沪科版初中九年级数学上册专项素养综合练(五)分类讨论思想在相似形中的应用课件

分类讨论思想在相似形中的应用专项素养综合全练(五)

1.如图,在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一点,AD=12,在

AB上取一点E,使以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长为 (

)A.16

B.14C.16或14

D.16或9D解析本题分两种情况:①如图1,当△ADE∽△ACB时,

=

,∵AB=24,AC=18,AD=12,∴AE=16;②如图2,当△ADE∽△ABC时,

=

,∵AB=24,AC=18,AD=12,∴AE=9.故选D.

图1

图22.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6cm,CD=4cm,BD=14cm,点

P在BD上由点B向点D移动,当点P移动到离点B多远时,△APB和△CPD相似?

解析∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠B=∠D=90°.①当∠A=∠CPD时,△ABP∽△PDC,∴

=

,即

=

,解得BP=2(cm)或BP=12(cm);②当∠A=∠C时,△ABP∽△CDP,∴

=

,即

=

,解得BP=

(cm).即PB=2cm或12cm或

cm时,△PAB与△PCD相似.3.(2024福建泉州五中月考)如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=1

6cm,点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动,点Q

从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动,如果点P、Q

分别从点A、B同时出发,经过几秒△PBQ与△ABC相似?试

说明理由.

解析设经过x秒△PBQ与△ABC相似,由题意知AP=2xcm,BQ=4xcm,∵AB=8cm,BC=16cm,∴BP=AB-AP=(8-2x)cm,∵∠B=∠B,∴当

=

,即

=

时,△PBQ∽△ABC,此时x=2;当

=

,即

=

时,△QBP∽△ABC,此时x=0.8,∴经过2秒或0.8秒△PBQ与△ABC相似.4.如图,在一块直角三角板ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,

将另一个含30°角的直角三角板EDF的30°角的顶点D放在

AB边上,E、F分别在AC、BC上,DE始终与AB垂直,若△CEF

与△DEF相似,求AD的长.

解析∵∠EDF=30°,ED⊥AB于D,∴∠FDB=∠B=60°,∴△BDF是等边三角形.∵BC=1,∠A=30

°,∴AB=2,∵BD=BF,∴2-AD=1-CF,∴AD=CF+1.①如图1,∠FED=90°,此时△CEF∽△EDF,∠EDF=∠CEF=3

0°,∴EF=2CF,∴

=

,即

=

,解得CF=

,∴AD=

+1=

.

图1②如图2,∠EFD=90°,此时△CEF∽△FED,∴∠EDF=∠CFE

=30°,∴EF=2CE,∴

=

,即

=

,解得CF=

,∴AD=

+1=

.∴AD的长为

或

.

图25.如图,二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A(-1,0),B(3,0)

两点,与y轴交于点C,该抛物线的顶点为M.(1)求该抛物线的表达式及点M的坐标;(2)连接BC、CM、BM,判断△BCM的形状,并说明理由;(3)坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形

与△BCM相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明

理由.解析

(1)∵二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A(-1,0),B

(3,0)两点,∴

解得

则抛物线的表达式为y=x2-2x-3.∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴点M的坐标为(1,-4).(2)△BCM为直角三角形,理由如下:在y=x2-2x-3中,令x=0,得到y=-3,∴C(0,-3),又∵B(3,0),M(1,-4),∴根据勾股定理得BC=3

,BM=2

,CM=

,∵BM2=BC2+CM2,∴△BCM为直角三角形且∠BCM=90°.(3)存在.若∠APC=90°,则P点和O点重合,如图1.连接AC,∵∠AOC=∠MCB=90°,且

=

=

,∴△AOC∽△MCB,∴点P的坐标为(0,0).

图1

图2若∠PAC=90°,则P点在y轴上,如图2,∵△AOC∽△MCB,△BCM∽△CAP,∴△COA∽△CAP,∵∠APO=∠APC,∠AOP=∠PAC=90°,∴△CAP∽△AOP,∴△COA∽△AOP,∴

=

,即

=

,∴OP=

,∴点P的坐标为

.若∠PCA=90°,则P