2023-2024学年安徽省马鞍山市高二年级第二学期期末联考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省马鞍山市高二年级第二学期期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数y=cosx的图象在点(π3A.−32 B.−12 2.六一儿童节，西湖小学举办欢乐童年联欢会，原定的7个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为(

)A.180种 B.336种 C.720种 D.1440种3.在(x2−y)5的展开式中，A.10 B.−10 C.20 D.−204.已知函数y=f(x)，y=g(x)的导函数的图象如图，那么y=f(x)，y=g(x)的图象可能是(

)

A. B.

C. D.5.假设A，B是两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论一定正确的是(

)A.P(A|B)P(B)=P(AB) B.P(A|B)=P(B|A)

C.P(A|B)≤P(B) D.P(A|B)≤P(A)6.小明用摸球的方式决定周末去A或B地游玩.规则如下：箱子里装有质地和大小完全相同的4个红球和3个白球，从中任取4个小球，若取出的红球个数不少于白球个数，则去A地，否则去B地，则小明去A地游玩的概率为(

)A.1235 B.1335 C.577.随机变量X的分布列如下，则方差D(bX)的最大值为(

)X123Pa2baA.127 B.227 C.198.已知a，b满足aea=blnb−b=eA.ea+1<b B.ab<e3 C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r越接近于1

B.用不同的模型拟合同一组数据,则残差平方和越大的模型拟合的效果越好

C.随机变量ξ~N(2,σ2),P(ξ<4)=0.8,则P(2<ξ<4)=0.3

D.随机变量X~B(10,0.7),则当k=7时,P(X=k)10.甲乙两人进行投篮比赛，共比赛2n(n∈N∗)局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为A.P(2)=516 B.P(3)=1116

C.P(n)的最大值为1211.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为g(x)，f(x+2)和g(2x+1)都是奇函数，f(1)=1，则下列说法正确的是(

)A.g(x)关于点(1,0)对称 B.f(x)+f(−x)=0

C.g(2025)=1 D.k=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若(x−3)10=a0+13.如果一个四位数各个位数上的数字之和为8，则称这个四位数为“幸运数”，那么总共有

个“幸运数”．14.如图，一点从正方形的顶点A处出发在各顶点间移动，每次移动要么以13的概率沿平行于BC方向(正、反方向均可)移动一步;要么以23的概率沿平行于AB方向(正、反方向均可)移动一步.设移动2n(n∈N∗)步后回到点A的概率为An，到达点C的概率为Cn，则A1=四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数f(x)=x3+3ax2(1)求实数a，b的值;(2)求f(x)在区间[−3,3]上的最值．16.(本小题12分)某企业为了打开产品销路，斥资摄制了一部广告宣传片，于2024年1月1日开始在各电视媒体投放.统计该企业2024年前5个月的销售收入，获得数据如下：月份x12345销售收入y/万元380460580670860(1)已知x与y呈线性相关关系，求经验回归方程y=bx+a，并据此预测该企业2024(2)为了解此次广告投放的效果，该企业随机抽取60名消费者进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：观看广告未观看广告总计购买3045未购买10总计请将上表补充完整，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为购买产品与观看广告有关联?参考数据：i=15参考公式：最小二乘法估计b=i=1nχ2=n(ad−bcα0.100.050.010.005x2.7063.8416.6357.87917.(本小题12分)已知函数f(x)=1+2(1)证明：f(x)≤1;(2)设x1，x2为方程f(x)−m=0的两个根，且x1≠18.(本小题12分)2024年5月18日世界博物馆日中国主会场活动在陕西历史博物馆举办，同时“秦汉文明”系列展览开幕.某校组织学生参加志愿者服务，志愿活动共有特展讲解、秩序维持、少儿手绘培训三项.志愿者参加特展讲解可获得3个志愿积分，参加秩序维持、少儿手绘培训可获得2个志愿积分，凭积分可在博物馆领取相应的纪念品.某班有6名学生(男生2人，女生4人)参加志愿活动，每个人的选择互不影响．(1)若每个人等可能的选择一项活动参加，求在男生甲选择了秩序维持的条件下，男生乙也选择秩序维持的概率;(2)若两个男生都只参加秩序维持，每个女生从特展讲解、少儿手绘培训中选择一项或两项参加，且选择一项参加和选择两项参加的概率都为12.现从6人中随机选取两人，记两人积分之和为X，求X的分布列和期望E(X)19.(本小题12分)定义一：整数1，2，3，⋯，n(n∈N∗)的排列称为n级排列，例如：2431定义二：在一个n级排列j1j2j3⋯jn中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，那么它们就称为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，记为F(j1j2j3⋯(1)求6级排列215643的逆序数F(215643);(2)称逆序数是偶数的排列为偶排列，逆序数是奇数的排列为奇排列．(ⅰ)判定n级排列n(n−1)(n−2)⋯21，n∈N∗(ⅱ)现将一个n级排列T:x1x2x3⋯xn−1xn答案简析1.A

