全等三角形(一)-初中数学

全等三角形的性质及判定

t磔4⑪皑国公

内容基本要求略高要求较高要求

全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三掌握两个三角形全等的条件和性质；会利用全等三角形

角形和全等三角形之间的关系会应用三角形全等的性质和判定解决的知识解释或证明

简单问题经过图形变换后得

到的图形与原图形

对应元素间的关系

且1M店碱

一、全等的概念

全等图形：

能够完全重合的两个图形就是全等图形.

全等多边形：

能够完全重合的多边形就是全等多边形.

相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.

全等多边形的对应边、对应角分别相等.

如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDEq五边形A'B'C'D'E：

这里符号“乡”表示全等，读作，，全等于，，.

全等三角形：

能够完全重合的三角形就是全等三角形.

全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；

反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等.

全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等.

全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.能够相互重合的顶点、边、南分别叫作对

应顶点、对应边、对应角.全等符号为“丝”.

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等,

面积相等.

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.

(3)有公共边的，公共边常是对应边.

(4)有公共角的，公共角常是对应角.

(5)有对顶角的，对顶角常是对应角.

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应

角).

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.

二、全等的性质和判定

全等三角形的判定方法：

(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

(2)角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

(3)边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.

(4)角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

(5)斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时

会添加辅助线.

奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、

差、倍、分相等是几何证明的基础.

判定三角形全等的基本思路：

'找夹角fSAS

已知两边，找直角fHL

找另一边->SSS

［边为角的对边f找任意一角f/MS

找这条边上的另一角fASA

已知--边一角，

边就是角的一条边找这条边上的对角一AAS

找该角的另一边fSAS

找两角的夹边—ASA

已知两角

找任意一边->AAS

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式:

⑴平移全等型

由全等可得到的相关定理:

⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上.

⑶等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角).

(4)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.

⑸等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).

(6)线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.

⑺和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

z

板块一、基本概念及性质判定

【例1】判定两个三角形全等的方法是：⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;（6）.

全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别.

【例2】两个三角形具备下列（）条件，则它们一定全等.

A.两边和其中一边的对角对应相等

B.三个角对应相等

C.两角和一组对应边相等

D.两边及第三边上的高对应相等

【例3】下列命题错误的是（）

A.全等三角形对应边上的高相等

B.全等三角形对应边上的中线相等

C.全等三角形对应角的角平分线相等

D.有两边和一个角对应相等的两个三角形全等

【例4】考查下列命题：①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；②两边和其中一边上的中线（或第三边上的

中线）对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个

三角形全等；④两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等.其中正确命题的个

数有个.

【例5】已知A48C中，AB=BC*AC,作与A48C只有一条公共边，且与A48C全等的三角形，这样的三角形

一共能作出个.

【例6】如右上图所示，AB//CD,AC//DB,AB=CD,/O与8c交于。，4ELBC于E,DFJ.BC于F,

那么图中全等的三角形有哪儿对？并简单说明理由.

【例7】如图所示，AB=AD,BC=DC,E、尸在NC上，4C与8。相交于P.图中有几对全等三角形？请

找出来，并简述全等的理由.

【例8】我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等.那么在什么情况下，它们会全

等？

（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）.

对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，

可证明如下：已知：NBC、A44G均为锐角三角形，力8=44，BC=BG,ZC=ZC,.

求证：A48CZA48cl.

（请你将下列证明过程补充完整.）

证明：分别过点5,用作8O_L/C于。，4G于R.则NBOC=N8QG=90。，

,:BC=BG,ZC=ZC,,

/.\BCD色ABCQ

,BD=BQ、

(2)归纳与叙述：

由⑴可得到一个正确结论，请你写出这个结论.

板块一、巩固练习

平移类全等

【例1】已知：如图，AB//DE,AC//DF,BE=CF.求证：AB=DE.

【例2】A48c中，乙1,N8,NC的对边长分别为db,c.如果％<L(a+c).求证：ZB<-(Z^+ZC).

