2024年中考数学考前冲刺复习专题02求最值中的几何模型

专题02求最值中的几何模型题型解读模型01将军饮马模型将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能力具有一定的难度，也是学生感觉有难度的题型．在解决几何最值问题主要依据是：①将军饮马作对称点；②两点之间，线段最短；③垂线段最短，涉及的基本知识点还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识．模型02建桥选址模型建桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法．该题型主要考查了在最短路径问题中的应用，涉及到的主要知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径．模型03胡不归模型胡不归PA＋k·PB”型的最值问题：当k等于1时，即为“PA＋PB”之和最短问题，可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理．当k不等于1时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路．此类问题的处理通常以动点P所在图象的不同来分类，一般分为两类研究．即点P在直线上运动和点P在圆上运动．其中点P在直线上运动的类型通常为“胡不归”问题．模型构建模型01将军饮马模型考｜向｜预｜测将军饮马模型问题该题型主要以选择、填空形式出现，综合性大题中的其中一问，难度系数较大，在各类考试中都以中高档题为主．本题考查的是轴对称－－最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题．答｜题｜技｜巧第一步：观察所求为横向还是纵向的线段长度（定长），将线段按照长度方向平移第二步：同侧做对称点变异侧，异侧直接连线第三步：结合两点之间，线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边等常考知识点第四步：利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型（1）点A.B在直线m两侧两点连线，线段最短例1.（2023·四川）1．如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为．（2）点A.B在直线同侧例2.（2022·安徽）2．如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（

）A．6 B．6 C．3 D．3模型02建桥选址模型考｜向｜预｜测建桥选址模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．答｜题｜技｜巧第一步：观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；第二步：分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等）第三步：周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵坐标相等；第四步：利用有理数的运算解题（1）两个点都在直线外侧：辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA＋PQ＋QB的最小值为AB．例1.（2022·湖北）3．如图，在中，，，，以为边向左作等边，点为中点，连接，点分别为上的动点．求的最小值为．（2）一个点在内侧，一个点在外侧：辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA＋PQ＋QB的最小值为AB’．例2.（2023·山东）4．如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为．（3）如图3，两个点都在内侧：辅助线：过点A.B作关于定直线m、n的对称点A’、B’，连接A’B’交直线m、n于点P、Q，则PA＋PQ＋QA的最小值为A’B’．例3．（2023.浙江）5．如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是．模型03胡不归模型考｜向｜预｜测胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握．本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握．在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短．答｜题｜技｜巧第一步：构造与kPB相等的线段，将“PA＋kPB”型问题转化为“PA＋PC”型；第二步：借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1；第三步：利用“垂线段最短”原理构造最短距离；第四步：数形结合解题例1.（2023·江苏）6．如图，中，，，，P为边上一动点，则的最小值等于．强化训练（2023·江苏扬州）7．如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（

）A． B． C． D．（2023.浙江）8．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则．

（2022·安徽）9．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一点M，在OA上找一点N，使△PMN周长最小，则此时△PMN的周长为．（2023·广东）10．如图，在中，是的平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是．（2023·江苏）11．如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为．

（2023·浙江）12．已知点P是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，P就是的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形的费马点，则（

）A． B． C．6 D．（2023·浙江）13．如图，平行四边形中，，，，P为边CD上的一动点，则的最小值等于（

）

A． B． C． D．（2023·四川）14．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12（2023·湖南）15．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点A.B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作A点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：(1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为；(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．（2023·陕西）16．在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离．问题提出：(1)如图1所示，已知A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，并连接与，使的值最小．

问题探究：(2)如图2所示，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接和，则的最小值是___________；

问题解决：(3)某地有一如图3所示的三角形空地，已知，P是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点分别是边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．

通关试练（2023·山东）17．如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．（2023·上虞市）18．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（

）A．15 B．30 C．45 D．60（2023·山东）19．如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．（2023·四川）20．如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（

）A．2 B． C． D．1（2023·湖北）21．如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为．（2023·北京）22．如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为.

（2023·广东）23．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为．（2023·广东）24．如图，在中，，，.，分别是边，上的动点，且，则的最小值为．（2023·内蒙古）25．如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是．（2023·浙江）26．如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是米．

（2023·广东）27．如图所示，已知O为坐标原点，矩形（点A与坐标原点重合）的顶点D.B分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为，连接，将沿直线翻折至，交于点E．

(1)求点坐标．(2)试在x轴上找点P，使的长度最短，请求出这个最短距离．（2023·吉林）28．数学兴趣活动课上，小致将等腰的底边与直线重合．（1）如图(1)，在中，，点在边所在的直线上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现的最小值是____________．（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当最短时，如图(2)，在中，作平分交于点点分别是边上的动点，连结小致尝试探索的最小值，小致在上截取使得连结易证，从而将转化为转化到（1）的情况，则的最小值为；（3）解决问题：如图(3)，在中，，点是边上的动点，连结将线段绕点顺时针旋转，得到线段连结，求线段的最小值．（2023·河南）29．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？作法如下：如图1，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连接，与河岸线相交于，则点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到，所走的路程就是最短的．