【简析】解：∵f(x)=cos x，∴f′(x)=−sin x，

∴函数f(x)=cos x的图象在点(π32.C

【简析】解：

∵由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，

∴三个新节目一个一个插入节目单中，

原来的7个节目连同两端形成8个空，在这8个位置上插入第一个节目，共有8种结果，

原来的7个和刚插入的一个，形成9个空，有9种结果，同理最后一个节目有10种结果，

根据分步计数原理得到共有插法种数为8×9×10=720，

故选C．3.B

【简析】解：

(x2−y)5的展开式的通项公式为：

Tr+1=C5r·(x2)5−r4.A

【简析】解：从导函数的图象可知：

g′x⩾0恒成立，所以函数g(x)单调递增，排除BC；

设f′x的图象与x轴交于点A(t,0)，

则f′x⩽0时，x⩽t；f′x>0时，x>t；

所以函数f(x)5.A

【简析】解：对于A，由题知

P(A|B)=P(AB)P(B)，P(AB)=P(B)P(A|B)，故A正确；

对于B，由

P(B|A)=P(AB)P(A)，P(A|B)=P(AB)P(B)，故当

P(A)=P(B)时才有

P(B|A)=P(A|B)，故B错误；

对于C，由P(A|B)=P(AB)P(B)，P(AB)≤P(A)，无法判断P(A|B)≤P(B)，故C错误；

对于D，由

P(A|B)=P(AB)P(B)故选A．6.D

【简析】解：记事件A：任取4个小球，取出的红球个数不少于白球个数，即红球个数大于等于2，

分为红球个数X为2，3，4三种情况：

PX=2=C42C32C7.A

【简析】解：由题可知2a+2b=1，即a+b=12，b∈0,12，

E(X)=a+4b+3a=4(a+b)=2，

D(X)=a(1−2)2+(3−2)2a=2a．

D(bX)=b2D(X)=2ab2=−2b3+b2，

令f(b)=−2b3+b2，b∈0,12，

则8.D

【简析】解：由aea=e3得a>0，且a+lna−3=0，

由bln b−b=e3得b>0，且lnb−1+lnlnb−1−2=0，

对A选项，令函数fx=x+lnx，函数fx是单调增函数，

所以f(a)=3，f(lnb−1)=2，

故a>lnb−1，所以ea+1>elnb=b，故A错误；

对B选项，由A选项，a>lnb−1，b>0，所以ab>blnb−b=e3，故B错误．

对C选项，由A选项，因为522−9.CD

【简析】解：对于A，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故A错误；

对于B，用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故B错误；

对于C，随机变量ξ~N(2,σ2),P(ξ<4)=0.8,

则P(2<ξ<4)=P(ξ<4)-P(ξ≤2)=0.8-0.5=0.3，故C正确；

对于D，随机变量X~B(10,0.7),

则P（X=k）=C10k0.7k·0.310−k，

设k=7时，P(X=k)最大，

则P(X=k)>P(X=k+1)P(X=k)>P(X=k−1),

C10k0.7k·0.310−k>C10k+10.7k+1·0.10.AD

【简析】解：由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢n+1局，P(n)=(12)2n(C2nn+1+C2nA：P(2)=12−C4225=又4C2nn故当n=1时，P(n)的最小值为14故选：AD．11.ABD