22

【例3】在正方形/8C。中，AB,BC、C。三边上分别有点£、G、F,且EG.求证：EF=DG.

【巩固】在正方形中，E、F、G、，分别是48、BC、CD、D4边上的点，且EG_LF”,求证：EG=FH.

【例4】如图，已知A4BC

⑴请你在BC边上分别取两点。、E（8C的中点除外），连结AE,写出使此图中只存在两对面积相

等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB+AC>AD+AE.

轴对称类全等

【例1】如图所示，OP是N/OC和N8O。的平分线，O/=OC,OB=OD.求证：AB=CD.

【例2】如图所示，已知=AE=DF,CE=BF,证明：AF=DE.

【例3】如图所示：AB=AC,AD=AE,CD、BE相交于点O.求证：0/平分ZONE.

【例4】已知：如图，AD=BC,AC=BD,求证：NC=ND.

3

【巩固】如图，已知4C=8。，ADLAC,BC1BD,求证：AD=BC.

【例5】已知：如图，B,E,F、C四点在同一条直线上，AB=DC,BE=CF,NB=NC.求证：OA=OD.

【例6】已知&43c中，AB=AC,BE、CO分别是N/8C及N/C8平分线.求证：CD=BE.

【巩固】已知，如图，AB=AC,CE1AB,BF工AC,求证：BF=CE.

【例7】如图，已知E是4c上的一点，又N1=N2,Z3=Z4.求证：ED=EB.

【例8】已知A4BC中，AB=AC,GE过/且GE〃8C,NB的平分线与NC和GE分别交于。，E,NC的平分

线与和GE分别交于尸，G.求证。E=FG.

O

【巩固】如图所示，C是48的中点，CD=CE,NDCA="CB,求证ND4E=NEBO.

【例9】如图，在A/BC中，ZBAC=90°,8。平分乙48c交XC于。，4E工BC于E交BD于G,FG〃/C交

8c于尸，连接QF.求证：DF1BC

【例10］如图，M8c中，AB=BC,Z^BC=90°,。是/C上一点，且CO=CB=ZB,OE_L4C交48于E点.求

证：AD--DE=EB.

【例11］如图，A48c中，AB=AC,D、£■分别是48、4c的中点，OG_L8C于G,EH工BC于H.求证:

DG=EH.

【例12］在凸五边形中，NB=NE,NC=ND,BC=DE,M为CD中点.求证：AMA.CD.

【巩固】如图，AB=AE,NABC=NAED,3C=E。，点尸是CD的中点.求证：AFLCD.

【例13］如图，在等腰A48C中，AB=AC,。是BC的中点，过4作AFLDF,S.AE=AF.求证:

ZEDB=NFDC.

【例14］在凸五边形中，NB=NE,NC=ND,BC=DE,M为CD中点.求证：AMA.CD.

中点及中心对称类全等

【例5】如图，AC//DE,BC//EF,AC=DE.求证：AF=BD.

【巩固】如图所示：AB//CD,AB=CD.求证：AD//BC.

6

【例6】如图，已知/8=DC,AD=BC,。是8。中点，过。点的直线分别交。/、BC的延长线于£\尸.求证:

NE=ZF

【例7】如图，AB,8相交于点O,OA=OB,E、尸为CD上两点,AE//BF,CE=DF.求证：AC//BD.

【巩固】如图，在梯形中，AD//BC,E为CD中点,连结/E并延长NE交8C的延长线于点尸.求证:

FC=AD.

【例8】已知：如图，梯形48C。中，/D〃8C,点£是C。的中点，BE的延长线与《。的延长线相交于点尸.求

证：XBCE会&FDE.

【例9】如图，在ZU8C中，。是BC边的中点，F,E分别是及其延长线上的点，CF//BE.求证:

\BDE丝\CDF.

【例10】已知A4C8,Z5=ZACB,D,£分别是N8及/C延长线上的一点，且8。=CE,连接。E交底8C于G,

求证GD=GE.

