析设P(x，y)，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，反思感悟求离心率范围的常用思路(1)通过几何方法如点的坐标、三角形中的不等关系等转化为离心率的取值范围.(2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的范围.备用工具&资料解析设P(x，y)，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，解析不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，一、定义法√解析因为△F1MF2是等边三角形，解析如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线.所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF

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