13.1.2线段的垂直平分线的性质(1) 课件 2024-2025学年人教版八年级上

第十三章轴对称线段的垂直平分线的性质(1)人教版数学

线段的垂直平分线的性质(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______；(2)几何语言：如图，∵CD是AB的垂直平分线，∴PA＝______，QA＝______.相等PBQB新知探究知识点1

如图，在△ABC中，直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D．(1)AD＝______，∠ADC＝∠BDC＝______，AC＝______；BD90°BC(2)若AD＝3，AC＝5，求△ABC的周长．解：∵CD是AB的垂直平分线，AD＝3，AC＝5，∴DB＝AD＝3，BC＝AC＝5.∴△ABC的周长为AD＋DB＋BC＋AC＝3＋3＋5＋5＝16.

线段的垂直平分线的判定(1)与线段两个端点距离相等的点在这条线段的____________上；(2)几何语言：如图，∵____________，直线m是线段AB的垂直平分线，∴点P在直线m上．垂直平分线PA＝PB知识点21．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(

)A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACBA过关训练2．在锐角△ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC的(

)A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三边垂直平分线的交点D3．(2022·宜昌)如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于

BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N.作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为(

)A．25B．22C．19D．18C4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，若∠CAE＝∠B＋18°，则∠B的度数为______.24°5．【几何直观、推理能力】如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，分别交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若△CMN的周长为15cm，求AB的长；解：∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN.∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB．又△CMN的周长为15cm，∴AB＝15cm.(2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．解：∵∠MFN＝70°，∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD＋∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°.∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－(∠AMD＋∠BNE)＝180°－110°＝70°.∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°.6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF.求证：点B在线段AF的垂直平分线上．证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.∵E是CD的中点，∴DE＝CE.在△ADE与△FCE中，∴△ADE≌△FCE(ASA)．∴AE＝FE.又

BE⊥AF，∴BE是AF的垂直平分线．∴点B在线段AF的垂直平分线上．1．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线l交AC于点D，若BD＝3，则CD＝___.3基础训练2．如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且AD＝DC，则点D在(

)A．AC的垂直平分线上

B．∠BAC的平分线上C．BC的中点

D．AB的垂直平分线上A3．如图，在△ABC中，AC＝16cm，AB的垂直平分线交AC于点D，如果BC＝10cm，那么△BCD的周长是(

)A．26cm B．32cmC．20cm D．28cmA4．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E.若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为(

)A．26 B．20C．18 D．14D5．2022年2月4日至2月20日，第24届冬奥会由中国北京市和张家口市联合举办．下列奥运图标中是轴对称图形的是(

)D1．如图，P是线段AB的垂直平分线上一点，PA＝5cm，则PB＝___cm.5巩固提能2．如图，直线PO与AB相交于点O，且PA＝PB，则下列结论中正确的是(

)A．PO⊥ABB．PO是线段AB的垂直平分线C．AO＝BOD．点P在线段AB的垂直平分线上D3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为(

)A．8 B．11

C．16 D．17B4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，ED垂直平分AB于点D，求证：BE＋DE＝AC.证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.又ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE＝DE.∵ED垂直平分AB，∴AE＝BE.∴BE＋DE＝AE＋CE＝AC.5．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，CD平分∠ACB.若∠B＝30°，则∠A＝____°.506．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE.(1)求证：AB＝EC；证明：∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC.∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE.∴AB＝EC.(2)若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC的长．解：∵△ABC的周长为14

cm，∴AB＋BC＋AC＝14cm.∵AC＝6

cm，∴AB＋BC＝8cm.∵AB＝EC，BD＝DE，如图，在△ABC中，求作点P，使点P到AB和AC的距离相等，且点P在BC上．解：如图所示，点P即为所求作的点．复习导入

过直线外一点作这条直线的垂线

(教材P62)已知直线AB和AB外一点C，过点C作直线AB的垂线，垂足为P(保留作图痕迹，不写作法)．解：如图所示，直线CF即为所求作的垂线．新知探究类型1

如图，已知点A和直线MN，过点A用尺规作直线MN的垂线，下列画法中错误的是(

)A

作已知线段的垂直平分线

(教材P63)尺规作图：已知线段AB，作出它的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法)．解：如图所示，直线CD即为所求作的垂直平分线．类型2

已知公路l附近有两个村庄A和B．要在公路旁边建一个公交站，使公交站到两个村庄的距离相等．请确定公交站的位置(用点P表示；保留作图痕迹，不写作法)．解：如图所示，点P即为公交站的位置．

作对称轴

如图，△ABC和△DEF关于直线l成轴对称，请作出直线l(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．解：如图所示，直线l即为所求．类型3

如图，△ABC与△DEF

关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴．解：如图所示，直线l即为所求．1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是(

)A．三角形的三条角平分线的交点B．三角形的三边垂直平分线的交点C．三角形的三条高线的交点D．三角形的三条中线的交点B过关训练2．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线．则对应图示作法错误的是(

)A．①

B．②

C．③

D．④D3．如图，已知点P为△ABC的边BC上一点．请用直尺和圆规作一条直线EF，使得点A关于直线EF的对称点为点P(保留作图痕迹，不写作法)．解：如图所示，直线EF即为所求．4．利用尺规作图作出下列轴对称图形的对称轴(保留作图痕迹，不写作法)．解：如图所示．5．已知：如图，在Rt△ABC中，∠A为直角，AB＝4cm，AC＝3cm.(1)尺规作图：作BC边上的高AD，不用写作法，保留作图痕迹；解：如图所示，AD即为BC边上的高．(2)求BC边上的高AD的长．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4cm，AC＝3cm.6．如图，已知∠AOB和线段CD，求作一点P，使PC＝PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．解：如图所示，点P即为所求作的点．1．如图，在△ABC中，∠A＞∠B．(1)作边AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于点D，E(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；解：如图所示，DE即为所求．基础训练(2)在(1)的条件下，连接AE，若AC＝6，BC＝8，则△AEC的周长为____.142．如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺在图中作出直线l.解：如图所示，直线l即为所求．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，已知∠CAD

∶∠DAB＝1∶2，则∠B的度数为(

)A．34° B．36°C．60° D．72°B1．下列轴对称图形中，可以用没有刻度的直尺画出对称轴的有(

)A．1个 B．2个C．3个 D．4个B巩固提能2．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点