【例11］如图，在Rt&48c中，AB=AC,ADLBC,垂足为£>.E、尸分别是C。、4。上的点，且CE=/尸.如

果NAED=62°,那么NDBF=.

【例12】E、尸分别是正方形/8CD的8C、CO边上的点，且8E=CF.求证：AEVBF.

【巩固】E、F、G分别是正方形Z8CZ）的5C、CD、边上的点，GELEF,GE=EF.求证：BG+CF=BC.

1.如左下图所示，A/1BC中，D、E分别在/C、上，BD与CE交于点、O,给出下列四个条件:

①NEBO=NDCO：②NBEO=ZCDO；③BE=CD；®OB=OC

上述四个条件中，哪两个条件可判定，A/18C是等腰三角形（用序号写出所有情形）；

2.在/8、/C上各取一点E、D,使=连接8。、CE相交于0再连结/0、BC,若N1=N2,

则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由.

醯

平移类全等

【例1】A43c中，N8=90。，M为N8上一点，使得=,N为BC上一点、，使得CN=BM,连AN、CM

交于P点.试求NZPW的度数，并写出你的推理证明的过程.

KJ

【例2】如图所示，设月88是矩形，K为矩形所在平面上的•点，连接必与KD均与BC相交.由点8向直线ZJK

引垂线，由点C向直线NK引垂线，二垂线相交于求证

【例3】如图，梯形Z8CD中，AD//BC,以两腰Z8,8为一边分别向两边作正方形Z8GE和。C”尸，连接

的垂直平分线/交线段E/于点求证：点M为所的中点.

【例4】已知线段O/、OB、OC、0D、0E、OF.NAOB=NBOC=NCOD=NDOE=NEOF=60°.且

4D=BE=CF=2.求证：S&OAB+SAOCD+SAOEE<6・

B

D

【例5】如图所示，在六边形力BCDE77中，AB〃ED,AF//CD,BC//FE.AB=ED,AF=CD,BC=FE.又

知对角线户7)=24厘米，6。=18厘米.请你回答：六边形Z5CDE厂的面积是多少平方厘米？

轴对称类全等

【例1】如图，在四边形/BCD中，/D〃8C,N/的平分线NE交DC于E.求证：当8E是N8的平分线时，有

AD+BC=AB.

【例2】如图，乙4+ZD=180。，BE平分NABC,CE平分ZBCZ）,点E在/。上.

①探讨线段/8、CD和8c之间的等量关系.

②探讨线段8E与CE之间的位置关系.

【例3】如图，在A48c中，BE、CD分别是乙4BC、N/C8的角平分线，且8O+CE=8C,则乙4的度数

为.

【例4】已知A/13C中，4=60。，BD、CE分别平分N48c和4CB,BD、CE交于点O,试判断BE、CD.

8C的数量关系，并加以证明.

【例5】如图（1）所示，。尸是NMON的平行线，请你利用该图形画一对以。尸所在直线为对称轴的全等三角形.

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图（2）,在A48c中，N/C8是直角，ZB=60°,AD、CE分别是N8/C、NBC4的平分线，AD、

CE相交于点F.请你判断并写出FE与尸。之间的数量关系.

（2）如图（3）,在A/18C中，如果乙4cB不是直角，而（1）中的其他条件均不变，请问，你在（1）中

得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

TZ

【例6】如图所示，在A/48c中，4=100。，48c=40。，8。是NABC的平分线，延长8。至E,使DE=.求

ii£：BC=AB+CE

【例7】如图，/是△ZBC的内心，S.CA+AI=BC.若N8ZC=80。，求NZ3C和乙〃8的大小.

【巩固】在A48c中，AB>AC,力。是N8ZC的平分线.尸是4。上任意一点.求证：AB-AC>PB-PC.

A

BDC

【巩固】如图，在2UBC中，Z5JC=60%3是N8/C的平分线，且ZC=48+8。，求48C的度数.

【巩固】如图，在A/18C中，N3=2NC,N3/C的平分线/。交8c与D.求证：AB+BD=AC.