(1)观察发现如图2，在等腰梯形中，，点、是底边与的中点，连接，在线段上找一点，使最短．作点关于的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，故的最小值为_______．(2)实践运用如图3，已知的直径，点A在圆上，且的度数为，点是弧的中点，点在直径上运动，求的最小值．(3)拓展迁移如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于另一点．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线上找到一点，使周长最小，请求出此时点的坐标与周长最小值．参考答案1．6【分析】连接BE交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合一”，可得BE=AD即可得出结论．【详解】解：连接BE，与AD交于点M．∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴B.C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM，则BE就是EM+CM的最小值．∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线∴BE=AD=6，∴EM+CM的最小值为6，故答案为：6．【点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一”、等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用，解题关键是找到M点的位置．2．D【分析】在BC上取E，使BE＝BQ，这样AP＋PQ转化为AP＋PE即可得出答案．【详解】解：如图，在BC上取E，使BE＝BQ，连接PE，过A作AH⊥BC于H，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，当AP＋PE＝AH时最小，在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AH＝AB•cos60°＝，∴AP＋PQ的最小为，故选：D．【点拨】本题考查两条线段和的最小值，解题的关键是作辅助线把PQ转化到BD的另一侧．3．4【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质．根据题意，连接，先证，，故，由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值．【详解】解：如图，连接，∵在中，，点为中点，∴∵∴∴是等边三角形是等边三角形，垂直平分同理可得：垂直平分由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，故的最小值为4．故答案为：4．4．10【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长为，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，由此即可得．【详解】解：如图，连接，∵直线是中边的垂直平分线，∴，∵，∴的周长为，由两点之间线段最短可知，当点共线时，取最小值，最小值为，∴的最小值为，即的周长的最小值为10，故答案为：10．5．【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，含的直角三角形的性质．作点关于的对称点，则，作点关于的对称点，则，则，当四点共线时，最小,具体见详解．【详解】解：如图，作点关于的对称点，则，作点关于的对称点，则，∴当四点共线时，最小，连接，∵则,∴∵,过作垂直的延长线交于点，∴在中，，根据角所对的直角边是斜边的一半可知，则，∴即的最小值为．故答案为：．6．【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得，即，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，再利用解直角三角形，即可求得．【详解】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵，∴∠EDP=∠DAB=45°，∴，∴，∴，∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．7．D【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．由选项D中图可知：作点关于直线的对称点，连接交于点，由对称性可知，，，据此判断即可．【详解】解：由选项D中图可知：作点关于直线的对称点，连接交于点，由对称性可知，，，当、、三点共线时，的距离最短，故选：D8．【分析】过E作，交于，连接交于，连接，推出为中点，求出和关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案．【详解】解：过E作，交于，，，，，，是边上的中线，是等边三角形，，，，，和关于对称，连接交于，连接，则此时的值最小，∵是等边三角形，，，，．故答案为：．【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键．9．5【分析】作点P关于OB的对称点C，作P点关于AO的对称点D，连接CD交OA于N，交OB于M，连接MP，NP，OC，OD，当C.M、N、D点共线时，△PMN的周长最小，由题意可知△OCD是等边三角形，则CD＝5即为所求．【详解】作点P关于OB的对称点C，作P点关于AO的对称点D，连接CD交OA于N，交OB于M，连接MP，NP，OC，OD，∴CM＝MP，NP＝DN，∴PM+PN+MN＝CM+MN+DN≥CD，∴当C.M、N、D点共线时，△PMN的周长最小，∵∠BOA＝30°，OP＝OC＝OB，∴∠COD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OP，∵P（5，0），∴OP＝5，∴CD＝5，∴△PMN的周长最小值为5，故答案为：5．【点拨】本题考查了图形的对称、等边三角形的判定与性质、两点间线段最短等知识，作点P分别关于OA.OB的对称点是关键，把求三角形周长的最小值转化为两点间线段的长度．10．####7.2【分析】过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，先根据角平分线的性质得到，进而根据证明，再根据证明，然后根据证明，最后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，此时取最小值，如图所示．在中，．∵是的平分线，，∴，在和中，，∴，∴．在和中，，∴，∴，延长，交于F，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴．∴的最小值是，故答案为．【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．11．【分析】本题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．【详解】解：如图所示：作A点关于直线的对称点，再连接，交直线于点P，