【简析】解：由

g(2x+1)

为奇函数知g(−2x+1)

=−g(2x+1)，

g(−x+1)=−g(x+1)，g(−x+1)+g(x+1)=0，

gx

关于1,0

对称，g(1)=0

，A正确；

所以函数f(x)关于直线x=1对称，

f(x)=f(−x+2)，f(−x)=f(x+2)

因为f(x+2)为奇函数，所以f(−x+2)+f(x+2)=0，

f(x)+f(−x)=0，B正确；

由f(−x+2)+f(x+2)=0得f(x)+f(4−x)=0

得f′(x)−f′(4−x)=

0，

即

g(x)=g(4−x)

，

所以g(x)关于直线x=2对称，

结合g(x)=f′(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2,t)对称，

将x=2代入f(x)+f(4−x)=0中可得f(2)=0，

所以f(x)关于点(2,0)对称，

综上可得，函数f(x)与g(x)均是周期为4的周期函数，

g(2025)=g(1)=0，C不正确；

根据函数f(x)关于直线x=1对称，关于点(2,0)对称，

结合函数的性质易知f(1)=−f(3)=1，f(2)=f(4)=0，f(0)=0，

f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=[f(1)+f(3)]+[f(2)+f(4)]=0，

12.−1023

【简析】解：令x=1，则

a0=1024，

令x=2，则

a0+

a1+

a2+

⋯+

a10= 1，

故

a113.120

【简析】解：

若后三位中有三个0，故只有8000，这样的四位数有1个；

若后三位中有两个0，这样的四位数有7C32=7×3=21个；

若后三位中有一个0，这样的四位数有3×3+2A33C综上所述，符合题意的四位数有1+21+63+35=120个14.59【简析】解：已知沿平行于AB方向走得概率为23，沿平行BC方向走得概率为13．

A1即移动两次后回到A点的概率，有两种可能：沿平行BC方向移动或者沿平行AB方向移动.故

A1=13×13+23×23=59．

同理，掷两次后停在C点概率为49，记作C1，

设掷2n(n∈N∗15.解：(1)∵f(x)=x3+3ax2+bx+a2，

∴f​′(x)=3x2+6ax+b，

∵f(x)在x=−1时有极值0，

∴f(−1)=−1+3a−b+a2=0f′(−1)=3−6a+b=0,

∴a=1b=3或a=2b=9,

当a=1b=3时，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0，

所以f(x)在定义域上单调递增，无极值，故舍去；

所以a=2，b=9，经检验，符合题意．

(2)

由【简析】(1)已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=−1处有极值0，即f(−1)=0，f′(−1)=0，通过求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b16.解：(1)因为x=3，y=590，i=15(xi−x)2=10，i=15(xi−x)(yi−y)=1170，

b=i=15(观看广告未观看广告总计购买301545未购买51015总计352560

零假设H0:购买产品与观看广告无关，

根据以上数据，经计算得到K2=60×(30×10−15×5)235×25×45×15【简析】

(1)根据公式得出b和a，可得经验回归方程，代入x=7可得预测值；

(2)先得出列联表，由公式得出K217.证明：(1)由已知f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x⋅x2−2x(1+lnx)x4=−4lnxx3，

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，即f(x)在(0,1)上单调递增;

当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，即f(x)在(1,+∞)上单调递减;

所以f(x)≤f(1)=1．

(2)由(1)知f(x)在(0,1)上单调递增;在(1,+∞)上单调递减，

且当x→0时，f(x)→−∞时，当x→+∞，f(x)→0，则0<m<1，lnm<0，

又x1，x2(x1≠x2)为方程f(x)−m=0的两个根，

则1+2lnx1x12−m=0，1+2lnx2x22−m=0，且x1x2>0，

所以mx12【简析】

(1)利用研究单调性，即可得证；

(2)由x1，x2(x1≠x2)为方程f(x)−m=018.解：(1)P=1×3435=13；

(2)若2男生，积分和为4分;

1男1女，积分和的可能取值为4，5，7分．

若2女生，积分和的可能取值为4，5，6，7，8，10分