【例8】如图，在AJ3C中，AB+BD=AC,NA4c的平分线49交8c与。.求证：ZS=2ZC.

【例9】如图，A48C中，AB=AC,4=108。，8。平分48c交/C于。点.求证：BC=AC+CD.

【例10］如图，&4BC中，N/的平分线交8c于。，AB=AC+CD,ZB=40°,那么NC的大小是

【例11］如图，在A4BC中，Z5JC=90°,ZB=2ZC,。点在BC上，平分4/C,若48=1,则的长

为.

【例12］如图，ZUBC内，ABAC=60°,ZACB=40°,尸，。分另U在2C,C4上，并且“尸，8。分别是NB4C,ZABC

的平分线.求证：BQ+AQ=AB+BP.

【例13】已知等腰A48C,2/4=100°,N48C的平分线交NC于。，则8O+N£)=BC.

14

【例14】已知：在A48C中，AB=CD-BD,ADA.BC,求证：Zfi=2ZC.

【巩固】如图所示，在△/BC中，4。_L8c于点。，ZB=2ZC.求证：AB+BD=CD.

【例15］如图，在△/8C中，8£■是角平分线，ADA.BE,垂足为£>.求证：Z2=Z1+ZC.

【例16】已知等腰直角A4BC中，N历1C=9O。，8D是角平分线，CE，8。，交8。延长线于点E.求证：BD=2CE.

【巩固】如图，在直角AA&C中，ZBAC=90°,AB=AC,8。平分4BC交4C于。，作CE_L8。交8。的延长

线于E,则BD与CE的大小关系是.

【例17］在A48C中，平分乙4,CDLAD,。为垂足，G为BC的中点，求证：ZDGC=Z5.

TD

【巩固】如图所示，在A/8C中，AC>AB,M为BC•的中点，4)是N8/C的平分线，若C/_L且交/。的延

长线于尸，求证也r=g(/C-Z8).

【例18］如图，在A48C中，AB=3AC,NZ的平分线交8c于。，过8作垂

足为E,求证：AD=DE.

【巩固】在△NBC中，AB=3AC,N8/C的平分线交3c于。，过8作8E_L/。，E为垂足，求证：AD=DE.

【例19】如图所示，是A48c中NB4C的外角平分线，8J.4D于。，E是BC的中点，求证。£■〃/8且

DE=；(4B+AC).

【例20】如图，A4BC中，AB=AC,BD、CE分别为两底角的外角平分线,

证：AD=AE.

【例21】在A48C中，MB、NC分别是三角形的外角48E、N/CF的角平分线,

AMYBM,XN_LCN垂足分别是A/、N.求证：MN//BC,

TO

MN=；(4B+AC+BC)

【巩固】在A/18C中，MB、NC分别是三角形的内角乙48C、N/CB的角平分线，AMLBM,/NJ.CN垂足分

别是M、N.求证：MN//BC,MN=；(AB+AC-BC)

【例22】在AzIBC,NA4C=5.25。，4)是NB/C的平分线，过N作D4的垂线交直线5C于点".若

BM=AB+AC,试求48c和N/CB的度数.

【例23］如图所示，在A48c中，ZBAC=90°,4D，BC于D,N8C4的角平分线交与F,交,AB于E,FG

平行于BC交48于G.AE=4,AB=\4,则8G=.

【巩固】如图所示，在RtAJBC中，NC=90°,CH工/B于H,ZG平分NB/C,交C”于。，交8c于G,在BC

上取8E=CG,连接E。，证明：ACDE是直角三角形.

【例24】已知在A48C中，N4=90。，N8的平分线交/C于E,交8c边上的高/，于。，过。作。尸〃8C交/C

于尸，求证：AE=FC.

T7

【例25］如图，在RtA48c中，是斜边8C上的高，8E是乙45c的平分线，AD交BE于O,EF：D于F,

求证：AF=OD.

【例26］如图，在A/18C中，AB=AC,BD、力A/分别是NN8C、NA4c的平分线，DN1BC,GF工BD.求

证：MN=-BF.