则此时最小，过点B作交延长线于点E，∵，，．∴，，∴，，在中，，则的最小值为．故答案为：．12．B【分析】此题主要考查了解直角三角形．过点D作于点M，过E.F分别作，则，点P就是费马点，，，求出，即可求解．【详解】解：如图，过点D作于点M，过E.F分别作，则，点P就是费马点，，，等腰直角三角形中，，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．故选B．13．A【分析】延长，过点B作交于点P，根据平行四边形的性质得出，结合勾股定理可得，，最后根据即可求解．【详解】解：延长，过点B作交于点P，∵四边形为平行四边形，∴，∴，∵，∴，则，则，同理可得：，∴，∴当点E.P、B在同一条直线上时，的值最小，∵，∴．故选：A．

【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形对边互相平行，以及垂线段最短．14．D【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：在中，，∴，∵＝，∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时，，∴是等边三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为12，故选：D．【点拨】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．15．(1)(2)，图和理由见解析【分析】（1）作点A关于的对称点，连接交于P，此时的值最小．连接，先根据勾股定理求出的长，再判断出，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C关于直线的对称点，作于N，交于M，连接，根据等边三角形的性质解答．【详解】（1）解：如图2所示，作点A关于的对称点，连接交于P，此时的值最小．连接，由勾股定理得，，∵是的中点，∴，∵，，∴，∴，∴的最小值．故答案为：；（2）解：如图3，作点C关于直线的对称点，作于N，交于M，连接，则，，∴为等边三角形，∴，∴，∴的最小值为．【点拨】本题考查的是轴对称——最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．16．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）作点关于的对称点，连接得到交点即为所求，（2）利用正方形的性质，得到，从而得到答案，（3）利用等腰三角形的性质，作两次轴对称，得出结论．【详解】（1）解：如图所示，当P点在如图所示的位置时，的值最小；

（2）解：如下图所示，

∵四边形是正方形，∴垂直平分，∴，由题意易得：，当D.P、E共线时，在中，根据勾股定理得，．（3）解：如下图所示，分别作点P关于，的对称点，连接，交，于点，连接，此时周长的最小值等于．

由轴对称性质可得，，∴，在中，即周长的最小值等于．【点拨】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称点是解题的关键．17．A【分析】连接，设交于点，根据平行四边形的性质得出点，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，可知当时，取得最小值，勾股定理即可求解．【详解】解：连接，设交于点，如图所示，∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴当取得最小值时，取得最小值，∴当时，取得最小值，∵，，∴，,∴是等腰直角三角形，∴此时是直角三角形，且是斜边，∵,∴，∴的对角线的最小值是，故选：A．【点拨】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，勾股定理，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．18．B【分析】分别作点P关于OA.OB的对称点C.D，连接CD，分别交OA.OB于点M、N，连接OC.OD.PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．【详解】分别作点P关于OA.OB的对称点C.D，连接CD，分别交OA.OB于点M、N，连接OC.OD.PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B．【点拨】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．19．B【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝，故选B．【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键．20．B【分析】连接AM、AC，AM交BD于P，此时PM+PC最小，连接CP，由菱形的性质可知C和A关于BD对称，AP=CP，由条件易证△ABC是等边三角形，根据三线合一可知AM⊥BC，再根据勾股定理可求AM的值，即可求解．【详解】解：连接AM、AC，AM交BD于P，此时PM+PC最小，连接CP，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，AC⊥BD，∴C和A关于BD对称，∴AP=PC，∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2，∵M是BC的中点，∴AM⊥BC，∴∠BAM=30°，∴BM=1，∴AM=，∴PM+PC=AM=．故选B．【点拨】本题考查了将军饮马类型的求最小值问题，涉及菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确找到P的位置．21．18【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B.C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵，，∴，即：，∴，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．【点拨】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．22．3【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．【详解】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．

∵点P关于OA的对称点为C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．【点拨】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．23．3【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝AP;∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝AD＝×6＝3;∴DF＝3;∵AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴AP+PD的最小值为3.故答案为：3.【点拨】本题考查了菱形的性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.24．【分析】作，连接，过B点作的延长线与G点．根据相似三角形的性质可得，因此，根据两点之间线段最短可知当B.E.F三点共线时，，此时的值最小，为BF．再证四边形是矩形，由矩形的性质可知，，在中根据勾股定理可求出的长，即可知的最小值．【详解】如图，作，连接，过B点作的延长线与G点，，且，，，．，∴当B.E.F三点共线时，，此时的值最小，为．，．又，，∴四边形是矩形，，，，．故答案为：【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识，构造相似三角形是解题的关键．25．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠MAE=30°，∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，MD=MB，∴△ADB是等边三角形，∵∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为8，∴DE=，∴2DE=8．∴MA+MB+MD的最小值是8．故答案为：8．【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．26．18【分析】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸，则且，于是为平行四边形，故；根据“两点之间线段最短”，最短，即最短，也就是最短，据此求解即可．【详解】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸，过点A作交的延长线于点C，则且，于是为平行四边形，

故，当时，最小，也就是最短，∵（米），（米），（米）∴在中，（米），∴的最小值为：（米）故答案为：18．【点拨】本题考查了轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行