【例27】在RlA^BC的斜边AB上分别取两点D、E,使4D=4C,BE=BC,DFICE,F为垂足，求证：DF=CF.

【例28】在直角三角形/8C中，ZC=90°,的平分线交BC于D.自C作CG_LZ8交力。于E,交于G.自

。作。尸_L/B于尸，求证：CFVDE.

【巩固】如图，已知A48C,Zl=Z2,AB=2AC,AD=BD.求证：DCLAC.

【例29］如图，在ZU8C中，已知ZB=40。，ABAD=30°.若AB=CD,则乙4cD的大小为（度）.

Td

【例30］如图所示，在A48C中，AB>AC,BE、CF为A48C的两条高，求证：AB+CF>AC+BE.

【例31】已知点〃是四边形力8c。的8c边的中点，且44加。=120。,证明：AB+-BC+CD>AD.

2

【巩固】设"是凸四边形/BCD的边8c的中点，NZMD=135。，求证：AB+—BC+CD>AD.

2

【例32］如图所示，已知在A48C中，AB=6,AC=3,N8/C=120。，/8NC的平分线交8c于。，求工。之

长.

【巩固】如图所示，在A48c中，是NA4c的平分线，M是8c的中点，ME_L且交/C的延长线于E,

CE=-CD,求证N4C8=2N8.

2

TV

【例33］如图所示，在A48c中，AB=AC,4）是8c边上的高，点P在A48D内部，求证：ZAPB>ZAPC.

【巩固】在A48c中，AB=AC,60。<乙4<120。，尸为A48c内部一点，PC=AC,ZPCA=120°-ZA,求NCBP

的度数.

【例34］如图所示，在2MBe中，N/的平分线交BC于点。，已知瓦>DC=，且N/O8=45。，求A48c的

各个内角.

A

BDC

【巩固】如图所示，P为&48c边8c上的一点，且尸C=2PB,已知48C=45。，AAPC=60°,试求4CB的

度数.

【例35］如图所示，在四边形中，/8=30,/。=48,BC=14,8=40,NABD+NBDC=90°,求四边

形ABCD的面积.

ZXJ

【例36］如图所示，在A48C中，ZACB=2^ABC,尸为三角形内一点，AP=AC,P8=PC,求证：NBAC=3NBAP.

【例37］如图所示，在四边形“88中，BC=CD,ZBCA-ZACD=6Q°,求证：AD+CD>AB.

【例38】在等腰A48C中，AB=AC,顶角乙4=20。，在边N8上取点。，使4D=BC,求NBOC.

A

BC

【巩固】如图所示，在A48c中，AC=BC,NC=20。，又又在4c上，N在8c上，且满足ZB/N=50。，

AABM=60°,求NNMB.

C

AB

【例39］如图所示，在四边形48CD中，ND4c=12。，ACAB=36°,ZABD=48°,ZDBC=24°,求4CD的度

数.

7r

【例40】在正A4BC内取一点。，DA=DB,在A48C外取一点E,使NDBE=NDBC,ELBE=BA,求NBED.

【例41】在A48C内取一点M,使得NAffi/=30。，=10。.设乙4cB=80。，AC=BC,求N4A/C.

【例42】如图所示，在A48c中，ZBAC=ZBCA=44°,M为MBC内一点,使得NA/C4=3O。，ZMAC=\60,

求ZBMC的度数.

【例43](1)已知：如图1,RtA48c中，ZACB=90°,AC=BC,点。、E在斜边48上，且NOCE=45。.求证:

线段。£、AD、E3总能构成•个直角三角形；

(2)已知：如图2,等边三角形/8C中，点2)、E在边上，且ZDCE=30。，请你找出一个条件，使

线段。乐AD,£3能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；

(3)在⑴的条件下，如果/8=10,求的值.

【例44]如图，已知N43£>=4CD=60。，5.ZADB=90°--ABDC.求证：A48c是等腰三角形.

2

【例45](1)已知：如图1,RtA48c中，4CB=90。，AC=BC,点D、E在斜边上，且NQCE=45。.求证:

77

线段。£AD.E8总能构成一个直角三角形；

(2)已知：如图2,等边三角形/8C中，点。、E在边4B上,且ZDCE=30。，请你找出一个条件，使

线段。E、AD.E8能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；

(3)在⑴的条件下，如果45=10,求的值.

【例46】在A/l8c中，AB=AC,CGJ_8/交8/的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，

该三角尺的直角顶点为尸，一条直角边与/C边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点8.

(1)在图1中请你通过观察、测量8F与CG的长度，猜想并写出8尸与CG满足的数量关系，然后证明你

的猜想；

(2)当三角尺沿ZC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与NC边在同一直线上，另••条直角边

交BC边于点D,过点。作。8/于点E.此时请你通过观察、测量QE、。尸与CG的长度，猜想

并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

(3)当三角尺在⑵的基础上沿4C方向继续平移到图3所示的位置(点尸在线段4C上，且点尸与点C不

重合)时，⑵中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)

【例47］如图，在RtA/lBC中，D,E,F分别为4B、4C、BC中点，〃为斜边的高的垂足，G是。，的中点.设

。为48上的任一点，求证：NEOF的最大的角便是NEGF.

中点及中心对称类全等

【例6】如左下图，在矩形48CD中，£为C8延长线上一点且NC=CE,尸为/E的中点.求证：BF1FD.

【例7】如右下图，在A48C中，BE、CF分别为边力C、的高，。为BC的中点，于〃.求证:

FM=EM.

A

【例8】已知：A48C中，4M是中线.求证：AM<^(AB+AC).

【例9】在△NBC中，AB=5,AC=9,则8c边上的中线的长的取值范围是什么？

【例10】如图，A48C中，AB<AC,力。是中线.求证：ZDAC<ZDAB.

【例⑴如图，已知在A48c中，力。是BC边上的中线,E是力。上一点，延长8E交/C于F,AF=EF,求证:

AC=BE.

【例12】如图，已知在&48c中，是8c边上的中线，E是/。上一点，且8E=ZC,延长BE交ZC于尸，AF

与EF相等吗？为什么？

【例13】如图所示，已知AJ8C中，力。平分N8/C,E、产分别在8。、AD1..DE=CD,EF=AC.求证:

EF//AB

才

【例14】A48c中，AB>AC,AD、/£分别是5c边上的中线和乙4的平分线，则/。和/E的大小关系是

ADAE.（填“>”、或“=”）

【例15】已知为A/18C的中线，NAMB,N/MC的平分线分别交于E、交/C于产.求证：BE+CF>EF.

A

【巩固】在RtA/lBC中，4=90。，点。为8C的中点，点E、F分别为4B、ZC上的点，且，FD.以线段

BE.EF,FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

【例16］如图所示，在&48C中，。是8C的中点，。/垂直于。N,如果8M2+cM=。“2+。解，求证

AD2=；（而+"2）.

【巩固】在RtAzlBC中，F是斜边的中点，。、E分别在边。、CB上,满足NDFE=90。.若为。=3,BE=4,

则线段。E的长度为.

75

【例17］如图所示，在A4BC中，AB=AC,延长到。，使BD=4B,E为48的中点，连接CE、CD,求证

CD=2EC.

【例18】已知A4BC中，AB=AC,8。为的延长线，且=CE为A48C的边上的中线.求证

CD=2CE

【例1】如图，在正方形力88中，F是CD的中点，E是BC边上.的一点，且NF平分NONE,求证：AE=EC+CD

【例2】在四边形力88中，设M,N分别为CD,Z8的中点，求证MVW；(/O+BC),当且仅当8c时等

号成立.

【例3】在梯形488中，AB//CD,ZA=90°,AB=2,BC=3,CD=\,E是4D中点,试判断EC与E8的

位置关系，并写出推理过程.

ZD

【例4】如图所示，在A48c的N8边上取两点E、F,使4E=BF,连接CE、CF,求证：AC+BC＞EC+FC.

【例5】以A48c的两边/8、ZC为腰分别向外作等腰RLM5Z)和等腰RtA4CE,NBAD=NG4E=90。.连接DE,

M、N分别是3C、Z)E的中点.探究：4/与DE的位置关系及数量关系.

⑴如图①当M8C为直角三角形时，与。E的位置关系是；线段ZM与QE的数量关系

是;

⑵将图①中的等腰RtMBD绕点A沿逆时针方向旋转。。(0＜夕＜90)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结

论是否发生改变？并说明理由.

【例6】在课外小组活动时，小慧拿来一道题(原问题)和小东，小明交流原问题：如图1,已知A48C,ZACB=90°,

ZABC=45°,分别以AB,BC为边向外作\ABD和\BCE，且DA=DB,EB=EC,NADB=ZBEC=90°,

连接。E交于点尸，探究线段。尸与时的数量关系。

小慧同学的思路是：过点。作。GLZ8于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解

小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，ZABC=300,N4DB=NBEC=60°

小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。

请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：

(1)写出原问题中。尸与EF的数量关系

(2)如图2,若乙18C=30。，N4DB=NBED=60°,原问题中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论

是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；

(3)如图3,若4D8=4EC=248C,原问题中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变

化？请写出你的猜想并加以证明。

F

【例7】已知：在RtA48c中，=8C,在RtA4OE中，=QE,连结EC,取EC的中点M,连结。A/和.

⑴若点。在边4c上，点E在边上且与点8不重合，如图①，探索8/、DM的关系并给予证明；

(2)如果将图①中的A4DE绕点Z逆时针旋转小于45。的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不

成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.

【巩固】已知：如图，在RtA4BC中，AB=BC,在RtA4OE中，AD=DE,且。在边48上，连结EC,取EC的

中点连结。M和8初.将等腰直角三角形/1。£绕/1点按逆时针方向旋转45。，结论：ASM。为等腰

直角三角形，成立吗？

【巩固】如图，在RtA48c中，AB=BC,在RtA4OE中，AD=DE,且/£)_!_/C,连结EC,取EC的中点

连结。"和8M.结论：△8Am为等腰直角三角形还成立吗?

【巩固】如图，在RtA48c中，AB=BC,在RtAADE中，AD=DE,且4在线段EC匕连结EC,取EC的中

点M,连结OA/和8".证明：ZMBD=ZMDB.

【巩固】如图,在RtA48c中，AB=BC,在中，AD=DE,

连结DM和BM.结论NMBD=ZMDB成立吗?

T6

B

【巩固】如图，A/18C和都是等腰直角三角形，点M为EC的中点，求证：ZMBD=ZMDB.

【例8】已知正方形48CD中，E为对角线8。上一点，

连接EG,CG.

⑴求证：EG=CG；

⑵将图①中绕8点逆时针旋转45。，如图②所示，取。尸中点G,连接EG,CG.问⑴中的结论是

否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

⑶将图①中绕8点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问⑴中的结论是否仍然成立？

通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

图②

【例9】问题：如图1,在菱形/BCD和菱形8EEG中，点4B,E在同一条直线上，P是线段。尸的中点，连结

PG

PG,PC.若NABC=NBEF=60°,探究尸G与尸C的位置关系及——的值.

PC

小聪同学的思路是：延长G尸交。C于点”，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段PG与尸C的位置关系及四的值；

PC

（2）将图1中的菱形8EFG绕点8顺时针旋转，使菱形8EFG的对角线8尸恰好与菱形Z8CZ）的边Z8在

同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你

的猜想并加以证明.

（3）若图1中448C=ZBEF=2a（0o<a<90。），将菱形绕点8顺时针旋转任意角度，原问题中的

其他条件不变，请你直接写出竺的值（用含a的式子表示）.

旋转类全等

【例19］如图，已知&48c中，418c=90。，AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线《上，且4，A

之间的距离为2,。&之间的距离为3,则4C的长是.

【例20】两个全等的30。、60。的三角板NOE、BAC,如右下图所示摆放，E、